1. Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia pewnego określonego zdarzenia.
Przykładowo: jaka jest szansa, że dzisiaj jest niedziela? Mamy 7 możliwości (bo jest 7 dni tygodnia).
Niedziela to jedna z 7 możliwości, zatem jej prawdopodobieństwo wynosi: 1/7.
Rachunek prawdopodobieństwa bazuje na kombinatoryce.
Aby obliczyć szansę dowolnego zdarzenia (nazwijmy go literką A), musimy określić liczbę zdarzeń sprzyjających oraz ile liczbę wszystkich możliwych zdarzeń. Do tego momentu stosujemy jedynie kombinatorykę. Następnie do obliczenia prawdopodobieństwa korzystamy z jednego wzoru: P(A)=|A|/|Omega|. gdzie:
|A| - liczba zdarzeń sprzyjających (moc zbioru A)
|Omega| - liczba wszystkich możliwych zdarzeń (moc zbioru Ω)
Pojęcia stosowane w rachunku prawdopodobieństwa:
  • Doświadczenie losowe - czynność którą wykonujemy, np.: rzut kostką, wybór dnia tygodnia.
  • Zdarzenie elementarne - zdarzenie (tylko 1) jakie może wydarzyć się w doświadczeniu losowym, np.: wypadło 5 oczek, wybrano środę.
  • Zdarzenie losowe - zbiór jednego lub kilku zdarzeń elementarnych, np.: wypadła parzysta liczba oczek (2, 4, lub 6), wybrano dzień powszedni.
  • Moc zbioru - liczba elementów danego zbioru, np.: |{2, 4, 6}| = 3, |{dnie powszednie}| = 5.
Stosowane oznaczenia:
  • Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych doświadczenia losowego, np.: dla rzutu kostką Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
  • A - zdarzenie losowe (podzbiór Ω), np.: Jeżeli A - zdarzenie polegające na tym, że wypadła parzysta liczba oczek, to: A = {2, 4, 6}.

Na poniższym przykładzie omówię zdefiniowane powyżej pojęcia i oznaczenia.
Przykład. Oblicz prawdopodobieństwo, że w rzucie kostką wypadnie liczba oczek mniejsza od 5.
Rozwiązanie
Zdarzeniem losowym w tym zadaniu jest rzut kostką.
Wprowadźmy następujące oznaczenia:
Ω - zbiór wszystkich możliwych wyników. Zatem Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
A - wypadła liczba oczek mniejsza od 5. Zatem A = {1, 2, 3, 4}.
Zdarzenie A jest oczywiście naszym zdarzeniem losowym.
Obliczmy teraz moc zbioru A oraz zbioru Ω:
|A| = 4 (bo w skład zbioru A wchodzą 4 zdarzenia elementarne)
|Ω| = 6 (bo tyle jest wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, czyli wyników rzutu kostką)
Zatem prawdopodobieństwo zdarzenia A jest następujące: P(A)=|A|/|Omega|=4/6=2/3.
Co warto pamiętać?
Do rozwiązywania zadań z rachunku prawdopodobieństwa nie trzeba znać pojęć typu: zdarzenie elementarne, zdarzenie losowe, itp.
Aby obliczyć prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia, należy wyznaczyć liczbę zdarzeń sprzyjających oraz liczbę wszystkich możliwych zdarzeń, a następnie podzielić mniejszą wartość przez większą.

Rachunek prawdopodobieństwa i kombinatoryka

W tym nagraniu wideo omawiam najbardziej praktyczne metody rozwiązywania zadań z rachunku prawdopodobieństwa oraz kombinatoryki.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

2. Wzory i własności w rachunku prawdopodobieństwa

Własności prawdopodobieństwa:
  • Prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A jest zawsze liczbą z przedziału ⟨0; 1⟩. 0<=P(A)<=1
  • Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego jest równe 1. 0<=P(A)<=1
  • Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0. 0<=P(A)<=1
Przydatne wzory:
  • Prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego: 0<=P(A)<=1
  • Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń 0<=P(A)<=1

3. Różne zadania z rachunku prawdopodobieństwa

Zadanie 1.

Oblicz prawdopodobieństwo, że rzucając dwiema kostkami do gry otrzymamy:
a)sumę oczek równą 6,
b)iloczyn oczek równy 6,
c)sumę oczek mniejszą niż 11,
d)iloczyn oczek będący liczbą parzystą,
e)liczby oczek których minimum wynosi 1,
f)liczby oczek których maksimum jest mniejsze od 6,

Rozwiązanie PDF

Zadanie 2.

Oblicz prawdopodobieństwo, że losując jednocześnie trzy kule z urny zawierającej 7 kul żółtych, 5 kul niebieskich, 4 kule czerwone, 3 kule zielone i 2 kule pomarańczowe wylosujemy:
a)wszystkie kule tego samego koloru,
b)dokładnie 2 kule niebieskie,
c)wszystkie kule w kolorach ciepłych (żółty, czerwony, pomarańczowy),
d)więcej kul w kolorach ciepłych niż w kolorach zimnych,
e)kule, wśród których nie będzie żadnej kuli kolory czerwonego,
f)co najmniej jedną kulę pomarańczową,
g)co najwyżej 2 kule w kolorach podstawowych (żółty, czerwony, niebieski).

Rozwiązanie PDF

Zadanie 3.

Losujemy kolejno, ze zwracaniem dwa razy po jednej liczbie ze zbioru Z = {1,2,3,4}. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a)druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej,
b)druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej wylosowanej liczby,
c)wylosowane liczby różnią się o 1,
d)wylosowano liczby, których iloczyn jest nieparzysty.

Rozwiązanie PDF

Zadanie 4.

Losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie bez zwracania ze zbioru Z = {1,2,3,4}. Oblicz prawdopodobieństwo, że:
a)druga z wylosowanych liczb jest większa od pierwszej,
b)druga z wylosowanych liczb jest dzielnikiem pierwszej wylosowanej liczby,
c)wylosowane liczby różnią się o 1,
d)wylosowano liczby, których iloczyn jest nieparzysty.

Rozwiązanie PDF

Zadanie 5.

Oblicz prawdopodobieństwo, że losując jednocześnie dwie liczby ze zbioru Z = {-2,-1,0,1,2,3,4} wylosujemy dwa miejsca zerowe funkcji:
W(x)=
Rozwiązanie PDF

Zadanie 6.

Oblicz prawdopodobieństwo, że losując po kolei, bez zwracania dwie liczby ze zbioru Z = {-2,-1,0,1,2,3,4} otrzymamy dokładnie jedno miejsce zerowe funkcji:
f(x)=
Rozwiązanie PDF

Zadanie 7.

Oblicz prawdopodobieństwo, że losując kolejne, ze zwracaniem dwie liczby ze zbioru Z = {-2,-1,0,1,2,3,4} nie otrzymamy żadnego miejsca zerowego funkcji:
f(x)=
Rozwiązanie PDF

Zadanie 8.

O zdarzeniach A i B wiadomo, że P(A') = 0,7 i P(B') = 0,72 oraz P(AB) = 0,06. Oblicz P(A), P(B) oraz P(AB).
Rozwiązanie PDF

Zadanie 9.

Oblicz prawdopodobieństwo P(A), P(B) oraz P(AB) jeżeli wiadomo, że P(A\B) = 0,1 oraz P(B\A) = 0,2 oraz P(AB) = 0,6.
Rozwiązanie PDF

Zadanie 10.

Rzucamy cztery razy symetryczną monetą. Co jest bardziej prawdopodobne: wyrzucenie jednej reszki czy wyrzucenie orła w co drugim rzucie?

Zadanie 11.

W pudełku są 4 kule białe i x kul czerwonych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe , gdy

Zadanie 12.

