1. Podstawowe wiadomości o wyrażeniach wymiernych

Naukę o wyrażeniach wymiernych warto rozpocząć od dobrego zrozumienia wielomianów.
Wyrażenia wymierne to ułamki, które mają w liczniku i w mianownikuwielomiany.
Ponadto w mianowniku takiego ułamka (będącego wyrażeniem wymiernym) musi stać wielomian stopnia co najmniej równego 1. W praktyce oznacza to, że w mianowniku musi znajdować się wyrażenie z x-em.
Przykłady wyrażeń wymiernych:
  • Wyrażenie wymierne, które w mianowniku ma wielomian stopnia 1: 5/x
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku i w mianowniku ma wielomian stopnia 1: (2x+3)/(x-1)
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku ma wielomian stopnia 2, a w mianowniku wielomian stopnia 1: (x^2+2x-1)/x Inny przykład tego typu: (x-1)(x+2)/(x+1)
  • Wyrażenie wymierne, które ma w liczniku i w mianowniku wielomian stopnia 2: (x^2+2x-1)/(x-3)(x+3)
  • Wyrażenie wymierne, które w liczniku ma wielomian stopnia 3, a w mianowniku wielomian stopnia 2: (x^3+2x^2+34)/(6x^2+6)

2. Dziedzina wyrażenia wymiernego

Dla dowolnego wyrażenia wymiernego należy zrobić założenie, że mianownik jest różny od zera.
W ten sposób dajemy sobie gwarancję, że nie wykonamy dzielenia przez 0 (które jest w matematyce działaniem niedozwolonym).
Robienie takich założeń to inaczej określanie dziedziny wyrażenia wymiernego.
Można zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, z wyłączeniem tych liczb, które zerują mianownik.
Przykłady:
  • Wiele przykładów wyznaczania dziedziny można znaleźć w dziale dziedzina funkcji.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: (4x+1)/(6x-18)
    Rozwiązanie:
    Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę 3.
    Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem 3.
    Zapisujemy to tak: D = R\{3}.
    Można również zapisać po prostu: x ≠ 3.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: (-5x^2+2x)/(-2x-3)
    Rozwiązanie:
    Zakładamy, że mianownik jest różny od zera: Zatem z dziedziny musimy wykluczyć liczbę -1,5.
    Czyli dziedziną jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyłączeniem -1,5.
    Zapisujemy to tak: D = R\{-1,5}.
    Można również zapisać po prostu: x ≠ -1,5.
  • Wyznacz dziedzinę wyrażenia wymiernego: 1/(x-5)(x+7)
    Rozwiązanie:
    Sprawdzamy kiedy mianownik zeruje się: Iloczyn dwóch nawiasów jest równy zero, jeżeli przynajmniej jeden z tych nawiasów jest równy zero. Zatem powyższe równanie jest spełnione jeżeli: Czyli x = 5 zeruje mianownik oraz x = -7 zeruje mianownik.
    Zatem z dziedziny musimy wykluczyć dwie liczby – liczbę 5 oraz liczbę -7.
    Zapisujemy to tak: D = R\{-7, 5}.
    Można również dziedzinę zapisać tak: x ≠ -7 i x ≠ 5.

Zadanie 1.

Dziedziną wyrażenia wymiernego jest zbiór

Zadanie 2.

Zbiór R \ {-3, 0, 2} jest dziedziną wyrażenia

Zadanie 3.

Które liczby ze zbioru {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} nie należą do dziedziny poniższego wyrażenia wymiernego:(x^2+x-5)/(x^3-9x)
Kilka innych przykładów wyznaczania dziedziny wyrażenia wymiernego możesz znaleźć w poniższym pliku pdf:

3. Skracanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne skracamy podobnie jak zwykłe ułamki.
Musimy mieć w liczniku i w mianowniku iloczyny liczb i literek. Wówczas, gdy na górze i na dole mamy taki sam czynnik, to możemy go skreślić.
Ważne! Jeżeli skracamy wyrażenia wymierne, to koniecznie musimy założyć, że wyrażenie przez które dzielimy licznik i mianownik jest różne od zera. Aby nie musieć o tym myśleć podczas rozwiązywania zadania, warto już na początku określić dziedzinę wyrażenia wymiernego.
Przykłady:

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka przez 3.

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka najpierw przez 3, a potem przez x. Założenie jakie powinniśmy poczynić, to: x ≠ 0.

  • W tym przykładzie podzieliliśmy licznik i mianownik ułamka najpierw przez 2, a potem przez wyrażenie (x - 6). Założenie jakie powinniśmy poczynić, to: x ≠ 6.
    Pełna dziedzina tego wyrażenia wymiernego, to oczywiście: x ≠ 6 oraz x ≠ -4.

Zadanie 1.

Zadanie - Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 4.

Skróć wyrażenie wymierne .
Rozwiązanie PDF

Zadanie 5.

Wyrażenie , gdzie x ≠ 0 i x ≠ 1, po uproszczeniu może mieć postać:

Zadanie 6.

Po skróceniu ułamek (2x^2+-4x)/(x-2) dla x ≠ 2 jest równy

Zadanie 7.

Uprość wyrażenie wymierne: (x^2+x-2)/(x^2-1)

4. Dodawanie i odejmowanie wyrażeń wymiernych

Wyrażenia wymierne dodajemy i odejmujemy jak zwykłe ułamki. Najpierw sprowadzamy do wspólnego mianownika, a potem dodajemy/odejmujemy liczniki.

Zadanie 1.

Doprowadź wyrażenie wymierne do najprostszej postaci:

Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Doprowadź wyrażenie wymierne do najprostszej postaci:

Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Wyrażenie jest równe

Zadanie 4.

Dla każdego x ≠ 2 wyrażenie jest równe

Zadanie 5.

Dla x ≠ -2 i x ≠ 2 wyrażenie jest równe

Zadanie 6.

Po wykonaniu działania (x-2)/x + x/(x+2) wyrażenie ma postać