1. Definicje

Poniżej znajdują się jedynie definicje najważniejszych pojęć związanych z ułamkami. Dokładniejsze omówienie wszystkich zagadnień, wraz z przykładami, znajdziesz na oddzielnych podstronach (uruchamianych ze spisu treści).
ułamek - wyrażenie lub liczba postaci (czasami zapisujemy a/b, rzadziej a:b), gdzie a nazywamy licznikiem ułamka, a b nazywamy mianownikiem ułamka. Kreskę poziomą między licznikiem i mianownikiem nazywamy kreską ułamkową.
ułamek dziesiętny - ułamek, w którym mianownik jest naturalną potęgą liczby 10, np. , , . Ułamek dziesiętny zapisujemy najczęściej używając przecinka, a nie kreski ułamkowej, np. ; ; .
ułamek dziesiętny nieskończony - ułamek dziesiętny, który po przecinku ma nieskończenie wiele cyfr (może być okresowy).
ułamek dziesiętny okresowy - ułamek dziesiętny nieskończony, którego cyfry od pewnego miejsca po przecinku otrzymujemy przez powtarzanie pewnej grupy cyfr zwanej okresem, np.
0,333333... = 0,(3);
0,428574285742857... = 0,(42857);
2,735142424242... = 2,7351(42);
Ułamki okresowe często zapisujemy krócej - pisząc okres w nawiasie. Każdy ułamek okresowy można zamienić na ułamek zwykły.
ułamek mieszany - ułamek niewłaściwy, który został zapisany jako suma liczby całkowitej i ułamka właściwego (znak + przy takim zapisie pomijamy), np. .
ułamek nieskracalny - ułamek w którym licznik i mianownik mają największy wspólny dzielnik równy 1, np.
ułamek niewłaściwy - ułamek w którym licznik jest większy lub równy mianownikowi (mówiąc dokładniej - wartość bezwzględna licznika jest większa lub równa od wartości bezwzględnej mianownika), np. .
ułamek właściwy - ułamek w którym licznik jest mniejszy od mianownika (mówiąc dokładniej - wartość bezwzględna licznika jest mniejsza od wartości bezwzględnej mianownika), np. .
ułamek zwykły - ułamek zapisany przy pomocy licznika, mianownika i kreski ułamkowej (nie ułamek dziesiętny). Ułamek zwykły można krócej nazywać po prostu ułamkiem.

2.1. Ułamki zwykłe - wprowadzenie

Każdy ułamek zwykły składa się z trzech elementów – licznika, mianownika i kreski ułamkowej. Kreska ułamkowa symbolizuje znak dzielenia. Zatem ułamek oznacza tą samą liczbę co działanie 9 : 4.
Dzięki ułamkom możemy zapisywać liczby, które nie są całkowite.
Przykłady:
  • Liczbę jabłek na dwóch poniższych rysunkach zapiszemy z wykorzystaniem ułamków.
  • Pod każdym z poniższych prostokątów zapiszemy jaka jego część jest zamalowana.
  • Pod każdym z poniższych kół zapiszemy jaka jego część jest zamalowana.
  • Kwadrat podzielono na 16 równych części i każdą pomalowano jakimś kolorem. Określ jaką część dużego kwadratu pomalowano każdym z kolorów.
    Kolorem zielonym pomalowano 5 małych obszarów, czyli dużego kwadratu.
    Kolorem czerwonym pomalowano 4 małe obszary, czyli dużego kwadratu.
    Równoważnie można powiedzieć, że kolorem czerwonym zamalowano powierzchni dużego kwadratu.
    Kolorem niebieskim pomalowano 5 małych obszarów, czyli dużego kwadratu.
    Kolorem szarym pomalowano 2 małe obszary, czyli dużego kwadratu.
    Równoważnie można powiedzieć, że kolorem szarym zamalowano powierzchni dużego kwadratu.

2.2. Miejsce ułamka na osi liczbowej

Zaznaczając ułamki na osi liczbowej warto jest przyjąć dobre jednostki.
Przykładowo, jeżeli chcemy zaznaczyć na osi ułamki o mianowniku 2, to za jedną jednostkę przyjmiemy 2 kratki. Jeżeli chcemy zaznaczyć na osi ułamki o mianowniku 3, to za jedną jednostkę przyjmiemy 3 kratki: Jeżeli chcemy zaznaczyć na osi ułamki o różnych mianownikach, np.: 2 i 3, to za jedną jednostkę przyjmiemy najmniejszą wspólną wielokrotność tych mianowników (sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika).

2.3. Zamiana liczby mieszanej na ułamek niewłaściwy

Liczba mieszana składa się z części całkowitej i ułamkowej: Możemy taką liczbę zamienić na ułamek zwykły w następujący sposób: Jak to zrobiliśmy?
Mianownik pomnożyliśmy przez część całkowitą i dodaliśmy do licznika. Sam mianownik pozostał bez zmian. Poniżej podaję kilka przykładów na wykonywanie zamiany ułamka mieszanego na zwykły.
Przykłady:

Wiele działań łatwiej wykonuje się na ułamkach zwykłych, niż na ułamkach mieszanych, dlatego warto nauczyć się tej prostej zamiany.

2.4. Dodawanie i odejmowanie ułamków o wspólnym mianowniku

Jeżeli ułamki mają takie same mianowniki, to przy ich dodawaniu sumujemy jedynie ich liczniki. Podobnie przy odejmowaniu - odejmujemy tylko liczniki.
Przykłady:

2.5. Rozszerzanie ułamków

Ułamek rozszerzamy mnożąc jego licznik i mianownik przez liczbę różną od zera.
Przykład 1. Wszystkie poniższe ułamki rozszerzymy do mianownika 40.

Uwaga!
Rozszerzanie ułamka nie zmienia jego wartości!
Dzięki takiemu przekształceniu możemy dowolny ułamek zapisać na nieskończenie wiele sposobów.
Przykład 2. Ułamek zapiszemy na kilkanaście różnych sposobów.

Rozszerzanie jest szczególnie przydatne podczas sprowadzania ułamków do wspólnego mianownika.

2.6. Sprowadzanie ułamków do wspólnego mianownika

Ułamki sprowadzamy do wspólnego mianownika odpowiednio je rozszerzając. Spójrzmy na poniższe przykłady.
Przykład 1. Ułamki oraz rozszerz w taki sposób, aby doprowadzić je do wspólnego mianownika.
Rozwiązanie:
Ułamek rozszerzamy przez mianownik drugiego ułamka:
Ułamek rozszerzamy przez mianownik pierwszego ułamka:
W ten sposób oba ułamki rozszerzyliśmy na ułamki o tym samym mianowniku równym 6.
Przykład 2. Ułamki oraz sprowadź do wspólnego mianownika.
Rozwiązanie:
Ułamek rozszerzamy przez mianownik drugiego ułamka:
Ułamek rozszerzamy przez mianownik pierwszego ułamka:
Oba ułamki doprowadziliśmy do wspólnego mianownika równego 35.
Uwaga!
Dowolne dwa ułamki możemy sprowadzić do wspólnego mianownika na wiele różnych sposobów!
Spójrzmy na poniższy przykład.
Przykład 3. Ułamki oraz sprowadź do wspólnego mianownika.
Rozwiązanie:
Ułamek rozszerzamy przez mianownik drugiego ułamka:
Ułamek rozszerzamy przez mianownik pierwszego ułamka:
Oba ułamki doprowadziliśmy do wspólnego mianownika równego 24. W tym przypadku można jednak uzyskać mniejszy wspólny mianownik, stosując następujące rozszerzenia:


Tym razem oba ułamki doprowadziliśmy do mianownika równego 12.
Generalnie opłaca się doprowadzać ułamki do jak najmniejszego mianownika, ponieważ na małych liczbach łatwiej wykonuje się rachunki.
Teraz jeszcze doprowadzimy nasze dwa ułamki do innych wspólnych mianowników:

Uwaga!
Chcąc znaleźć najmniejszy wspólny mianownik dla dwóch ułamków, to wystarczy obliczyć NWW ich mianowników.

2.7. Dodawanie i odejmowanie ułamków zwykłych

Aby dodać lub odjąć ułamki zwykłe, to należy je wcześniej sprowadzić do wspólnego mianownika.
Przykłady:

Za pomocą poniższego programu możesz dodać dwa ułamki.
Program do dodawania ułamków Wpisz w poniższe pola dwa dowolne ułamki, a program najpierw sprowadzi je do wspólnego mianownika, a następnie doda.


+

=






2.8. Mnożenie ułamków zwykłych

Ułamki mnożymy – licznik razy licznik i mianownik razy mianownik.
Przykłady:

2.9. Dzielenie ułamków zwykłych

Kiedy musimy podzielić jeden ułamek przez drugi, to zamieniamy dzielenie na mnożenie. Mnożymy wówczas pierwszy ułamek przez odwrotność drugiego ułamka.
Przykłady:

 1  2    Następne