Jesteś tu: SzkołaStatystyka

1. Średnia arytmetyczna

Ze średnią arytmetyczną najczęściej spotykamy się w szkole podczas wystawianiu ocen.
Twoja ocena końcowa z każdego przedmiotu jest z reguły zbliżona do średniej arytmetycznej wszystkich ocen, które dostałeś/dostałaś z tego przedmiotu w danym semestrze.
Podobnie średnia na świadectwie jest średnią arytmetyczną ocen końcowych ze wszystkich przedmiotów, zatem:

Średnią arytmetyczną zbioru liczb obliczamy dodając do siebie wszystkie liczby z tego zbioru, a następnie dzieląc otrzymaną sumę przez liczbę liczb z tego zbioru.
Średnia arytmetyczna liczb x1, x2, x3,..., xn wyraża się wzorem: (x1 + x2 + x3 + ... + xn)/n Przykłady:
  • Oblicz średnią arytmetyczną liczb: 6, 4, 2, 4, 4.
    Najpierw obliczamy sumę wszystkich liczb: 6 + 4 + 2 + 4 + 4 = 20.
    Wszystkich liczb jest łącznie 5 zatem liczymy:
    20 : 5 = 4. Zatem średnia arytmetyczna jest równa 4.
    Podstawiając bezpośrednio do wzoru otrzymalibyśmy napis:
  • Oblicz średnią arytmetyczną liczb: 5, 8, -1, 6, 6, 1, 10.
    Najpierw obliczamy sumę wszystkich liczb: 5 + 8 + (-1) + 6 + 6 + 1 + 10 = 35.
    Wszystkich liczb jest łącznie 7 zatem liczymy:
    35 : 7 = 5. Zatem średnia arytmetyczna jest równa 5.
    Podstawiając bezpośrednio do wzoru otrzymalibyśmy napis:

Zadanie 1.

Średnia arytmetyczna dziesięciu liczb x, 3, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 1, 5 jest równa 3. Wtedy

Zadanie 2.

Średnia arytmetyczna sześciu liczb: 3, 1, 1, 0, x, 2 jest równa 2. Wtedy liczba x jest równa

Zadanie 3.

Średnia arytmetyczna liczb: 3, 1, 1, 0, x, 0 jest równa 2. Oblicz x.

Zadanie 4.

Średnia wieku w pewnej grupie studentów jest równa 23 lata. Średnia wieku tych studentów i ich opiekuna jest równa 24 lata. Opiekun ma 39 lat. Oblicz, ilu studentów jest w tej grupie.

Zadanie 5.

Średnia arytmetyczna cen sześciu akcji na giełdzie jest równa 500 zł. Za pięć z tych akcji zapłacono 2300 zł. Cena szóstej akcji jest równa

Zadanie 6.

Tabela przedstawia zestawienie liczby błędów popełnionych przez zdających część teoretyczną egzaminu na prawo jazdy.
Średnia arytmetyczna liczby tych błędów popełnionych przez jednego zdającego jest równa 1,6. Wynika stąd, że

Zadanie 7.

Średnia arytmetyczna danych przedstawionych na diagramie częstości jest równa

Zadanie 8.

Oblicz średnią arytmetyczną danych przedstawionych na poniższym diagramie częstości.

Zadanie 9.

Uczniowie pewnej klasy zostali poproszeni o odpowiedź na pytanie: „Ile osób liczy twoja rodzina?” Wyniki przedstawiono w tabeli:
Średnia liczba osób w rodzinie dla uczniów tej klasy jest równa 4. Wtedy liczba x jest równa

Zadanie 10.

W tabeli zestawiono oceny z matematyki uczniów klasy 3A na koniec semestru. Średnia arytmetyczna tych ocen jest równa 3,6. Oblicz liczbę x ocen bardzo dobrych (5) z matematyki wystawionych na koniec semestru w tej klasie.

2. Średnia ważona

Średnia ważona liczb x1, x2, x3,..., xn z wagami(będącymi liczbami dodatnimi) odpowiednio w1, w2, w3,..., wn wyraża się wzorem: (x1*w1 + x2*w2 + x3*w3 + ... + xn*wn)/(w1 + w2 + w3 + ... + wn) Przykład.
Średnia ważona liczb 7, 4, -2, 0 z wagami odpowiednio 1, 2, 3, 4 wynosi: (7*1 + 4*2 + (-2)*3 + 0*4)/(1 + 2 + 3 + 4)


Zadanie

Oblicz średnią ważoną liczb: 3,7,2,4 z wagami odpowiednio: 1,3; 1,7; 1,4; 0,6.
Rozwiązanie PDF

3. Odchylenie

Załóżmy że mamy dane liczby x1, x2, x3,..., xn oraz że ich średnia arytmetyczna wynosi X
Wówczas odchylenie wartości xi od średniej arytmetycznej wyraża się wzorem: X - xi Przykład.
Niech x1 = 7, x2 = 4, x3 = -2.
Wówczas: średnia arytmetyczna = Zatem:
  • odchylenie od średniej dla x1 wynosi: x1 - X = 7 - 3 = 4
  • odchylenie od średniej dla x2 wynosi: x2 - X = 4 - 3 = 1
  • odchylenie od średniej dla x3 wynosi: x3 - X = -2 - 3 = -5

4. Wariancja

Wariancja liczb x1, x2,..., xn to średnia arytmetyczna kwadratów odchyleń od ich średniej arytmetycznej.
Zatem wariancja wyraża się wzorem: wzor wariancji Przykład:
Obliczymy wariancję liczb: x1 = 4, x2 = -3, x3 = 2.
Najpierw liczymy średnią arytmetyczną: X = (4 + -3 + 2)/3 = 1 Zatem: wariancja = 26/3


Zadanie

Każdy z trzech zawodników wykonał serię 13 rzutów do kosza. Liczba rzutów celnych wynosiła odpowiednio 5, 7 oraz 9. Oblicz wariancję celnych rzutów do kosza.
Rozwiązanie PDF

5. Odchylenie standardowe

Załóżmy że mamy dane liczby x1, x2,..., xn oraz że ich średnia arytmetyczna wynosi X
Wówczas odchylenie standardowe tych liczb od ich średniej arytmetycznej, to pierwiastek kwadratowy z wariancji, czyli: wzór na odchylenia standardowe Przykład.
Niech x1 = 7, x2 = 4, x3 = -2.
Wówczas średnia arytmetyczna wynosi: średnia arytmetyczna = 3 Zatem wariancja jest równa: wariancja = 14 Czyli odchylenie standardowe wynosi: odchylenie standardowe = sqrt(14)

Zadanie 1.

W pięciu kolejnych rzutach kostką do gry otrzymano następujące wyniki: 6, 3, 5, 5, 6. Odchylenie standardowe tych wyników jest równe

Zadanie 2.

Troje przyjaciół ma wzrost równy odpowiednio 140 cm, 150 cm i 160 cm. Oblicz odchylenie standardowe od średniej wzrostu z dokładnością do części tysięcznych.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Czworo przyjaciół ma wzrost równy odpowiednio 140 cm, 150 cm, 160 cm i 30 cm. Oblicz odchylenie standardowe od średniej wzrostu z dokładnością do części tysięcznych.
Rozwiązanie PDF

6. Mediana

Medianą nazywamy wartość środkową.
Jeżeli mamy wyznaczyć medianę jakiegoś zbioru liczb, to musimy najpierw wypisać te liczby w kolejności niemalejącej, a następnie wybrać liczbę środkową (w przypadku gdy mamy nieparzystą liczbę liczb w zbiorze). Jeżeli mamy parzystą liczbę liczb w zbiorze, to mediana jest równa średniej arytmetycznej dwóch środkowych liczb.
Przykłady:
  • Oblicz medianę liczb: 6, 4, 2, 4, 4.
    Najpierw wypisujemy liczby w kolejności niemalejącej: 2, 4, 4, 4, 6.
    Wszystkich liczb jest łącznie 5, zatem środkową będzie liczba na trzecim miejsc, czyli: 4.
    Zatem mediana jest równa 4.
  • Oblicz medianę liczb: 5, 8, -1, 6, 6, 1, 10.
    Najpierw wypisujemy liczby w kolejności niemalejącej: -1, 1, 5, 6, 6, 8, 10.
    Wszystkich liczb jest łącznie 7, zatem środkową będzie liczba na czwartym miejsc, czyli: 6.
    Zatem mediana jest równa 6.
  • Oblicz medianę liczb: 6, 8, 6, 8.
    Najpierw wypisujemy liczby w kolejności niemalejącej: 6, 6, 8, 8.
    Wszystkich liczb jest łącznie 4 (liczba parzysta), zatem mamy dwie środkowe liczby: na drugim i na trzecim miejsc, czyli: 6 i 8.
    Zatem mediana jest średnia arytmetyczna tych dwóch liczb, czyli: (6 + 8) : 2 = 14 : 2 = 7

Zadanie 1.

W kolejnych sześciu rzutach kostką otrzymano następujące wyniki: 6, 3, 1, 2, 5, 5. Mediana tych wyników jest równa:

Zadanie 2.

Oblicz medianę oraz średnią arytmetyczną danych: 1, 2, 4, 7, 1.

Zadanie 3.

Mediana danych: 0, 1, 1, 2, 3, 1 jest równa

Zadanie 4.

Mediana danych: -4, 2, 6, 0, 1 jest równa

Zadanie 5.

Oblicz medianę danych: 0, 1, 3, 3, 1, 1, 2, 1.

Zadanie 6.

Wyniki sprawdzianu z matematyki przedstawione są w tabeli: Mediana ocen ze sprawdzianu jest równa

Zadanie 7.

Mediana danych przedstawionych w tabeli liczebności jest równa

Zadanie 8.

Oblicz medianę danych przedstawionych w postaci tabeli liczebności

Zadanie 9.

Wyniki sprawdzianu z matematyki są przedstawione na diagramie.Mediana ocen uzyskanych przez uczniów jest równa

Zadanie 10.

W drużynie koszykarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: 191 cm, 210 cm, 205 cm, 204 cm, 212 cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi

Zadanie 11.

W drużynie siatkarskiej zawodnicy mają wzrost odpowiednio: 207 cm, 205 cm, 205 cm, 197 cm, 212 cm, 216 cm. Mediana zbioru tych wartości wynosi

Zadanie 12.

Pewna firma zatrudnia 6 osób. Dyrektor zarabia 8000 zł, a pensje pozostałych pracowników są równe: 2000 zł, 2800 zł, 3400 zł, 3600 zł, 4200 zł. Mediana zarobków tych 6 osób jest równa

Zadanie 13.

Ciąg (9, 18, x) jest geometryczny, a ciąg (x, 30, y) jest arytmetyczny.
Oblicz medianę liczb: 10, x, y, 12, 12, 18, 30.

Zadanie 14.

Mediana uporządkowanego niemalejąco zestawu sześciu liczb: 1, 2, 3, x, 5, 8 jest równa 4. Wtedy

7. Moda

Modą nazywamy najczęściej występującą wartość liczbową.
Przykłady:
  • Oblicz modę liczb: 6, 4, 2, 4, 4.
    Moda jest równa 4.
  • Oblicz modę liczb: -7, 2, 3, -7, 3, 4, 5.
    W tym przypadku mamy dwie mody: -7 oraz 3. Obie liczby występują dwa razy.
  • Oblicz modę liczb: -1, -1, 2, 3, 3, 2.
    W tym przypadku nie ma mody, bo każda wartość liczbowa występuje taką samą liczbę razy.

8. Różne zadania ze statystyki

Zadanie 1.

Przeprowadzono sondę uliczną, zadając pytanie: „Ile razy był(a) Pan(i) w kinie w ciągu ostatniego miesiąca?”. Wyniki sondażu przedstawiono na diagramie poniżej. wykres
  • Jaki procent badanych osób było w kinie więcej niż jeden raz w ciągu ostatniego miesiąca?
  • Jaka jest mediana wyjść do kina? Wskaż modę.
  • Ile wynosi średnia liczba wyjść do kina.
  • Oblicz odchylenie standardowe od średniej liczby wyjść do kina. Wynik podaj z dokładnością do jednego miejsca po przecinku.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Właściciel tatrzańskiego pensjonatu „Giewont” przeprowadził wśród 20 losowo wybranych gości sondaż , badając zadowolenie wczasowiczów w trzech kategoriach: standard pokoju – S, wyżywienie – W, oraz atrakcyjność programu sportowego – A. Każda z badanych osób oceniała pensjonat w każdej z wymienionych kategorii, przyznając liczbę całkowitą punktów 1-10. Następnie właściciel obliczył średnią ważoną z następujących liczb:
XS - średniej liczby punktów w kategorii S (z wagą 2)
XW - średniej liczby punktów w kategorii W (z wagą 3)
XA - średniej liczby punktów w kategorii A (z wagą 3)
Pensjonat uzyskał ocenę końcową równą 7,04. Oblicz ile wynosiła średnia liczba punktów w kategorii A, jeśli ocena pensjonatu w dwóch pozostałych kategoriach przedstawiała się następująco: wykres
Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Średnia arytmetyczna trzech liczb a, b, c jest równa 2. Wariancja tych liczb wynosi 3. Oblicz sumę kwadratów liczb a, b i c.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 4.

W pewnej firmie średnia płaca pracowników produkujących wynosi 2819 zł, zaś średnia płaca pozostałych pracowników tej firmy wynosi 2483 zł. Średnia płaca wszystkich pracowników firmy jest równa 2723 zł. Oblicz, jaki procent pracowników produkcyjnych stanowią pozostali pracownicy tej firmy.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 5.

W I semestrze z matematyki Maciek otrzymał 15 ocen, z których wszystkie to bardzo dobre i dostateczne. Oblicz ile piątek ma Maciek, jeśli trójek ma więcej, a wariancja jego ocen wynosi 0,96.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 6. (matura próbna 07.03.2012)

Tabela przedstawia wyniki uzyskane na sprawdzianie przez uczniów klasy III.
Oblicz średnią arytmetyczną i kwadrat odchylenia standardowego uzyskanych ocen.
Rozwiązanie wideo