1. Definicja funkcji liniowej

Funkcję liniową określa wzór
lub
gdzie:
a - to współczynnik kierunkowy prostej
b - to wyraz wolny
Funkcja liniowa jest rosnąca jeżeli a > 0.
Funkcja liniowa jest malejąca jeżeli a < 0.
Funkcja liniowa jest stała jeżeli a = 0.

2. Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Przykładowo: Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty, które do niego należą.
Przykład 1. Narysuj wykres funkcji y = 2x - 1.
Rozwiązanie:
Podstawiamy dwie dowolne liczby pod x:
  • gdy x = 1 to y = 2⋅1 - 1 = 1
    Zatem do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (1, 1).
  • gdy x = 0 to y = 2⋅0 - 1 = -1
    Zatem do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (0, -1).
Teraz zaznaczamy w układzie współrzędnych wyznaczone punkty, a następnie rysujemy przez nie prostą.

Funkcja liniowa - praktyczny sposób na rysowanie wykresu

Na filmie pokazuję praktyczną metodę na szybkie rysowanie dokładnych wykresów funkcji liniowych.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.Jakie znaki mają współczynniki a i b?

Zadanie 2.

Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x) = ax + b, gdzie a > 0 i b < 0. Wskaż ten wykres.

Zadanie 3.

Funkcja f(x) = 0,5x - 6

Zadanie 4.

Funkcja liniowa jest malejąca, gdy

Zadanie 5.

Funkcja liniowa jest rosnąca i ma dodatnie miejsce zerowe. Stąd wynika, że
A.
B.
C.
D.

3. Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy przyrównując wzór funkcji do zera.
Przykład 1. Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x) = 5x - 15.
Rozwiązanie:
Przyrównujemy wzór funkcji do zera:
5x - 15 = 0
5x = 15
x = 3
Zatem miejscem zerowym podanej funkcji jest x = 3.
Miejsce zerowe funkcji liniowej można również szybko obliczyć ze wzoru:

Zadanie 1.

Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = mx + 2. Wtedy

Zadanie 2.

Dana jest funkcja f(x) = (1 + m2)x - 5. Oblicz współczynnik m jeżeli wiadomo, że x = 1 jest miejscem zerowym funkcji f(x).

Zadanie 3.

Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = -2x + m + 7 jest liczba 3. Wynika stąd, że

Zadanie 4.

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2 - m)x + 1. Wynika stąd, że

Zadanie 5.

Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = -√2x + 4. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

Zadanie 6.

Miejscem zerowym funkcji jest liczba:

4. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Gdy dane są punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB), to równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty wyraża się wzorem: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty można wyznaczyć również inaczej (w związku z tym nie trzeba zapamiętywać powyższego wzoru).
Algorytm na wyznaczenia równania prostej jest następujący:
  • Zapisujemy równanie szukanej prostej w postaci kierunkowej, czyli: W kolejnych krokach będziemy wyznaczyć współczynniki a i b.
  • Podstawiamy współrzędne pierwszego punktu do równania prostej:
  • Podstawiamy współrzędne drugiego punktu do równania prostej:
  • Rozwiązujemy układ równań otrzymując szukane parametry a i b.

Cały powyższy algorytm został przedstawiony w rozwiązaniach poniższych zadań.

Zadanie 1.

Dane są punkty A = (0,2) oraz B = (2,1). Wyznacz równanie prostej AB.

Zadanie 2.

Dane są punkty A = (6, 1) i B = (3, 3). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy

Zadanie 3.

Do wykresu funkcji liniowej należą punkty A = (1, 2) i B = (-2, 5). Funkcja f ma wzór

Zadanie 4.

O funkcji liniowej f wiadomo, że f(1)=2. Do wykresu tej funkcji należy punkt P=(-2,3). Wzór funkcji f to

5. Proste równoległe i prostopadłe

Dwie proste są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe.
Zatem proste k i l dane wzorami równoległe jeżeli: Proste są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność:

Zadanie 1.

Prosta o równaniu jest prostopadła do prostej o równaniu . Stąd wynika, że

Zadanie 2.

Prosta l ma równanie y = -x + 7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.

Zadanie 3.

Prostymi równoległymi są wykresy funkcji liniowych:

Zadanie 4.

Proste: są prostopadłe, jeżeli

Zadanie 5.

Prostą przechodzącą przez punkt A = (1,1) i równoległą do prostej y = 0,5x - 1 opisuje równanie

Zadanie 6.

Proste l i k są prostopadłe i l: 2x - 9y + 6 = 0, k: y = ax + b. Wówczas:

Zadanie 7.

Prosta prostopadła do prostej l o równaniu 4x - 5y + 6 = 0 ma wzór:

Zadanie 8.

Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x - 4y = 5.

Zadanie 9.

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = -3x + 5 jest równy

Zadanie 10.

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x - 6y + 7 = 0

Zadanie 11.

Wyznacz wszystkie parametry m dla których prosta o równaniu y = (m - 1)x + 5 jest
  • rosnąca
  • równoległa do prostej y = -6x + 3

Zadanie 12.

Wyznacz wszystkie parametry m dla których prosta o równaniu y = (3 - 2m)x + 5 jest
  • malejąca
  • prostopadła do prostej y = 2x-3

Zadanie 13.

Proste o równaniach y = 2x - 5 i y = (3 - m)x + 4 są równoległe. Wynika stąd, że

Zadanie 14.

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = 2x - 7.

Zadanie 15.

Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y = 4x + 5

Zadanie 16.

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x - y - 11 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (1,2).

Zadanie 17.

Wybierz i zaznacz równanie opisujące prostą prostopadłą do prostej o równaniu f(x)=1/2 x + 1

Zadanie 18.

Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej równoległej do l.

Zadanie 19.

Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej prostopadłej do l.

Zadanie 20.

Prosta l ma równanie 2y - x = 4. Wskaż równanie prostej równoległej do l.

Zadanie 21.

Prostą równoległą do prostej o równaniu jest prosta opisana równaniem

Zadanie 22.

Proste o równaniach -3y - mx + 12 = 0 oraz y = 6x - 12 są prostopadłe dla m równego:

Zadanie 23.

Wykresy funkcji liniowych oraz :
 
 
 

Zadanie 24.

Dane są równania czterech prostych: Prostopadłe są proste:
A.
B.
C.
D.

6. Proste równoległe/prostopadłe przechodzące przez dany punkt

Często w zadaniach trzeba określić wzór funkcji liniowej na podstawie podanych informacji.
Kilkadziesiąt zadań tego typu zostało już rozwiązanych w rozdziale Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty oraz w rozdziale Proste równoległe i prostopadłe
Poniżej znajdują się zadania, w których trzeba wyznaczyć równania prostych równoległych/prostopadłych i przechodzących jednocześnie przez zadany punkt.

Zadanie 1.

Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu .

Zadanie 2.

Prosta l ma równanie y = -7x + 2. Równanie prostej prostopadłej do l i przechodzącej przez punkt P = (0, 1) ma postać

Zadanie 3.

Punkt A = (0,5) leży na prostej k prostopadłej do prostej o równaniu y = x + 1. Prosta k ma równanie

Zadanie 4.

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu -3x + y - 4 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (-1, -4).

Zadanie 5.

Prosta k ma równanie y = 2x - 3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (-2, 1).

Zadanie 6.

Prostą prostopadłą do prostej i przechodzącą przez punkt opisuje równanie

7. Funkcja liniowa - zadania z parametrem

Zadanie 1.

Punkt A = (0, 1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x) = (m - 2)x + m - 3. Stąd wynika, że

Zadanie 2.

Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x) = (m − 1)x + 6 jest rosnąca

Zadanie 3.

Wskaż m, dla którego funkcja liniowa określona wzorem f(x) = (m - 1)x + 3 jest stała.

Zadanie 4.

Funkcja liniowa f(x) = (m2 - 1)x - 7 jest malejąca, jeśli:

Zadanie 5.

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 5x - m, gdzie m < 0. Wówczas spełniony jest warunek

Zadanie 6.

Prosta o równaniu y = -2x + (3m + 3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy

Zadanie 7.

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax + 6, gdzie a > 0. Wówczas spełniony jest warunek

Zadanie 8.

Dana jest funkcja f(x) = (1 + m2)x - 5. Oblicz współczynnik m jeżeli wiadomo, że x = 1 jest miejscem zerowym funkcji f(x).

Zadanie 9.

Wyznacz wszystkie parametry m dla których prosta o równaniu y = (m - 1)x + 5 jest
  • rosnąca
  • równoległa do prostej y = -6x + 3

Zadanie 10.

Wyznacz wszystkie parametry m dla których prosta o równaniu y = (3 - 2m)x + 5 jest
  • malejąca
  • prostopadła do prostej y = 2x-3

Zadanie 11.

Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = -2x + m + 7 jest liczba 3. Wynika stąd, że

Zadanie 12.

Proste o równaniach y = 2x - 5 i y = (3 - m)x + 4 są równoległe. Wynika stąd, że

Zadanie 13.

Funkcja liniowa f(x) = (m - 2)x - 11 jest rosnąca dla

Zadanie 14.

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2 - m)x + 1. Wynika stąd, że

Zadanie 15.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).
Funkcja jest malejąca w przedziale

8. Inne zadania z funkcji liniowej

Zadanie 1.

Funkcja liniowa f(x) = 6 - 2x przyjmuje wartości nieujemne wtedy i tylko wtedy, gdy: