1. Wstęp do geometrii analitycznej

Geometria analityczna dotyczy figur umieszczonych w układzie współrzędnych.
Zadania z tego działu bardzo często polegają na policzeniu długości odcinka, znalezieniu wzoru funkcji liniowej przechodzącej przez dane dwa punkty, itp.
Aby móc takie zadania skutecznie rozwiązywać, trzeba przede wszystkim wiedzieć, jak odczytywać współrzędne punktów w układzie współrzędnych.
W poniższym układzie współrzędnych zaznaczono 4 punkty: A, B, C i D.
W nawiasie zapisano również ich współrzędne.
układ współrzędnych z zaznaczonymi punktami Zawsze na pierwszym miejscu zapisywana jest współrzędna x-owa, a na drugim y-owa:
A=(3, 2) Często w treści zadania podawane są współrzędne kilku punktów, które są wierzchołkami jakiejś figury.
Rozwiązywanie takiego zadania zawsze warto zacząć od narysowania układu współrzędnych i zaznaczenia w nim podanych punktów.

Zadanie 1.

Punkt A ma współrzędne (5, 2012) . Punkt B jest symetryczny do punktu A względem osi Ox , a punkt C jest symetryczny do punktu B względem osi Oy . Punkt C ma współrzędne
A. (-5;-2012)
B. (-2012;-5)
C. (-5;2012)
D. (-2012;5)

2. Długość odcinka w układzie współrzędnych

Długość odcinka o końcach w punktach A = (x1, y1) oraz B = (x2, y2) wyraża się wzorem:
|AB|=sqrt((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) rysunek Pomimo, iż powyższy wzór wygląda na dość skomplikowany, to łatwo można go wyprowadzić z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta prostokątnego ABC:
dowód z twierdzenia Pitagorasa Sposób liczenia długości odcinka został również wytłumaczony na poniższych nagraniach wideo.

Zadanie 1.

Na okręgu o środku S = (-6,1) leży punkt A = (-2,4) . Promień tego okręgu jest równy

Zadanie 2.

Punkty B = (−2, 4) i C = (5, 1) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami kwadratu ABCD. Pole tego kwadratu jest równe

Zadanie 3.

Dane są punkty A = (1, -4) i B = (2, 3). Odcinek AB ma długość

Zadanie 4.

Punkty A = (-1, 3) i C = (7, 9) są wierzchołkami prostokąta ABCD . Promień okręgu opisanego na tym prostokącie jest równy
A. 10
B. 6√2
C. 5
D. 3√2

Zadanie 5.

Punkty A = (1,-2), C = (4,2) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Wysokość tego trójkąta jest równa

Zadanie 6.

Punkty A = (-3,-1),B = (2,5) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Pole tego trójkąta jest równe

Zadanie 7.

Punkty B = (0,0), C = (3,0) są dwoma wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Obwód tego trójkąta jest równy

Zadanie 8.

Długość odcinka AB, którego wierzchołki mają współrzędne i , jest równa

Zadanie 9.

Punkty A=(-1,2) i B=(2,6) są wierzchołkami kwadratu ABCD . Pole tego kwadratu jest równe:
 
 
 

3. Środek odcinka

Środkiem odcinka AB, gdzie A = (x1, y1) oraz B = (x2, y2) jest punkt: S = ((x1+x2)/2; (y1+y2)/2) rysunek

Zadanie 1.

Punkt S = (-4, 7) jest środkiem odcinka PQ, gdzie Q = (17, 12). Zatem punkt P ma współrzędne

Zadanie 2.

Punkt S = (3, -1) jest środkiem odcinka AB i A = (-3, -5). Punkt B ma współrzędne:

Zadanie 3.

Punkt S = (2, 7) jest środkiem odcinka AB, w którym A = (-1, 3). Punkt B ma współrzędne:

Zadanie 4.

Punkt S = (4, 1) jest środkiem odcinka AB, gdzie A = (a, 0) i B = (a+3, 2). Zatem

Zadanie 5.

Punkty A = (13,-12) i C = (15,8) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Przekątne tego kwadratu przecinają się w punkcie
A.
B.
C.
D.

4. Równanie okręgu

Równanie okręgu w postaci kanonicznej jest następujące: (x-1)^2 + (y-b)^2 = r^2 gdzie:
S = (a, b) - środek okręgu
r - promień okręgu
rysunek okręgu

Zadanie 1.

Odległość między środkami okręgów o równaniach (x + 1)2 + (y - 2)2 = 9 oraz x2 + y2 = 10 jest równa

Zadanie 2.

Okrąg o równaniu (x + 2)2 + (y - 1)2= 13 ma promień równy

Zadanie 3.

Dane są punkty S = (2, 1), M = (6, 4). Równanie okręgu o środku S i przechodzącego przez punkt M ma postać

Zadanie 4.

Dany jest okrąg o równaniu (x + 3)2 + (y - 4)2 = 25. Środkiem S tego okręgu jest punkt:

Zadanie 5.

Równanie (x + 6)2 + y2 = 4 opisuje okrąg o środku w punkcie S i promieniu r. Wówczas:

Zadanie 6.

Okrąg o równaniu (x + 5)2 + (y - 9)2 = 4 ma środek S i promień r. Wówczas:

Zadanie 7.

Dany jest okrąg o równaniu (x + 4)2 + (y - 6)2 = 100. Środek tego okręgu ma współrzędne

Zadanie 8.

Punkt O jest środkiem okręgu przedstawionego na rysunku. Równanie tego okręgu ma postać:

Zadanie 9.

Wskaż równanie okręgu o promieniu 6.

Zadanie 10.

Na okręgu o równaniu (x - 2)2 + (y + 7)2 = 4 leży punkt
A. A = (-2,5)
B. B = (2,-5)
C. C = (2,-7)
D. D = (7,-2)

Zadanie 11.

Wskaż równanie okręgu o środku S = (1,- 2) i promieniu r = 2

Zadanie 12.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x + 3)2 + (y - 1)2 = 4 z osiami układu współrzędnych jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Zadanie 13.

Środek S okręgu o równaniu x2 + y2 + 4x - 6y - 221 = 0 ma współrzędne
A. S=(-2,3)
B. S=(2,-3)
C. S=(-4,6)
D. S=(4,-6)

Zadanie 14.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x - 1)2 + y2 = 4 z prostą y = -1 jest równa

Zadanie 15.

Dany jest okrąg o środku w punkcie S.rysunek okręgu z zaznaczonymi kątamiMiara kąta α jest równa 70°. Oblicz sumę miar kątów β i γ.

Zadanie 16.

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = -x + 2 z okręgiem o środku w początku układu współrzędnych i promieniu 2?

Zadanie 17.

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = 3 z okręgiem o środku w punkcie S(1, 2) i promieniu 1?

Zadanie 18.

Ile punktów wspólnych ma prosta o równaniu y = 2x + 1 z okręgiem o środku w punkcie S(2, -2) i promieniu 1?

Zadanie 19.

Styczną do okręgu (x - 1)2 + y2 - 4 = 0 jest prosta równaniu

Zadanie 20.

Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S = (4, −2) i przechodzącego przez punkt O = (0, 0).

Zadanie 21.

Wyznacz równanie okręgu stycznego do osi Oy, którego środkiem jest punkt S = (3, -5).

Zadanie 22.

Wyznacz równanie okręgu o środku w punkcie S = (3, -5) przechodzącego przez początek układu współrzędnych.

Zadanie 23.

Prosta o równaniu 3x - 4y - 36 = 0 przecina okrąg o środku S = (3, 12) w punktach A i B. Długość odcinka AB jest równa 40. Wyznacz równanie tego okręgu.

Zadanie 24.

Prosta o równaniu y = x + 2 przecina okrąg o równaniu (x - 3)2 + (y - 5)2 = 25 w punktach A i B. Oblicz współrzędne punktów A i B oraz wyznacz równanie stycznej do danego okręgu przechodzącej przez jeden z tych punktów.

Zadanie 25.

Wyznacz równanie okręgu przechodzącego przez punkt A = (2, 1) i stycznego do obu osi układu współrzędnych. Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 26.

Okrąg o środku w punkcie S = (3, 7) jest styczny do prostej o równaniu y = 2x - 3. Oblicz współrzędne punktu styczności.

Zadanie 27.

Prosta y = x + 4 przecina okrąg o równaniu (x + 1)2 + (y - 2)2 = 25 w punktach A i B. Oblicz współrzędne punktów A i B, a następnie oblicz obwód trójkąta ABS, gdzie S jest środkiem danego okręgu.

Zadanie 28.

Długość okręgu opisanego równaniem x2 - 4x + y2 - 4 = 0 jest równa:

Zadanie 29.

Środkiem okręgu o równaniu (x + 2)2 + (y - 3)2 = 16 jest punkt:
 
 
 

Zadanie 30.

Liczba punktów wspólnych okręgu o równaniu (x+2)^2+(y-3)^2=4 z osiami układu współrzędnych jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4

Zadanie 31.

Punkt P = (-1,0) leży na okręgu o promieniu 3. Równanie tego okręgu może mieć postać
A.
B.
C.
D.

5. Różne zadania z geometrii analitycznej

Zadanie 1.

Punkty A = (-2, -1) i B = (2,2) są wierzchołkami trójkąta równobocznego ABC. Wysokość tego trójkąta jest równa

Zadanie 2.

Wyznacz równanie symetralnej odcinka o końcach A = (-2,2) i B = (2,10).

Zadanie 3.

Wyznacz równanie prostej zawierającej środkową CD trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty A = (-2, -1), B = (6, 1), C = (7, 10).

Zadanie 4.

Dany jest trójkąt równoramienny ABC, w którym |AC| = |BC| oraz A = (2, 1) i C = (1, 9). Podstawa AB tego trójkąta jest zawarta w prostej . Oblicz współrzędne wierzchołka B.

Zadanie 5.

Wyznacz współrzędne punktu B, który jest symetryczny do punktu A = (3, 2) względem prostej .

Zadanie 6.

Punkty A = (-3, 4) i C = (1,3) są wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną BD tego kwadratu.

Zadanie 7.

Punkty A = (-1, 2) i B = (5, -2) są dwoma sąsiednimi wierzchołkami rombu ABCD. Obwód tego rombu jest równy

Zadanie 8.

Punkty A = (-1, -5), B = (3, -1) i C = (2, 4) są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD. Oblicz pole tego równoległoboku.

Zadanie 9.

Punkty A = (-2, 4) i C = (-6, 2) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Zatem promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy:

Zadanie 10.

Okrąg o środku w punkcie jest styczny do prostej o równaniu . Oblicz współrzędne punktu styczności.

Zadanie 11.

Obrazem punktu A=(4,-5) w symetrii względem osi OX jest punkt:
 
 
 

Zadanie 12.

Punkt C = (0,2) jest wierzchołkiem trapezu ABCD, którego podstawa AB jest zawarta w prostej o równaniu y = 2x - 4. Wskaż równanie prostej zawierającej podstawę CD.