Jesteś tu: SzkołaFunkcja liniowa

1. Definicja funkcji liniowej

Funkcję liniową określa wzór
lub
gdzie:
a - to współczynnik kierunkowy prostej
b - to wyraz wolny
Funkcja liniowa jest rosnąca jeżeli a > 0.
Funkcja liniowa jest malejąca jeżeli a < 0.
Funkcja liniowa jest stała jeżeli a = 0.

2. Wykres funkcji liniowej

Wykresem funkcji liniowej jest linia prosta. Przykładowo: Aby narysować wykres funkcji liniowej, wystarczy wyznaczyć dwa punkty, które do niego należą.
Przykład 1. Narysuj wykres funkcji y = 2x - 1.
Rozwiązanie:
Podstawiamy dwie dowolne liczby pod x:
  • gdy x = 1 to y = 2⋅1 - 1 = 1
    Zatem do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (1, 1).
  • gdy x = 0 to y = 2⋅0 - 1 = -1
    Zatem do wykresu funkcji należy punkt o współrzędnych (0, -1).
Teraz zaznaczamy w układzie współrzędnych wyznaczone punkty, a następnie rysujemy przez nie prostą.

Funkcja liniowa - praktyczny sposób na rysowanie wykresu

Na filmie pokazuję praktyczną metodę na szybkie rysowanie dokładnych wykresów funkcji liniowych.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

Zadanie 1.

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu pewnej funkcji liniowej y = ax + b.Jakie znaki mają współczynniki a i b?

Zadanie 2.

Jeden z rysunków przedstawia wykres funkcji liniowej f(x) = ax + b, gdzie a > 0 i b < 0. Wskaż ten wykres.

Zadanie 3.

Funkcja f(x) = 0,5x - 6

3. Miejsce zerowe funkcji liniowej

Miejsce zerowe funkcji liniowej obliczamy przyrównując wzór funkcji do zera.
Przykład 1. Wyznacz miejsce zerowe funkcji f(x) = 5x - 15.
Rozwiązanie:
Przyrównujemy wzór funkcji do zera:
5x - 15 = 0
5x = 15
x = 3
Zatem miejscem zerowym podanej funkcji jest x = 3.
Miejsce zerowe funkcji liniowej można również szybko obliczyć ze wzoru:

Zadanie 1.

Liczba (−2) jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = mx + 2. Wtedy

Zadanie 2.

Dana jest funkcja f(x) = (1 + m2)x - 5. Oblicz współczynnik m jeżeli wiadomo, że x = 1 jest miejscem zerowym funkcji f(x).

Zadanie 3.

Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = -2x + m + 7 jest liczba 3. Wynika stąd, że

Zadanie 4.

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2 - m)x + 1. Wynika stąd, że

Zadanie 5.

Funkcja liniowa określona jest wzorem f(x) = -√2x + 4. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba

4. Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty

Gdy dane są punkty A = (xA, yA) i B = (xB, yB), to równanie prostej przechodzącej przez te dwa punkty wyraża się wzorem: Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty można wyznaczyć również inaczej (w związku z tym nie trzeba zapamiętywać powyższego wzoru).
Algorytm na wyznaczenia równania prostej jest następujący:
  • Zapisujemy równanie szukanej prostej w postaci kierunkowej, czyli: W kolejnych krokach będziemy wyznaczyć współczynniki a i b.
  • Podstawiamy współrzędne pierwszego punktu do równania prostej:
  • Podstawiamy współrzędne drugiego punktu do równania prostej:
  • Rozwiązujemy układ równań otrzymując szukane parametry a i b.

Cały powyższy algorytm został przedstawiony w rozwiązaniach poniższych zadań.

Zadanie 1.

Dane są punkty A = (0,2) oraz B = (2,1). Wyznacz równanie prostej AB.

Zadanie 2.

Dane są punkty A = (6, 1) i B = (3, 3). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy

Zadanie 3.

Do wykresu funkcji liniowej należą punkty A = (1, 2) i B = (-2, 5). Funkcja f ma wzór

5. Proste równoległe i prostopadłe

Dwie proste są równoległe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe są równe.
Zatem proste k i l dane wzorami równoległe jeżeli: Proste są prostopadłe, jeżeli ich współczynniki kierunkowe spełniają zależność:

Zadanie 1.

Prosta o równaniu jest prostopadła do prostej o równaniu . Stąd wynika, że

Zadanie 2.

Prosta l ma równanie y = -x + 7. Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej l.

Zadanie 3.

Prostymi równoległymi są wykresy funkcji liniowych:

Zadanie 4.

Proste: są prostopadłe, jeżeli

Zadanie 5.

Prostą przechodzącą przez punkt A = (1,1) i równoległą do prostej y = 0,5x - 1 opisuje równanie

Zadanie 6.

Proste l i k są prostopadłe i l: 2x - 9y + 6 = 0, k: y = ax + b. Wówczas:

Zadanie 7.

Prosta prostopadła do prostej l o równaniu 4x - 5y + 6 = 0 ma wzór:

Zadanie 8.

Wskaż równanie prostej prostopadłej do prostej o równaniu 2x - 4y = 5.

Zadanie 9.

Współczynnik kierunkowy prostej równoległej do prostej o równaniu y = -3x + 5 jest równy

Zadanie 10.

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 3x - 6y + 7 = 0

Zadanie 11.

Wyznacz wszystkie parametry m dla których prosta o równaniu y = (m - 1)x + 5 jest
  • rosnąca
  • równoległa do prostej y = -6x + 3

Zadanie 12.

Wyznacz wszystkie parametry m dla których prosta o równaniu y = (3 - 2m)x + 5 jest
  • malejąca
  • prostopadła do prostej y = 2x-3

Zadanie 13.

Proste o równaniach y = 2x - 5 i y = (3 - m)x + 4 są równoległe. Wynika stąd, że

Zadanie 14.

Wskaż równanie prostej równoległej do prostej o równaniu y = 2x - 7.

Zadanie 15.

Które z poniższych równań opisuje prostą prostopadłą do prostej o równaniu y = 4x + 5

Zadanie 16.

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu 2x - y - 11 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (1,2).

Zadanie 17.

Wybierz i zaznacz równanie opisujące prostą prostopadłą do prostej o równaniu f(x)=1/2 x + 1

Zadanie 18.

Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej równoległej do l.

Zadanie 19.

Prosta l ma równanie y = 2x - 11. Wskaż równanie prostej prostopadłej do l.

Zadanie 20.

Prosta l ma równanie 2y - x = 4. Wskaż równanie prostej równoległej do l.

Zadanie 21.

Prostą równoległą do prostej o równaniu jest prosta opisana równaniem

6. Proste równoległe/prostopadłe przechodzące przez dany punkt

Często w zadaniach trzeba określić wzór funkcji liniowej na podstawie podanych informacji.
Kilkadziesiąt zadań tego typu zostało już rozwiązanych w rozdziale Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty oraz w rozdziale Proste równoległe i prostopadłe
Poniżej znajdują się zadania, w których trzeba wyznaczyć równania prostych równoległych/prostopadłych i przechodzących jednocześnie przez zadany punkt.

Zadanie 1.

Wskaż równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej o równaniu .

Zadanie 2.

Prosta l ma równanie y = -7x + 2. Równanie prostej prostopadłej do l i przechodzącej przez punkt P = (0, 1) ma postać

Zadanie 3.

Punkt A = (0,5) leży na prostej k prostopadłej do prostej o równaniu y = x + 1. Prosta k ma równanie

Zadanie 4.

Napisz równanie prostej równoległej do prostej o równaniu -3x + y - 4 = 0 i przechodzącej przez punkt P = (-1, -4).

Zadanie 5.

Prosta k ma równanie y = 2x - 3. Wskaż równanie prostej l równoległej do prostej k i przechodzącej przez punkt D o współrzędnych (-2, 1).

7. Funkcja liniowa - zadania z parametrem

Zadanie 1.

Punkt A = (0, 1) leży na wykresie funkcji liniowej f(x) = (m - 2)x + m - 3. Stąd wynika, że

Zadanie 2.

Wskaż m, dla którego funkcja liniowa f(x) = (m − 1)x + 6 jest rosnąca

Zadanie 3.

Wskaż m, dla którego funkcja liniowa określona wzorem f(x) = (m - 1)x + 3 jest stała.

Zadanie 4.

Funkcja liniowa f(x) = (m2 - 1)x - 7 jest malejąca, jeśli:

Zadanie 5.

Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 5x - m, gdzie m < 0. Wówczas spełniony jest warunek

Zadanie 6.

Prosta o równaniu y = -2x + (3m + 3) przecina w układzie współrzędnych oś Oy w punkcie (0,2). Wtedy

Zadanie 7.

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax + 6, gdzie a > 0. Wówczas spełniony jest warunek

Zadanie 8.

Dana jest funkcja f(x) = (1 + m2)x - 5. Oblicz współczynnik m jeżeli wiadomo, że x = 1 jest miejscem zerowym funkcji f(x).

Zadanie 9.

Wyznacz wszystkie parametry m dla których prosta o równaniu y = (m - 1)x + 5 jest
  • rosnąca
  • równoległa do prostej y = -6x + 3

Zadanie 10.

Wyznacz wszystkie parametry m dla których prosta o równaniu y = (3 - 2m)x + 5 jest
  • malejąca
  • prostopadła do prostej y = 2x-3

Zadanie 11.

Miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = -2x + m + 7 jest liczba 3. Wynika stąd, że

Zadanie 12.

Proste o równaniach y = 2x - 5 i y = (3 - m)x + 4 są równoległe. Wynika stąd, że

Zadanie 13.

Funkcja liniowa f(x) = (m - 2)x - 11 jest rosnąca dla

Zadanie 14.

Liczba 1 jest miejscem zerowym funkcji liniowej f(x) = (2 - m)x + 1. Wynika stąd, że

Zadanie 15.

Rysunek przedstawia wykres funkcji y = f(x).
Funkcja jest malejąca w przedziale

8. Inne zadania z funkcji liniowej

Zadanie 1.

Funkcja liniowa f(x) = 6 - 2x przyjmuje wartości nieujemne wtedy i tylko wtedy, gdy: