Matura
◀ Tier lista + Plan nauki
Checklista do matury rozszerzonej 2026 ▶

Checklista do matury podstawowej 2026

Drukuj
Poziom podstawowy
Wielka lista kontrolna pytań do matury podstawowej z matematyki.
  • 72 pytania kontrolne z 200 podpunktami.
  • Rozwiązania wideo do każdego podpunktu.
  • Pytania oznaczone orientacyjną liczbą punktów i szansą na pojawienie się na maturze.
  • Oznaczenia Tierami: S+ S i A - ważne pewniaki na maturę; B, C - mniejsza szansa pojawienia i/lub większa trudność; D - zagadnienia trudne lub z bardzo małą szansą pojawienia; E - prawie na pewno się nie pojawią.
  • Zadania ułożone w taki sposób, aby rachunki były łatwe, ale żeby sprawdzały kluczowe umiejętności wymagane na maturze.
Checklista w PDF do pobrania
Checklista zawiera przegląd wszystkich zagadnień wymaganych na maturze podstawowej, ale nie wyczerpuje wszystkich typów zadań.
Pełne przygotowanie znajdziesz w Kursie do matury podstawowej.
Powodzenia!
Czy umiesz wykonywać działania na potęgach?
Zapisz poniższe wyrażenia w postaci jednej potęgi \(a^k\):
  • \(2^{10}\cdot 4^{20}\)
  • \(\frac{9^{30}\cdot 81^4}{3^{10}}\)
  • \(3^6+3^6+3^6\)
  • \((3^5)^{\sqrt{2}\cdot \sqrt{8}}\)
  • \(2^{50}\)
  • \(3^{66}\)
  • \(3^7\)
  • \(3^{20}\)
Czy umiesz wykonywać działania na pierwiastkach?
Oblicz:
  • \(\sqrt{8}-\sqrt{2}\)
  • \((\sqrt{3}+2\sqrt{3}+3\sqrt{3})^2\)
  • \(\frac{3\sqrt{5}-\sqrt{5}}{5\sqrt{5}}\)
  • \(\sqrt[3]{-\frac{1}{8}}+\sqrt{2^{-2}}\)
  • \(\frac{\sqrt[5]{5}\cdot \sqrt[6]{25}}{5^{\frac{1}{3}+\frac{1}{5}}}\)
  • \(\sqrt{2}\)
  • \(108\)
  • \(\frac{2}{5}\)
  • \(0\)
  • \(1\)
Czy umiesz wykonywać działania na logarytmach?
Oblicz:
  • \(\log_2(8\sqrt{2})\)
  • \(\log_{25}\sqrt[7]{5}\)
  • \(\log_550-\log_52\)
  • \(\log_2\frac{8}{9}+4\log_2\sqrt{6}\)
  • \(\frac{7}{2}\)
  • \(\frac{1}{14}\)
  • \(2\)
  • \(\log_232=5\)
Czy umiesz obliczać wartość wyrażenia z wartością bezwzględną i rozwiązywać proste równania z wartością bezwzględną?
  • Oblicz: \(|1+\sqrt{2}|+|1-\sqrt{2}|\)
  • Oblicz: \(\frac{|3-\pi|+3}{\pi^2}\)
  • Rozwiąż równanie: \(|x+2|=7\)
  • Rozwiąż równanie: \(\left|3x^2-\frac{x}{7}\right|=1-\sqrt{2}\)
  • \(2\sqrt{2}\)
  • \(\frac{1}{\pi}\)
  • \(x=5\) lub \(x=-9\)
  • brak rozwiązań
Czy umiesz korzystać ze wzorów skróconego mnożenia?
  • Oblicz: \((\sqrt{2}-\sqrt{3})\cdot (\sqrt{3}+\sqrt{2})\)
  • Oblicz: \((3\sqrt{7}-1)^2+6\sqrt{7}\)
  • Wykaż, że liczba \((\sqrt{2}-\sqrt{8})^{26}\) jest liczbą całkowitą.
  • \(-1\)
  • \(64\)
  • \((\sqrt{2}-\sqrt{8})^{26}=(-\sqrt{2})^{26}=(\sqrt{2})^{26}=2^{13}\), więc jest to liczba całkowita.
Czy wiesz, jak zapisać liczbę:
  • parzystą?
  • nieparzystą?
  • podzielną przez \(7\)?
  • taką, która przy dzieleniu przez \(5\) daje resztę \(2\)?
  • \(2k,\ k\in\mathbb{Z}\)
  • \(2k+1,\ k\in\mathbb{Z}\)
  • \(7k,\ k\in\mathbb{Z}\)
  • \(5k+2,\ k\in\mathbb{Z}\)
Czy umiesz rozwiązywać zadania dowodowe z podzielnością i resztą z dzielenia?
  • Wykaż, że liczba \(7^{13}+7^{14}+7^{15}\) jest podzielna przez \(57\).
  • Wykaż, że liczba \(2026^{2027}+2026^{2026}\) jest podzielna przez \(2027\).
  • Niech \(a\) to będzie liczba, która przy dzieleniu przez \(6\) daje resztę \(1\). Wykaż, że liczba \(a^2-1\) jest podzielna przez \(12\).
  • Niech \(a\) to będzie liczba podzielna przez \(8\), a \(b\) to liczba która przy dzieleniu przez \(4\) daje resztę \(3\). Wykaż, że liczba \(a+2b-6\) jest podzielna przez \(8\).
  • \(7^{13}+7^{14}+7^{15}=7^{13}(1+7+49)=57\cdot7^{13}\), więc liczba jest podzielna przez \(57\).
  • \(2026^{2027}+2026^{2026}=2026^{2026}(2026+1)=2026^{2026}\cdot2027\), więc liczba jest podzielna przez \(2027\).
  • Skoro \(a=6k+1\), to \(a^2-1=(6k+1)^2-1=36k^2+12k=12(3k^2+k)\), więc liczba jest podzielna przez \(12\).
  • Skoro \(a=8k\) oraz \(b=4l+3\), to \(a+2b-6=8k+2(4l+3)-6=8k+8l=8(k+l)\), więc liczba jest podzielna przez \(8\).
Czy znasz własności podzielności liczb?
  • Oblicz największy wspólny dzielnik liczb \(2^8\cdot3^7\cdot 5^6\) oraz \(3^6\cdot 5^5\cdot 7^4\).
  • Oblicz resztę z dzielenia liczby \(27\) przez liczbę \(13\).
  • Wskaż najmniejszą liczbę pierwszą większą od \(19\).
  • Czy liczba \(10001007\) jest podzielna przez \(3\)?
  • Czy liczba \(1234525\) jest podzielna przez \(25\)?
  • Czy liczba \(654321\cdot 123456\) jest podzielna przez \(2\)?
  • Czy liczba \(654321 + 123456\) jest podzielna przez \(2\)?
  • \(3^6\cdot5^5\)
  • \(1\)
  • \(23\)
  • Tak, bo suma cyfr wynosi \(9\).
  • Tak, bo liczba kończy się cyframi \(25\).
  • Tak, bo \(123456\) jest liczbą parzystą.
  • Nie, bo suma liczby nieparzystej i parzystej jest nieparzysta.
Czy umiesz wykonywać działania na ułamkach oraz usuwać niewymierność z mianownika?
  • Oblicz: \(\frac{\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\cdot \frac{3}{2}}{\frac{9}{5}}\)
  • Usuń niewymierność z mianownika: \(\frac{3}{\sqrt{5}}\)
  • Usuń niewymierność z mianownika: \(\frac{3}{1-\sqrt{5}}\)
  • Uprość: \(\frac{3\sqrt{2}-2}{\sqrt{2}}\)
  • \(\frac{5}{7}\)
  • \(\frac{3\sqrt{5}}{5}\)
  • \(-\frac{3+3\sqrt{5}}{4}\)
  • \(3-\sqrt{2}\)
Czy umiesz wykonywać działania na procentach?
  • Oblicz liczbę, której \(20\%\) jest równe \(4\).
  • Liczba \(a\) to \(20\%\) liczby \(b\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{5b}{a}\).
  • Cenę pewnego towaru obniżono o \(10\%\), a potem nową cenę podwyższono o \(10\%\). Czy cena towaru wróciła do początkowej wartości?
  • Wpłacono \(1000\) zł na lokatę oprocentowaną w wysokości \(4\%\) w skali roku. Zapisz wzorem, ile środków będzie na lokacie po \(10\) latach oszczędzania (nie uwzględniając podatku).
  • \(20\)
  • \(25\)
  • Nie, bo po obniżce i podwyżce cena wynosi \(0{,}9\cdot1{,}1=0{,}99\), czyli \(99\%\) ceny początkowej.
  • \(1000\cdot1{,}04^{10}\)
Czy umiesz rozwiązywać równania i nierówności liniowe?
  • Rozwiąż równanie: \(\sqrt{2}+\sqrt{3}x=4\sqrt{2}\)
  • Rozwiąż nierówność: \(\frac{2x+1}{3}-x\gt2\)
  • \(x=\sqrt{6}\)
  • \(x\lt-5\)
Czy umiesz rozwiązywać układy równań?
  • Rozwiąż układ: \(\begin{cases} y=2x+1 \\ 3x+y=6 \end{cases} \)
  • Rozwiąż układ: \(\begin{cases} 7x+9y=5 \\ 7x+8y=0 \end{cases} \)
  • \(\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases} \)
  • \(\begin{cases} y=5 \\ x=-\frac{40}{7} \end{cases} \)
Czy umiesz rozwiązywać zadania tekstowe prowadzące do układu dwóch równań z dwiema niewiadomymi?
  • Podczas szkolnego kiermaszu sprzedawano dwa rodzaje cegiełek charytatywnych: zwykłe i specjalne. Sprzedano łącznie \(150\) cegiełek. Cegiełka zwykła kosztowała \(20\) zł. Ze sprzedaży wszystkich cegiełek zebrano \(4200\) zł, z czego \(80\%\) tej kwoty pochodziło ze sprzedaży cegiełek specjalnych. Oblicz, ile sprzedano cegiełek specjalnych.
  • \(108\) specjalnych i \(42\) zwykłe
Czy umiesz skracać wyrażenia wymierne?
  • Uprość wyrażenie: \(\frac{(x-1)(x+2)}{x^2}\cdot \frac{x^3(x+3)}{(x+2)^2}\). Jakie założenia należy przyjąć?
  • Określ dziedzinę i uprość wyrażenie: \(\frac{1}{x^2 - 2x + 1} : \frac{x+1}{x-1}\)
  • \(\frac{x(x-1)(x+3)}{x+2}, \quad x\neq 0 \land x\neq -2\)
  • \(\frac{1}{(x-1)(x+1)}, \quad x\neq 1 \land x\neq -1\)
Czy umiesz rozwiązywać równania dane w postaci iloczynowej?
  • Rozwiąż równanie: \((x-2)(x+3)(x-5)^2=0\)
  • Ile rozwiązań ma równanie: \(\frac{x^2(x-1)(x-2)^2(x-3)^2}{x(x-4)}=0\)
  • \(x=2 \lor x=-3 \lor x=5\)
  • \(3\) (rozwiązanie \(x=0\) odpada z dziedziny)
Czy umiesz wykonywać działania na wielomianach?
  • Dany jest wielomian \(W(x)=3x^4+2x^2-1\). Oblicz wartość wyrażenia \(\frac{W(1)-W(0)}{W(0)}\).
  • Dane są wielomiany \(W(x)=x^4-1\) oraz \(P(x)=x^5-x^3+2x\). Wyznacz stopień wielomianu \(Q(x)=W(x)\cdot P(x)\) oraz wielomianu \(R(x)=W(x) + P(x)\).
  • Dany jest wielomian \(W(x)=x^6-x^5+(k+3)x^4\) z parametrem \(k\). Dla jakiego parametru \(k\) równanie \(|2x-W(2026)|=W(1)\) jest sprzeczne?
  • \(-5\)
  • stopień \(Q(x)\) jest równy \(9\), a stopień \(\deg R(x)\) jest równy \(5\)
  • \(k\lt -3\)
Czy umiesz rozwiązywać równania kwadratowe?
Rozwiąż równanie:
  • \(2x^2+3x-4=0\)
  • \(2x^2+3x=0\)
  • \((x-5)^2=9\)
  • \((2x+3)(x-2)=0\)
  • \((x-\sqrt{2})^2+3x^2+1=0\)
  • \(x=\frac{-3-\sqrt{41}}{4}\ \lor\ x=\frac{-3+\sqrt{41}}{4}\)
  • \(x=0\ \lor\ x=-\frac{3}{2}\)
  • \(x=2\ \lor\ x=8\)
  • \(x=-\frac{3}{2}\ \lor\ x=2\)
  • Brak rozwiązań.
Czy umiesz rozwiązywać proste równania wymierne?
Rozwiąż równanie i zapisz założenia:
  • \(\frac{2}{x}=\frac{x}{2x-2}\)
  • \(\frac{x+2}{x-1}=\frac{5x+5}{x-2}\)
  • \(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=2\)
  • Założenia: \(x\neq 0 \land x\neq 1\). Rozwiązanie: \(x=2\)
  • Założenia: \(x\neq 1 \land x\neq 2\). Rozwiązanie: \(x=-\frac{1}{2} \lor x=\frac{1}{2}\)
  • Założenia: \(x\neq 0\). Rozwiązanie: \(x=-\frac{1}{2} \lor x=1\)
Czy wiesz, co to są równania i nierówności sprzeczne i tożsamościowe?
  • Ile rozwiązań ma równanie: \(5x^2-x=(2x-1)(2x+1)+x^2-x+1\) ?
  • Ile rozwiązań ma nierówność: \(3x^2+|2x-\sqrt{3}|\lt 0\) ?
  • Dla jakiego parametru \(m\) równanie: \(2mx+3=1-x\) jest sprzeczne?
  • Dla jakiego parametru \(m\) nierówność: \(x^2+mx+1\lt 0\) jest sprzeczna?
  • Dla jakiego parametru \(m\) równanie: \((m-2)x^2+5x+6=(x+2)(x+3)\) jest tożsamościowe?
  • Nieskończenie wiele rozwiązań - równanie jest tożsamościowe.
  • \(0\) - nierówność jest sprzeczna
  • \(m=-\frac{1}{2}\)
  • \(m\in[-2,2]\)
  • \(m=3\)
Czy umiesz odczytywać informacje z wykresu funkcji?
Dany jest wykres funkcji \(f\):
  • Dziedzina funkcji \(f\) to: .................
  • Zbiór wartości funkcji \(f\) to: .................
  • Największa wartość funkcji \(f\) to: .................
  • Najmniejsza wartość funkcji \(f\) to: .................
  • Największa wartość funkcji \(f\) jest przyjmowana dla argumentu: .................
  • Wyrażenie \(\frac{f(0)+f(2)}{f(1)}\) jest równe: .................
  • Oceń prawdziwość zdań:
    Funkcja jest stała na przedziale \([-5, -3]\)PF
    Funkcja jest malejąca na przedziale \([-3, -2]\)PF
    Funkcja jest stała na przedziale \([-2, 1]\)PF
    Funkcja jest rosnąca na przedziale \([1, 2]\)PF
    Funkcja jest rosnąca na przedziale \([2, 4)\)PF
  • Dziedzina funkcji \(f\) to: \([-5,4)\)
  • Zbiór wartości funkcji \(f\) to: \([0,4]\)
  • Największa wartość funkcji \(f\) to: \(4\)
  • Najmniejsza wartość funkcji \(f\) to: \(0\)
  • Wartość największa funkcji \(f\) jest przyjmowana dla argumentów: \(x\in[-5,-3]\)
  • \(\frac{f(0)+f(2)}{f(1)}=\frac{1}{2}\)
  • \(\text{P}, \text{P}, \text{F}, \text{F}, \text{P}\)
Czy umiesz wykorzystać informacje o funkcji dane za pomocą wzoru, opisu słownego lub tabeli?
  • Funkcja \(f\) każdej liczbie wymiernej przyporządkowuje liczbę o \(1\) większą, a każdej liczbie niewymiernej przyporządkowuje kwadrat tej liczby. Oblicz \(f(1)\cdot f(\sqrt{2})\).
  • Dana jest funkcja za pomocą tabelki:
    \(x\)\(-2\)\(-1\)\(0\)\(1\)\(2\)
    \(y\)\(0\)\(0\)\(-1\)\(-1\)\(5\)
    Oceń prawdziwość zdań:
    Funkcja ma trzy miejsca zerowe.PF
    Najmniejsza wartość tej funkcji to \(-2\).PF
  • Dana jest funkcja wzorem \(f(x)=\frac{x^2-3}{(5-\sqrt{7})x-\sqrt[3]{5}}\). Oblicz \(f(\sqrt{3})\).
  • \(4\)
  • \(\text{F}, \text{F}\)
  • \(0\)
Czy umiesz rysować i interpretować funkcję liniową?
  • Wyznacz wzór funkcji liniowej danej na wykresie:
  • Narysuj wykres funkcji \(f(x)=2x-\sqrt{2}\)
  • Dana jest funkcja liniowa \(y=ax+b\). Wiadomo, że \(b\lt 0\). Wyznacz wszystkie współczynniki \(a\), dla których funkcja ma dodatnie miejsce zerowe.
  • Dana jest funkcja liniowa \(y=(m^2-1)x+2\). Wyznacz wszystkie parametry \(m\), dla których funkcja nie ma miejsc zerowych.
  • \(f(x)=-\frac{2}{3}x+2\)
  • Wykres: prosta przechodząca np. przez punkty \((0,-\sqrt{2})\) oraz \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2},0\right)\).
  • \(a\gt 0\)
  • \(m=-1 \lor m=1\)
Czy umiesz narysować funkcję kwadratową daną w postaci ogólnej?
  • Narysuj wykres funkcji \(f(x)=x^2\).
  • Narysuj wykres funkcji \(f(x)=-\frac{1}{3}x^2\).
  • Narysuj wykres funkcji \(f(x)=x^2+3x+2\).
Czy znasz postać kanoniczną funkcji kwadratowej oraz jej związek z wierzchołkiem?
  • Wyznacz wzór funkcji kwadratowej o wierzchołku w punkcie \((2,-1)\) i przechodzącej przez początek układu współrzędnych.
  • Wyznacz wierzchołek funkcji kwadratowej \(f(x)=-\frac{1}{3}(x-5)^2+7\).
  • Wyznacz równanie osi symetrii funkcji \(f(x)=2(x+3)^2-1\).
  • \(f(x)=\frac{1}{4}(x-2)^2-1\)
  • \((5,7)\)
  • \(x=-3\)
Czy znasz postać iloczynową funkcji kwadratowej oraz jej związek z miejscami zerowymi?
  • Wyznacz miejsca zerowe funkcji kwadratowej \(f(x)=3\left(2x-\sqrt{2}\right)(x+2)\).
  • Zapisz postać iloczynową funkcji \(f(x)=x^2-5\).
  • Zapisz postać iloczynową funkcji \(f(x)=x^2-6x+9\).
  • Wyznacz równanie osi symetrii funkcji \(f(x)=(x+2)(x-4)\).
  • \(x=\frac{\sqrt{2}}{2} \lor x=-2\)
  • \(f(x)=\left(x-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)\)
  • \(f(x)=(x-3)^2\)
  • \(x=1\)
Czy umiesz rysować wykres funkcji kwadratowej oraz interpretować jego własności?
  • Wykres funkcji kwadratowej \(f(x)\) przechodzi przez punkty \(A=(0,2)\) i \(B=(3,0)\) oraz ma oś symetrii \(x=4\). Wyznacz wzór funkcji \(f(x)\) i narysuj jej wykres.
  • \(f(x)=\frac{2}{15}(x-3)(x-5)\)
Czy wiesz jak wyznaczać wartość największą i najmniejszą funkcji kwadratowej na przedziale domkniętym?
  • Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=-(x-2)^2+5\) na przedziale \([0, 6]\).
  • Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji \(f(x)=x(x-4)\) na przedziale \([-1, 3]\).
  • Wartość największa: \(f(2)=5\), wartość najmniejsza: \(f(6)=-11\).
  • Wartość największa: \(f(-1)=5\), wartość najmniejsza: \(f(2)=-4\).
Czy umiesz rozwiązywać zadania optymalizacyjne z funkcji kwadratowej?
  • Zysk pewnej firmy w zależności od liczby pracowników \(n\) opisuje funkcja: \(f(n)=10(n-5)(35-n)\). Oblicz, dla ilu zatrudnionych pracowników zysk firmy jest największy.
  • Rozważamy wszystkie romby o sumie długości przekątnych równej \(10\). Podaj wzór i dziedzinę funkcji opisującej zależność pola takiego rombu od długości \(x\) jednej przekątnej. Oblicz wymiary tego z rozważanych rombu, który ma największe pole, i oblicz to największe pole.
  • Zysk firmy jest największy dla \(n=20\), czyli przy \(20\) zatrudnionych pracownikach.
  • \(P(x)=\frac{x(10-x)}{2}\), gdzie \(x\in(0,10)\). Największe pole ma romb o przekątnych długości \(5\) i \(5\), a jego pole wynosi \(P_{\max}=\frac{25}{2}\).
Czy umiesz rozwiązywać nierówności kwadratowe?
  • \(3x^2-3x\le 6\)
  • \(x^2-\sqrt{3}x+10\gt 0\)
  • \((1-x)(2+x)\lt 0\)
  • \(x\in[-1,2]\)
  • \(x\in\mathbb{R}\)
  • \(x\in(-\infty,-2)\cup(1,\infty)\)
Czy wiesz, co to jest proporcjonalność odwrotna?
  • Samochód pokonuje pewną trasę w \(4\) godziny, jeżeli jedzie z prędkością \(80\) km/h. W jakim czasie pokona tę samą trasę jadąc z prędkością \(100\) km/h?
  • Funkcja \(f(x)\) opisuje zależność odwrotnie proporcjonalną. Wiadomo, że \(f(2)=5\). Oblicz \(f(3)\).
  • Samochód pokona tę trasę w \(3{,}2\) godziny, czyli w \(3\) godziny i \(12\) minut.
  • \(f(3)=\frac{10}{3}\)
Czy wiesz co to jest funkcja wykładnicza i znasz jej wykres?
  • Oblicz wartość, jaką przyjmuje funkcja \(f(x)=2^x+3\) dla argumentu \(3\).
  • Funkcja wykładnicza \(f(x)=a^{x+1}-3\) jest malejąca. Której spośród liczb ze zbioru \(\left\{-2, -1, -\frac{1}{2}, 0, \frac{1}{2}, 1, 2\right\}\) może być wartością współczynnika \(a\)?
  • \(f(3)=11\)
  • \(a=\frac{1}{2}\)
Czy wiesz co to jest funkcja logarytmiczna i znasz jej wykres?
  • Oblicz wartość, jaką przyjmuje funkcja \(f(x)=\log_3 (x-2)+1\) dla argumentu \(5\).
  • Jaka jest dziedzina oraz zbiór wartości funkcji \(f(x)=\log_\frac{1}{2}(x-3)\)?
  • \(f(5)=2\)
  • Dziedzina: \(x\in(3,\infty)\), zbiór wartości: \(y\in\mathbb{R}\).
Czy wiesz, jak wpływa na wzór funkcji przesunięcie jej wykresu w pionie, albo poziomie o ustaloną wartość?
Wykres funkcji \(f(x)=2^x+1\) przesunięto
  • w pionie o \(3\) jednostki do góry,
  • w pionie o \(4\) jednostki do dołu,
  • w poziomie o \(5\) jednostek w lewo,
  • w poziomie o \(6\) jednostek w prawo.
i otrzymano wykres funkcji \(g(x)\). Zapisz wzór funkcji \(g(x)\).
  • \(g(x)=2^x+4\)
  • \(g(x)=2^x-3\)
  • \(g(x)=2^{x+5}+1\)
  • \(g(x)=2^{x-6}+1\)
Czy wiesz, co to jest ciąg arytmetyczny i znasz jego własności?
  • W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=2\) oraz \(a_2=5\). Oblicz \(a_3\).
  • W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są: \(a_7=3\) oraz \(a_{11}=-5\). Oblicz \(a_5\).
  • Dany jest trzywyrazowy ciąg arytmetyczny: \((6, 2m+1, 5)\). Oblicz \(m\).
  • Oblicz sumę wszystkich liczb naturalnych dwucyfrowych podzielnych przez \(3\).
  • \(a_3=8\)
  • \(a_5=7\)
  • \(m=\frac{9}{4}\)
  • \(111\cdot 15=1665\)
Czy wiesz, co to jest ciąg geometryczny i znasz jego własności?
  • W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_1=2\) oraz \(a_2=6\). Oblicz \(a_3\).
  • W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są: \(a_7=10\) oraz \(a_{9}=250\). Oblicz \(a_6\).
  • Dany jest trzywyrazowy rosnący ciąg geometryczny: \((x, 2x, 5)\). Oblicz \(x\).
  • Pierwszy wyraz ciągu geometrycznego jest równy \((-1)\), a iloraz \(q=2\). Oblicz sumę \(10\) początkowych wyrazów tego ciągu.
  • \(a_3=18\)
  • \(a_6=2\) lub \(a_6=-2\)
  • \(x=\frac{5}{4}\)
  • \(S_{10}=-1023\)
Czy umiesz korzystać ze wzoru ciągu danego w postaci ogólnej?
  • Oblicz trzeci wyraz ciągu danego wzorem \(a_n=\frac{n^2}{(-1)^n}+1\).
  • Który wyraz ciągu \(a_n=2n^3\) jest równy \(54\)?
  • \(a_3=-8\)
  • Trzeci wyraz ciągu jest równy \(54\), czyli \(a_3=54\).
Czy umiesz obliczać wyrazy ciągu rekurencyjnego?
  • Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym: \[\begin{cases} a_1 = 2 \\ a_{n+1} = n\cdot a_n - 1 \end{cases} \] Oblicz \(a_3\).
  • Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem rekurencyjnym: \[\begin{cases} a_1 = 1 \\ a_2=2 \\ a_{n+2} = a_n + a_{n+1} \end{cases} \] Oblicz \(a_4\).
  • \(a_3=1\)
  • \(a_4=5\)
Czy wiesz, jak badać monotoniczność ciągu?
  • Wykaż, że ciąg \(a_n=3n+2\) jest rosnący.
  • Uzasadnij, że ciąg \(a_n = (n-2)(n-10)\) jest niemonotoniczny.
  • Badamy różnicę: \[ a_{n+1}-a_n=\left(3(n+1)+2\right)-(3n+2)=3\gt 0 \] Ciąg jest rosnący.
  • Badamy różnicę: \[ a_{n+1}-a_n=(n-1)(n-9)-(n-2)(n-10)=2n-11 \] Dla \(n=1\) mamy \(2n-11\lt 0\), więc ciąg najpierw maleje, a dla \(n=6\) mamy \(2n-11\gt 0\), więc potem rośnie. Zatem ciąg jest niemonotoniczny.
Czy znasz definicje funkcji trygonometrycznych dla kąta ostrego w trójkącie prostokątnym?
  • Oblicz \(\sin \alpha\), \(\sin \beta\), \(\cos \alpha\), \(\cos \beta\) oraz \(\operatorname{tg} \alpha\) i \(\operatorname{tg} \beta\) w trójkącie prostokątnym:
  • W trójkącie prostokątnym o kącie ostrym \(\alpha \), dany jest \(\sin \alpha = \frac{\sqrt{5}}{3}\). Oblicz \(\cos \alpha \).
  • \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\), \(\sin\beta=\frac{4}{5}\), \(\cos\alpha=\frac{4}{5}\), \(\cos\beta=\frac{3}{5}\), \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{4}\), \(\operatorname{tg}\beta=\frac{4}{3}\)
  • \(\cos\alpha=\frac{2}{3}\)
Czy umiesz obliczać wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów rozwartych?
  • Oblicz wartość wyrażenia \(\sin 135^\circ + \cos 120^\circ \).
  • Zbadaj prawdziwość zdań:
    Wyrażenie \(\frac{\sin 170^\circ}{\operatorname{tg} 100^\circ } \) jest dodatnie.PF
    Wyrażenie \(\cos 101^\circ \cdot \operatorname{tg} 99^\circ \) jest dodatnie.PF
  • \(\frac{\sqrt{2}-1}{2}\)
  • F, P
Czy znasz wzór na jedynkę trygonometryczną oraz wzór na tangens?
  • Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(2\operatorname{tg} \alpha -3\cos^{2} \alpha=3\sin^{2} \alpha\). Oblicz \(\operatorname{tg} \alpha\).
  • Kąt \(\alpha\) jest ostry oraz \(\sin \alpha + \cos \alpha = \sqrt{2}\). Oblicz wartość wyrażenia \( \cos^2\alpha\cdot \operatorname{tg} \alpha \).
  • \(\operatorname{tg}\alpha=\frac{3}{2}\)
  • \(\frac{1}{2}\)
Czy umiesz rozwiązywać trójkąty prostokątne z wykorzystaniem trygonometrii?
  • Dany jest trójkąt: w którym \(\sin \alpha =\frac{1}{4}\). Oblicz obwód tego trójkąta.
  • W trójkącie prostokątnym miara jednego kąta wewnętrznego wynosi \(30^\circ \), a długość najdłuższego boku jest równa \(2\). Oblicz pole tego trójkąta.
  • Obwód trójkąta wynosi \(5+\sqrt{15}\).
  • Pole trójkąta wynosi \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
Czy wiesz co to jest i do czego stosujemy twierdzenie cosinusów?
  • W trójkącie \(ABC\) dane są długości boków \(|AB|=3\) oraz \(|AC|=4\) oraz miara kąta \(|\sphericalangle BAC|=60^\circ \). Oblicz długość boku \(BC\).
  • \(|BC|=\sqrt{13}\)
Czy znasz wzór na pole trójkąta z wykorzystaniem dwóch boków i kąta między nimi?
  • W trójkącie \(ABC\) dane są boki \(|AB|=3\) oraz \(|AC|=4\) oraz kąta \(|\sphericalangle BAC|=60^\circ \). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).
  • \(P=3\sqrt{3}\)
Czy znasz własności trójkąta równobocznego?
  • Okrąg wpisany w trójkąt równoboczny ma promień długości \(5\). Oblicz długość promienia okręgu opisanego na tym trójkącie.
  • Pole trójkąta równobocznego jest równe \(\frac{17\sqrt{3}}{4}\). Oblicz obwód tego trójkąta.
  • \(R=10\)
  • Obwód trójkąta wynosi \(3\sqrt{17}\).
Czy znasz własności trójkąta prostokątnego?
  • Oblicz długość promienia okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym o przyprostokątnych długości \(3\) oraz \(4\).
  • Oblicz długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(3\) oraz \(4\).
  • Dany jest trójkąt prostokątny o przyprostokątnych długości \(5\) oraz \(12\). Oblicz długość wysokości poprowadzonej z kąta prostego na przeciwprostokątną.
  • \(R=\frac{5}{2}\)
  • \(r=1\)
  • \(h=\frac{60}{13}\)
Czy znasz punkty szczególne w trójkącie?
  • Co to jest ortocentrum w trójkącie?
  • Gdzie leży środek okręgu opisanego na trójkącie?
  • Gdzie leży środek okręgu wpisanego w trójkąt?
  • Jak dzielą się środkowe w trójkącie?
  • Ortocentrum to punkt przecięcia wysokości trójkąta.
  • Środek okręgu opisanego leży w punkcie przecięcia symetralnych boków trójkąta.
  • Środek okręgu wpisanego leży w punkcie przecięcia dwusiecznych kątów trójkąta.
  • Środkowe przecinają się w jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku \(2:1\), licząc od wierzchołka.
Czy umiesz obliczać kąty w okręgu?
\(S\) to środek okręgu.
  • Oblicz miarę kąta \(\alpha \):
  • Oblicz miarę kąta \(\alpha \) i \(\beta \):
  • \(\alpha=70^\circ\)
  • \(\alpha=40^\circ\), \(\beta=50^\circ\)
Czy wiesz jak analizować wielokąty foremne?
  • Oblicz pole sześciokąta foremnego o boku długości \(2\).
  • Oblicz miarę kąta wewnętrznego ośmiokąta foremnego.
  • \(P=6\sqrt{3}\)
  • \(135^\circ\)
Czy umiesz obliczać pole wycinka koła i długość łuku okręgu?
  • Oblicz długość łuku \(AC\) i pole wycinka \(ACS\):
  • Długość łuku \(AC\): \(\frac{8\pi}{9}\), pole wycinka \(ACS\): \(\frac{8\pi}{9}\).
Czy wiesz jak działa twierdzenie o odcinkach stycznych?
  • Oblicz długości wszystkich boków trójkąta \(ABC\)
  • Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny:
  • \(|AB|=16\), \(|BC|=17\), \(|AC|=13\)
  • \(r=\sqrt{17}-3\)
Czy znasz własności kątów i przekątnych w równoległobokach, rombach i trapezach?
  • Jeden z kątów wewnętrznych rombu ma miarę \(120^\circ \), a krótsza przekątna ma długość \(2\). Oblicz obwód i pole tego rombu.
  • W równoległoboku \(ABCD\) dane są długości boku \(|AD|=2\) i przekątnej \(|BD|=3\). Ponadto kąt \(CBD\) jest prosty. Oblicz pole \(ABCD\).
  • Dany jest trapez o podstawach \(a\) oraz \(b\), w którym przekątne są jednocześnie dwusiecznymi kątów przy podstawie \(a\). Wykaż, że obwód tego trapezu to \(a+3b\).
  • Obwód rombu wynosi \(8\), a pole \(2\sqrt{3}\).
  • Pole równoległoboku \(ABCD\) wynosi \(6\).
  • Skoro przekątne są dwusiecznymi kątów przy podstawie \(a\), to otrzymujemy \(|AD|=b\) oraz \(|BC|=b\). Zatem obwód trapezu jest równy \(a+b+b+b=a+3b\).
Czy umiesz korzystać z podobieństwa trójkątów?
  • (4 pkt) W trójkącie równoramiennym \(ABC\) poprowadzono odcinek \(DE\) równoległy do podstawy \(AB\). Dane są: \(|DE|=3\) oraz \(|CD|=4\), a także wiadomo, że \(|AB|:|EC|=9:4\). Oblicz pole trójkąta \(ABC\).
  • W trójkącie prostokątnym \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\) poprowadzono wysokość \(CD\). Wykaż, że \(|CD|^2 =|AD|\cdot |DB|\).
  • \(P_{ABC}=\frac{27\sqrt{55}}{4}\)
  • Trójkąty \(ACD\) i \(CBD\) są podobne, więc: \[ \frac{|AD|}{|CD|}=\frac{|CD|}{|DB|} \] Stąd: \[ |CD|^2=|AD|\cdot |DB| \]
Czy wiesz jaka jest zależność między polami i obwodami figur podobnych?
  • Siedmiokąt foremny \(S_1\) ma bok \(3\) razy dłuższy od boku siedmiokąta foremnego \(S_2\). Siedmiokąt \(S_2\) ma obwód równy \(l\), a pole równe \(3\pi\). Oblicz obwód i pole \(S_1\).
  • Obwód siedmiokąta \(S_1\) wynosi \(3l\), a jego pole wynosi \(27\pi\).
Czy wiesz jak stosować twierdzenie Talesa?
  • W trójkącie \(ABC\) poprowadzono odcinki \(DE\) i \(FG\) równoległe do podstawy (zobacz rysunek). Oblicz długość odcinka \(BE\).
  • \(|BE|=\frac{16}{3}\)
Czy wiesz kiedy dwie proste są równoległe?
  • Dla jakiego parametru \(m\) proste \(y=(m+1)x+3\) oraz \(y=2mx-5\) są równoległe?
  • Dla jakiego parametru \(m\) proste \(m^2x-y+3=0\) oraz \(-5x+y-m=0\) są równoległe?
  • \(m=1\)
  • \(m=-\sqrt{5}\) lub \(m=\sqrt{5}\)
Czy wiesz jak znajdować punkt przecięcia dwóch prostych?
  • Wyznacz punkt przecięcia prostych \(y=2x+3\) oraz \(y=-x+2\).
  • \(\left(-\frac{1}{3},\frac{7}{3}\right)\)
Czy umiesz wyznaczać równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty, lub przez jeden punkt i jednocześnie równoległej do innej prostej?
  • Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkty \(A=(-1, 2)\) oraz \(B=(3,4)\).
  • Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez punkt \(A=(0, 5)\) oraz równoległej do prostej \(4x+2y-1=0\).
  • \(y=\frac{1}{2}x+\frac{5}{2}\)
  • \(y=-2x+5\)
Czy wiesz jak obliczać odległość dwóch punktów?
  • Punkty \(A=(0,2)\) oraz \(B=(3,1)\) są wierzchołkami kwadratu \(ABCD\). Oblicz długość przekątnej \(AC\).
  • \(|AC|=2\sqrt{5}\)
Czy wiesz jak znajdować środek odcinka?
  • Dane są punkty \(A=(1,2)\) oraz \(B=(-3,7)\). Wyznacz środek odcinka \(AB\)
  • W rombie \(ABCD\) dany jest punkt \(A=(-1,0)\), a punkt \(C\) leży na prostej \(y=x+1\). Środek symetrii rombu \(ABCD\) leży na prostej \(x=1\). Wyznacz współrzędne punktu \(C\).
  • \(S=\left(-1,\frac{9}{2}\right)\)
  • \(C=(3,4)\)
Czy umiesz wyznaczać równanie okręgu o danym środku i promieniu?
  • Zapisz równanie okręgu o środku \(S=(2,-3)\) i promieniu \(r=5\).
  • Wyznacz parametr \(m\), dla którego środkiem okręgu \((x-m^2)^2+(y+m)^2=6\) jest punkt \(S=(4,2)\).
  • Okrąg \(O_1\) ma równanie: \(x^2+y^2=9\), a okrąg \(O_2\) ma środek w punkcie \((\sqrt{2}, \sqrt{3})\). Okręgi \(O_1\) oraz \(O_2\) są styczne wewnętrznie. Oblicz promień okręgu \(O_2\)
  • \((x-2)^2+(y+3)^2=25\)
  • \(m=-2\)
  • \(r=3-\sqrt{5}\)
Czy umiesz wyznaczać obrazy figur w symetriach osiowych względem osi układu współrzędnych, oraz symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych?
  • Dane są punkty \(A=(1,-1)\) oraz \(B=(2,2)\). Odcinek \(AB\) przekształcono w symetrii względem osi \(Oy\) otrzymując odcinek \(A_1B_1\). Oblicz pole figury \(ABB_1A_1\).
  • Wyznacz równanie prostej \(k\), która jest obrazem prostej \(l: y=-2x+3\) w symetrii punktowej względem początku układu współrzędnych.
  • \(P=9\)
  • \(k: y=-2x-3\)
Czy umiesz zaznaczać kąty w graniastosłupach i ostrosłupach i oceniać prostopadłość odcinków?
  • Zaznacz kąt \(\alpha\) między przekątną prostopadłościanu a podstawą oraz kąt \(\beta \) między przekątną prostopadłościanu a ścianą boczną. Czy odcinki \(AB\) i \(FG\) są prostopadłe?
    Czy odcinki \(BD\) i \(GH\) są prostopadłe?
  • Zaznacz kąt \(\alpha\) między odcinkiem \(HP\) sześcianu a podstawą oraz kąt \(\beta \) między odcinkiem \(HP\) sześcianu a odcinkiem \(PC\).
  • Zaznacz kąt \(\alpha\) między krawędzią ostrosłupa prawidłowego czworokątnego a podstawą oraz kąt \(\beta \) między krawędzią boczną a wysokością.
  • Zaznacz kąt \(\alpha\) między krawędzią ostrosłupa prawidłowego trójkątnego a podstawą oraz kąt \(\beta \) między krawędzią boczną a krawędzią podstawy.
Czy umiesz obliczać objętości i pola powierzchni graniastosłupów i ostrosłupów?
  • Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu, jeżeli wiadomo, że \(|AB|=6\) i \(|BC|=8\) oraz tangens kąta nachylenia przekątnej prostopadłościanu do podstawy jest równy \(2\).
  • Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny \(ABCS\). Okrąg opisany na podstawie \(ABC\) ma obwód długości \(4\pi\). Kąt nachylenia wysokości ściany bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(45^\circ \). Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa \(ABCS\).
  • \(V=960\), \(P_c=656\)
  • \(V=\sqrt{3}\), \(P_c=3\sqrt{3}+3\sqrt{6}\)
Czy wiesz jak obliczać pole, objętość i przekrój osiowy walca?
  • Przekątna przekroju osiowego walca ma długość \(6\) i tworzy z płaszczyzną podstawy kąt \(\alpha \), taki, że \(\cos \alpha = \frac{1}{3}\). Oblicz objętość i pole ściany bocznej tego walca.
  • \(V=4\sqrt{2}\pi\), \(P_b=8\sqrt{2}\pi\)
Czy wiesz jak obliczać pole, objętość, pole powierzchni i przekrój osiowy stożka?
  • Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Tworząca stożka ma długość \(3\sqrt{2}\). Oblicz objętość i pole powierzchni bocznej stożka.
  • Powierzchnia boczna stożka jest wycinkiem koła o kącie środkowym \(60^\circ \) i promieniu \(6\). Oblicz objętość i pole całkowite tego stożka.
  • \(V=9\pi\), \(P_b=9\sqrt{2}\pi\)
  • \(V=\frac{\sqrt{35}\pi}{3}\), \(P_c=7\pi\)
Czy umiesz obliczać pole powierzchni i objętość kuli?
  • Oblicz objętość i pole kuli o promieniu \(2\).
  • Kulę o środku \(S\) przecięto płaszczyzną i otrzymano przekrój, który jest kołem o polu \(4\pi \) i środku \(O\), przy czym \(|SO|=2\). Oblicz promień kuli.
  • Dana jest kula i walec. Promień kuli jest równy wysokości walca. Objętość walca jest równa \(12\pi\), a jego przekrój osiowy jest kwadratem. Oblicz objętość kuli.
  • \(V=\frac{32}{3}\pi\), \(P=16\pi\)
  • \(R=2\sqrt{2}\)
  • \(V=64\pi\)
Czy znasz zależność między objętościami i polami powierzchni brył podobnych?
  • Kula \(K_1\) ma pole powierzchni \(2\) razy większe od pola powierzchni kuli \(K_2\). Ile razy objętość kuli \(K_1\) jest większa od objętości kuli \(K_2\)?
  • \(\sqrt{8}\) razy, czyli \(2\sqrt{2}\) razy.
Czy umiesz stosować regułę mnożenia i dodawania w kombinatoryce?
  • Ile jest liczb czterocyfrowych kończących się na cyfrę \(3\) lub cyfrę \(7\)?
  • Ile jest liczb trzycyfrowych parzystych?
  • Ile jest liczb czterocyfrowych w których cyfra \(5\) występuje dokładnie raz.
  • Podczas gry w bilarda było \(9\) różnych kul, a w stole było \(6\) różnych łuz (otworów do których wpadają kule). Wszystkie kule wpadły do łuz. Na ile sposobów mogły wpaść kule do łuz, jeśli wiadomo, że nie wpadły wszystkie do jednej łuzy?
  • \(1800\)
  • \(450\)
  • \(1\cdot 9^3+3\cdot 8\cdot 9^2=729+1944=2673\)
  • \(6^9-6\)
Czy wiesz jak obliczać prawdopodobieństwo w modelu klasycznym?
  • Rzucamy symetryczną monetą i symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ścianie ma inną liczbę oczek od \(1\) do \(6\). Jakie jest prawdopodobieństwo, że wyrzucimy orła i \(5\) oczek?
  • Rzucamy dwa razy symetryczną sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), że suma wyrzuconych oczek jest podzielna przez \(5\).
  • W urnie mamy \(9\) kul czarnych i \(3\) kule białe. Losujemy dwa razy po jednej kuli bez zwracania. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\), że zostaną wylosowane dwie kule czarne?
  • \(\frac{1}{12}\)
  • \(\frac{7}{36}\)
  • \(\frac{6}{11}\)
Czy umiesz obliczać medianę i dominantę?
  • Wyznacz medianę i dominantę zbioru danych: \(\{3,3,5,7,3,7,4\}\)
  • W tabeli przedstawiono ile w pewnej szkole jest klas z podaną liczbą uczniów:
    Liczba uczniów w klasie:252627282930
    Liczba klas:456111
    Oblicz medianę i dominantę liczby uczniów w klasach.
  • Mediana: \(4\), dominanta: \(3\).
  • Mediana: \(26{,}5\), dominanta: \(27\).
Czy umiesz obliczać średnią arytmetyczną i ważoną?
  • Wyznacz \(x\), dla którego średnia arytmetyczna liczb: \(2, 3, x, 5\) jest równa \(5\).
  • W pewnej klasie średnia ocen z matematyki wśród \(12\) dziewcząt wynosi \(4{,}5\), a wśród \(8\) chłopców wynosi \(3{,}5\). Oblicz średnią ocen z matematyki w całej klasie.
  • \(x=10\)
  • \(4{,}1\)
Tematy nadrzędne i sąsiednie
Matura
◀ Tier lista + Plan nauki
Checklista do matury rozszerzonej 2026 ▶