W sklepie wśród dziesięciu żarówek trzy są wadliwe, a pozostałe są dobrej jakości. Klient kupił losowo wybraną jedną żarówkę (bez sprawdzania). Po namyśle dokupił jeszcze jedną. Czy prawdopodobieństwo zdarzenia, że klient, otrzyma obie żarówki dobrej jakości, jest większe od 0,5? Odpowiedź uzasadnij, wykonując odpowiednie obliczenia.

Zadanie 13.

Ze zbioru {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15} wybieramy losowo jedną liczbę. Niech p oznacza prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 4. Wówczas

Zadanie 14.

Jeżeli A i B są zdarzeniami losowymi, B’ jest zdarzeniem przeciwnym do B, P(A) = 0,3, P(B') = 0,4 oraz AB = ∅, to P(AB) jest równe

Zadanie 15.

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy trzy razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, wśród których nie będzie liczby mniejszej od 3.

Zadanie 16.

Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że w pierwszym rzucie otrzymamy parzystą liczbę oczek i iloczyn liczb oczek w obu rzutach będzie podzielny przez 12. Wynik przedstaw w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 17.

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A, polegającego na wylosowaniu liczb, których iloczyn jest podzielny przez 6.

Zadanie 18.

W pojemniku umieszczono 50 drewnianych klocków, przy czym każdy klocek ma kształt sześcianu lub kuli, oraz każdy klocek jest czerwony lub niebieski. Wiadomo, że w pojemniku znajduje się dokładnie 15 czerwonych sześcianów, 18 klocków niebieskich i 31 klocków mających kształt kuli. Z pojemnika losowo wybieramy jeden klocek. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosowany klocek jest niebieską kulą?

Zadanie 19.

W urnie jest 6 kul oznaczonych kolejnymi cyframi od 1 do 6. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym losowaniu jednej kuli, przy czym po pierwszym losowaniu kula nie wraca do urny. Cyfra, jaką jest oznaczona pierwsza wylosowana kula, jest cyfrą jedności, a cyfra na drugiej kuli jest cyfrą dziesiątek liczby dwucyfrowej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że otrzymana liczba jest taką liczbą podzielną przez 3, której cyfra jedności jest nie większa niż 4.

Zadanie 20.

O zdarzeniach A oraz B zawartych w Ω wiadomo, że i A∪B jest zdarzeniem pewnym. Wtedy

Zadanie 21.

Jeżeli A jest zdarzeniem losowym oraz A' jest zdarzeniem przeciwnym do A i P(A) = 5∙P(A'), to prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe

Zadanie 22.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że liczba oczek w drugim rzucie jest o 1 większa od liczby oczek w pierwszym rzucie.

Zadanie 23.

Ze zbioru dwucyfrowych liczb naturalnych wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 30 jest równe

Zadanie 24.

Ze zboru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p oznacz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3. Wtedy

Zadanie 25.

O zdarzeniach losowych A i B zawartych w Ω wiadomo, że BA, P(A) = 0,7 i P(B) = 0,3. Wtedy

Zadanie 26.

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 3 lub przez 2.

Zadanie 27.

Ze zbioru liczb naturalnych dwucyfrowych wybieramy losowo jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania liczby podzielnej przez 15.

Zadanie 28.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania iloczynu oczek równego 5.

Zadanie 29.

A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że AB oraz P(A) = 0,3 i P(B) = 0,4. Oblicz P(AB).

Zadanie 30.

A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że AB oraz P(A) = 0,3 i P(B) = 0,7. Oblicz prawdopodobieństwo różnicy B\A.

Zadanie 31.

Wiadomo, że A i B są takimi zdarzeniami losowymi zawartymi w Ω, że P(A) = 0,7, P(B) = 0,6 i P(A ∪ B) = 0,8. Oblicz P(AB).

Zadanie 32.

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że liczba oczek otrzymana w pierwszym rzucie jest większa od liczby oczek otrzymanej w drugim rzucie?

Zadanie 33.

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 3. Wtedy

Zadanie 34.

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 2. Wtedy

Zadanie 35.

Ze zbioru liczb {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} wybieramy losowo jedną liczbę. Liczba p jest prawdopodobieństwem wylosowania liczby podzielnej przez 2 lub przez 3. Wtedy

Zadanie 36.

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul tego samego koloru.

Zadanie 37.

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 9 kul: 4 białe, 3 czarne i 2 zielone. W drugim pojemniku jest 6 kul: 2 białe, 3 czarne i 1 zielona. Z każdego pojemnika losujemy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul różnych kolorów.

Zadanie 38.

Dane są dwa pojemniki. W pierwszym z nich znajduje się 11 kul: 7 białych i 4 czarne. W drugim pojemniku jest 6 kul: 3 białe i 3 czarne. Z każdego pojemnika losujemy po dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czterech kul czarnych.

Zadanie 39.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek równej trzy wynosi

Zadanie 40.

Ze zbioru liczb {1 ,2, 3,..., 7} losujemy kolejno dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania liczb, których suma jest podzielna przez 3.

Zadanie 41.

Na stole leżało 14 banknotów: 2 banknoty o nominale 100 zł, 2 banknoty o nominale 50 zł i 10 banknotów o nominale 20 zł. Wiatr zdmuchnął na podłogę 5 banknotów. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że na podłodze leży dokładnie 130 zł.

Zadanie 42.

W pojemniku jest osiem kul ponumerowanych od 1 do 8, przy czym kule z numerami, których reszta z dzielenia przez 3 jest równa 1 są białe, a pozostałe kule są czarne. Losujemy z pojemnika jednocześnie dwie kule. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosujemy kule różnych kolorów, których iloczyn numerów będzie większy od 6 i nie większy od 35.

Zadanie 43.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo zdarzenia, że iloczyn liczb wyrzuconych oczek jest równy 5. Wtedy

Zadanie 44.

Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Prawdopodobieństwo dwukrotnego otrzymania pięciu oczek jest równe

Zadanie 45.

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 14, 15} wybieramy losowo jedną liczbę. Prawdopodobieństwo, że wybierzemy liczbę, której dzielnikiem jest liczba 3, wynosi:

Zadanie 46.

W pudełku są 4 kule białe i kul czerwonych. Prawdopodobieństwo wylosowania kuli czerwonej jest równe , gdy

Zadanie 47.

Spośród dodatnich liczb dwucyfrowych losujemy kolejno bez zwracania dwie liczby. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania dwóch liczb parzystych.

Zadanie 48.

Jacek rzucił pięć razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Liczba wyrzuconych oczek wynosiła kolejno 1, 2, 3, 4 i 5 . Prawdopodobieństwo, że w szóstym rzucie wypadnie 6 oczek jest równe:
 
 
 

Zadanie 49.

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6} losujemy dwa razy po jednej liczbie bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że suma wylosowanych liczb jest liczbą podzielną przez 3.

Zadanie 50.

Jeżeli A jest zdarzeniem losowym, a A' - zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia A oraz zachodzi równość P(A)=2P(A'), to

Zadanie 51.

Ze zbioru liczb {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzeniaA, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6.

Zadanie 52.

Rzucamy trzy razy symetryczną monetą. Prawdopodobieństwo otrzymania co najmniej jednej reszki jest równe
A.
B.
C.
D.

Zadanie 53.

Zbiór M tworzą wszystkie liczby naturalne dwucyfrowe, w zapisie których występują dwie różne cyfry spośród: 1, 2, 3, 4, 5. Ze zbioru M losujemy jedną liczbę, przy czym każda liczba z tego zbioru może być wylosowana z tym samym prawdopodobieństwem. Oblicz prawdopodobieństwo, że wylosujemy liczbę większą od 20, w której cyfra dziesiątek jest mniejsza od cyfry jedności.