Matura
◀ Checklista do matury podstawowej 2026
Informacje o maturze i wymagania CKE 2026 ▶

Checklista do matury rozszerzonej 2026

Drukuj
Poziom rozszerzony
Wielka lista kontrolna pytań do matury rozszerzonej z matematyki.
  • 40 pytań kontrolnych z ponad 100 podpunktami.
  • Konkretne rozwiązania do każdego podpunktu.
  • Pytania oznaczone orientacyjną liczbą punktów i szansą na pojawienie się na maturze.
  • Oznaczenia Tierami: S+ S i A - ważne pewniaki na maturę; B, C - mniejsza szansa pojawienia i/lub większa trudność; D - zagadnienia trudne lub z bardzo małą szansą pojawienia; E - prawie na pewno się nie pojawią.
  • Zadania oznaczone jako (łatwe) lub (średnie) są za łatwe, aby pojawiły się na rozszerzeniu, ale sprawdzają ważne umiejętności do trudniejszych zadań. Zazwyczaj można je zrobić w głowie.
Checklista w PDF do pobrania
Checklista zawiera przegląd wszystkich zagadnień wymaganych na maturze rozszerzonej, ale nie wyczerpuje wszystkich typów zadań.
Pełne przygotowanie znajdziesz w Kursie do matury rozszerzonej.
Powodzenia!
Czy umiesz wykonywać działania na logarytmach, w szczególności stosować wzór na zamianę podstaw logarytmów?
  • (łatwe) Wykaż, że: \(\log_{2}a+\log_{\frac{1}{8}}b=\log_2\left(\frac{a}{\sqrt[3]{b}}\right)\)
  • (łatwe) Wykaż, że: \(16^{\log_2a}=a^4\)
  • (łatwe) Uzasadnij, że: \(\log_23\cdot \log_35\cdot \log_57=\log_27\)
  • (3 pkt) Wykaż, że jeżeli \(a=\log_3 20\) oraz \(b=\log_{\sqrt{3}}25\), to \(\log_9 500=\frac{2a+b}{4}\).
  • Skorzystaj z tego, że \(\log_{\frac{1}{8}}b=\log_{2^{-3}}b=-\frac{1}{3}\log_{2}b\)
  • Skorzystaj z tego, że \(p^{qr}=\left(p^q\right)^r\) oraz z tego, że \(a^{\log_ab}=b\)
  • Skorzystaj ze wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub powołaj się i skorzystaj ze wzoru: \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac\]
  • Zapisz \(b\) za pomocą logarytmu przy podstawie \(3\), a następnie przekształć \(\log_9 500\) na iloraz logarytmów o podstawie \(3\).
  • Zakładamy, że \(a\gt 0\) oraz \(b\gt 0\). \[ \log_2 a+\log_{\frac{1}{8}} b = \log_2 a+\log_{2^{-3}} b\\[6pt] = \log_2 a-\frac{1}{3}\log_2 b\\[6pt] = \log_2 a-\log_2 b^{\frac{1}{3}}\\[6pt] = \log_2 a-\log_2 \sqrt[3]{b}\\[6pt] = \log_2\left(\frac{a}{\sqrt[3]{b}}\right) \]
  • Zakładamy, że \(a\gt 0\). \[ 16^{\log_2 a} = \left(2^4\right)^{\log_2 a}\\[6pt] = \left(2^{\log_2 a}\right)^4\\[6pt] = a^4 \]
  • Skorzystamy ze wzoru: \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac\] Zatem: \[ \log_2 3\cdot \log_3 5\cdot \log_5 7=\log_2 5\cdot \log_5 7=\log_2 7 \]
  • Mamy: \(a=\log_3 20\). Przekształćmy \(b\): \[ b=\log_{\sqrt{3}}25=\frac{\log_3 25}{\log_3 \sqrt{3}}=\frac{\log_3 25}{\frac{1}{2}}=2\log_3 25 \] Zatem: \[ \log_3 25=\frac{b}{2} \] Obliczamy: \[ \log_9 500=\frac{\log_3 500}{\log_3 9} =\frac{\log_3(20\cdot25)}{2} =\frac{\log_3 20+\log_3 25}{2} =\frac{a+\frac{b}{2}}{2} =\frac{2a+b}{4} \] czyli: \[ \log_9 500=\frac{2a+b}{4} \]
Czy umiesz analizować funkcję wykładniczą w zagadnieniach praktycznych?
  • (łatwe) Wiedząc, że funkcja \(N(t)=a\cdot k^t\) przyjmuje dla \(t=0\) wartość \(5\), a dla \(t=3\) wartość \(10\), oblicz \(N(6)\).
  • (łatwe) Pewna wielkość rośnie w stałym tempie \(20\%\) na jednostkę czasu. Wiedząc, że początkowo miała wartość \(50\), oblicz jej wartość po \(5\) jednostkach czasu.
  • (łatwe) Pewna substancja co \(4\) godziny zmniejsza swoją masę o połowę. Wiedząc, że początkowo było jej \(80\text{ g}\), oblicz masę tej substancji po \(36\) godzinach.
  • (łatwe) Rozwiąż nierówność \(9\cdot 3^{\frac{t}{2}}\gt 1\).
  • Skorzystaj z tego, że \(N(0)=5\), aby wyznaczyć \(a\). Następnie skorzystaj z warunku \(N(3)=10\), aby wyznaczyć \(k\). Mając wzór funkcji możesz już obliczyć \(N(6)\).
  • Wzrost o \(20\%\) oznacza mnożenie przez \(1{,}2\). Zapisz funkcję wykładniczą: \(f(t)=50\cdot (1,2)^{t}\) i oblicz jej wartość dla \(t=5\).
  • Zmniejszenie o połowę oznacza mnożenie przez \(\frac{1}{2}\) po każdych \(4\) godzinach. Zatem jeżeli oznaczymy przez \(t\) czas wyrażony w godzinach, to mamy zależność: \(f(t)=80\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}}\). Teraz możesz obliczyć \(f(36)\).
  • Zapisz \(9\) w postaci potęgi o podstawie \(3\), a następnie wymnóż potęgi o tej samej podstawie. Następnie porównaj wykładniki.
  • Mamy dany wzór: \[ N(t)=a\cdot k^t \] Korzystamy z warunku \(N(0)=5\): \[ a\cdot k^0=5\\[6pt] a=5 \] Zatem: \[ N(t)=5\cdot k^t \] Korzystamy z warunku \(N(3)=10\): \[ 5\cdot k^3=10\\[6pt] k^3=2 \] Obliczamy \(N(6)\): \[ N(6)=5\cdot k^6=5\cdot \left(k^3\right)^2=5\cdot 2^2=20 \]
  • Wzrost o \(20\%\) oznacza mnożenie przez \(1{,}2\), więc: \[ f(t)=50\cdot (1{,}2)^t \] Obliczamy wartość po \(5\) jednostkach czasu: \[ f(5)=50\cdot (1{,}2)^5=124{,}42 \]
  • Skoro masa zmniejsza się o połowę co \(4\) godziny, to: \[ f(t)=80\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \] Obliczamy masę po \(36\) godzinach: \[ f(36)=80\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{36}{4}}=80\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^9=80\cdot \frac{1}{512}=\frac{5}{32} \]
  • Mamy nierówność: \[ 9\cdot 3^{\frac{t}{2}}\gt 1 \] Zapisujemy \(9\) jako potęgę liczby \(3\): \[ 3^2\cdot 3^{\frac{t}{2}}\gt 3^0 \] Mnożymy potęgi o tej samej podstawie: \[ 3^{2+\frac{t}{2}}\gt 3^0 \] Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie \(3\) jest rosnąca, porównujemy wykładniki: \[ 2+\frac{t}{2}\gt 0\\[6pt] \frac{t}{2}\gt -2\\[6pt] t\gt -4 \] Równoważnie można było zlogarytmować nierówność stronami przez \(\log_3\). Pamiętaj, że jak logarytmujesz nierówność stronami przez logarytm o podstawie z przedziału \((0, 1)\), to znak nierówności zmienia się na przeciwny.
Czy umiesz obliczać symbol Newtona i stosować wzór dwumianowy Newtona?
  • (łatwe) Oblicz \(\binom{100}{98}\).
  • (3 pkt) Dla \(n\in \mathbb{N} \) i \(n\ge 3\) oblicz \(\binom{2n}{3}\) wiedząc, że \(\binom{n-1}{n-3}=4(n-2)\). Czy wiesz dlaczego jest to założenie, że \(n\ge 3\)?
  • (3 pkt) Wykaż, że liczba \(101^{2026}\) przy dzieleniu przez \(100\) daje resztę \(1\).
  • \(\binom{100}{98}=\frac{100!}{2!\cdot 98!}=\frac{99\cdot 100}{2}=4950\).
  • Założenie \(n\ge 3\) mamy dlatego, ponieważ w symbolu Newtona \(\binom{a}{b} \) musi być: \(a,b\ge 0\) oraz \(a,b\in \mathbb{N} \) oraz \(a\ge b\).
    Zapisujemy symbol Newtona po lewej stronie za pomocą ułamka: \[\binom{n-1}{n-3}=4(n-2)\] \[\frac{(n-1)(n-2)}{2!}=4(n-2)\] Ponieważ \(n\ge 3\), więc \(n-2\neq 0\). Możemy podzielić równanie przez \(n-2\): \[ \frac{n-1}{2}=4\\[6pt] n-1=8\\[6pt] n=9 \] Obliczamy szukaną wartość: \[\binom{2n}{3}=\binom{18}{3}=\frac{18\cdot 17\cdot 16}{3\cdot 2\cdot 1}=816\]
  • Zapisujemy liczbę \(101\) w postaci \(100+1\): \[ 101^{2026}=(100+1)^{2026} \] Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona: \[ (100+1)^{2026} = 100^{2026} +\binom{2026}{1}100^{2025} +\binom{2026}{2}100^{2024} +\ldots +\binom{2026}{2025}100 +1 \] Z wyrazów zawierających czynnik \(100\) wyciągamy \(100\) przed nawias: \[ 101^{2026} = 100\left( 100^{2025} +\binom{2026}{1}100^{2024} +\binom{2026}{2}100^{2023} +\ldots +\binom{2026}{2025} \right)+1 \] Wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, więc możemy oznaczyć je przez \(k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). Zatem: \[ 101^{2026}=100k+1 \] To oznacza, że liczba \(101^{2026}\) przy dzieleniu przez \(100\) daje resztę \(1\).
Czy umiesz stosować wzory skróconego mnożenia w zadaniach dowodowych?
  • (2 pkt) Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\le 2\).
  • (3 pkt) Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{3^{20}+1}+\sqrt{3^{20}-1}\lt 2\cdot 3^{10}.\)
  • (2 pkt) Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x+y\ge 2\sqrt{xy}\) (nierówność między średnimi)
  • (3 pkt) Wykaż, że liczba \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\) jest całkowita.
  • Przekształć najpierw tezę do tezy równoważnej podnosząc nierówność stronami do kwadratu. Wiesz dlaczego można tak zrobić?
    Następnie do tezy w nowej postaci zastosuj założenie, tyko w taki sposób, aby kwadraty nie zniknęły, aby móc je ostatecznie zwinąć wzorem skróconego mnożenia w kwadrat różnicy.
  • Podnieś obie strony nierówność do kwadratu (czy wiesz dlaczego można tak zrobić?) i uporządkuj, a następnie powtórz proces.
  • Podobnie jak poprzednio można podnieść nierówność stronami do kwadratu (dlatego bo obie strony są dodatnie). A następnie przenosimy wszystko na jedną stronę i z kwadratu sumy robimy kwadrat różnicy.
  • Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, zapisz liczby pod pierwiastkami w postaci kwadratów, co uprości wyrażenie.
  • Ponieważ \(x\gt 0\) oraz \(y\gt 0\), to obie strony nierówności \(x+y\le 2\) są dodatnie, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu. \[ x+y\le 2\\[6pt] (x+y)^2\le 4 \] Korzystamy z założenia \(x^2+y^2=2\), ale zapisujemy \(4\) w postaci \(2(x^2+y^2)\): \[ (x+y)^2\le 2(x^2+y^2)\\[6pt] x^2+2xy+y^2\le 2x^2+2y^2\\[6pt] 0\le x^2-2xy+y^2\\[6pt] 0\le (x-y)^2 \] Ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa, co kończy dowód.
  • Ponieważ obie strony nierówności są dodatnie, możemy podnieść ją stronami do kwadratu: \[ \sqrt{3^{20}+1}+\sqrt{3^{20}-1}\lt 2\cdot 3^{10}\\[6pt] \left(\sqrt{3^{20}+1}+\sqrt{3^{20}-1}\right)^2\lt \left(2\cdot 3^{10}\right)^2\\[6pt] 3^{20}+1+2\sqrt{(3^{20}+1)(3^{20}-1)}+3^{20}-1\lt 4\cdot 3^{20}\\[6pt] 2\cdot 3^{20}+2\sqrt{3^{40}-1}\lt 4\cdot 3^{20}\\[6pt] 2\sqrt{3^{40}-1}\lt 2\cdot 3^{20}\\[6pt] \sqrt{3^{40}-1}\lt 3^{20} \] Ponownie obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu: \[ 3^{40}-1\lt 3^{40} \] Ostatnia nierówność jest prawdziwa, więc wyjściowa nierówność również jest prawdziwa.
  • Ponieważ \(x\gt 0\) oraz \(y\gt 0\), to obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu: \[ x+y\ge 2\sqrt{xy}\\[6pt] (x+y)^2\ge 4xy\\[6pt] x^2+2xy+y^2\ge 4xy\\[6pt] x^2-2xy+y^2\ge 0\\[6pt] (x-y)^2\ge 0 \] Ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa, więc to kończy dowód.
  • Zapisujemy liczby pod pierwiastkami w postaci kwadratów: \[ 11-6\sqrt{2}=9-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+2=(3-\sqrt{2})^2\\[6pt] 3+2\sqrt{2}=1+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+2=(1+\sqrt{2})^2 \] Ponieważ \(3-\sqrt{2}\gt 0\) oraz \(1+\sqrt{2}\gt 0\), więc: \[ \sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=\\[6pt] = 3-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=4 \] Otrzymana liczba jest całkowita.
Czy umiesz rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną?
  • (2 pkt) Rozwiąż równanie: \(\left||x-2|-3\right|=3\)
  • (2 pkt) Rozwiąż równanie: \(\left||2x+1|-7\right|+1=0\)
  • (3 pkt) Rozwiąż równanie: \(|x+1|+|x-3|=1-3x\)
  • (3 pkt) Rozwiąż nierówność \(\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\le 1-3x\)
  • Ile może być równa liczba pod zewnętrzną wartością bezwzględną?
  • Przenieś liczbę \(1\) na prawą stronę. Co to za równanie?
  • Znajdź miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. Te dwa miejsca zerowe wyznaczają trzy przedziały w których należy rozpatrzeć równanie.
  • Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia do wyrażeń pod pierwiastkami, aby zwinąć je w kwadraty.
  • Aby równanie \(\left||x-2|-3\right|=3\) było spełnione, to pod zewnętrzną wartością bezwzględną musi stać \(3\) lub \((-3)\), zatem mamy: \[\begin{split} |x-2|-3 = 3 \quad &\lor \quad |x-2|-3=-3\\[6pt] |x-2| = 6 \quad &\lor \quad |x-2|=0\\[6pt] x-2 = 6 \quad \lor\quad x-2=-6 \quad &\lor \quad x-2=0\\[6pt] x = 8 \lor x=-4 \quad &\lor \quad x=2 \end{split}\]
  • Przenieśmy \(1\) na prawą stronę: \[\left||2x+1|-7\right|=-1\] i otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Wiesz dlaczego?
  • Mamy równanie: \(|x+1|+|x-3|=1-3x\).
    Znajdź miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. Są nimi: \(x=-1\) oraz \(x=3\). Te dwa miejsca zerowe wyznaczają trzy przedziały w których należy rozpatrzeć równanie:

    Przypadek I dla \(x\lt-1\): \[ \begin{split} -(x+1)-(x-3)&=1-3x\\[6pt] -x-1-x+3&=1-3x\\[6pt] -2x+2&=1-3x\\[6pt] x&=-1 \end{split} \] Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, ale nie należy do rozpatrywanego przedziału: \(x\lt-1\). Czyli mamy brak rozwiązań z tego przypadku.

    Przypadek II dla \(-1\le x\lt 3\): \[ \begin{split} (x+1)-(x-3)&=1-3x\\[6pt] x+1-x+3&=1-3x\\[6pt] 4&=1-3x\\[6pt] 3&=-3x\\[6pt] x&=-1 \end{split} \] Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie i należy ono do rozpatrywanego przedziału: \(-1\le x\lt 3\).

    Przypadek III dla \(x\ge 3\): \[ \begin{split} (x+1)+(x-3)&=1-3x\\[6pt] x+1+x-3&=1-3x\\[6pt] 2x-2&=1-3x\\[6pt] 5x&=3\\[6pt] x&=\frac35 \end{split} \] Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, ale nie należy do rozpatrywanego przedziału: \(x\ge 3\). Czyli mamy brak rozwiązań z tego przypadku.

    Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest:

    \[ \boxed{x=-1} \]
  • To równanie jest takie samo jak w podpunkcie c). Ze wzorów skróconego mnożenia mamy: \[ \begin{split} \sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\le 1-3x\\[6pt] \sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x-3)^2}\le 1-3x\\[6pt] |x+1|+|x-3|\le1-3x \end{split} \] Dalej rozwiązujemy tak samo jak w c):

    Przypadek I dla \(x\lt-1\): \[ \begin{split} -(x+1)-(x-3)&\le 1-3x\\[6pt] -x-1-x+3&\le 1-3x\\[6pt] -2x+2&\le 1-3x\\[6pt] x+2&\le 1\\[6pt] x&\le -1 \end{split} \] Otrzymaliśmy rozwiązania \(x\le -1\). Po uwzględnieniu rozpatrywanego przedziału \(x\lt-1\), dostajemy: \[ x\lt-1 \]

    Przypadek II dla \(-1\le x\lt 3\): \[ \begin{split} (x+1)-(x-3)&\le 1-3x\\[6pt] x+1-x+3&\le 1-3x\\[6pt] 4&\le 1-3x\\[6pt] 3&\le -3x\\[6pt] x&\le -1 \end{split} \] Otrzymaliśmy rozwiązania \(x\le -1\). Po uwzględnieniu rozpatrywanego przedziału \(-1\le x\lt 3\), dostajemy: \[ x=-1 \]

    Przypadek III dla \(x\ge 3\): \[ \begin{split} (x+1)+(x-3)&\le 1-3x\\[6pt] x+1+x-3&\le 1-3x\\[6pt] 2x-2&\le 1-3x\\[6pt] 5x&\le 3\\[6pt] x&\le \frac35 \end{split} \] Otrzymaliśmy rozwiązania \(x\le \frac35\). Po uwzględnieniu rozpatrywanego przedziału \(x\ge 3\), mamy brak rozwiązań z tego przypadku.

    Zatem rozwiązaniem nierówności jest: \[ \boxed{x\in(-\infty,-1]} \]
Czy umiesz rozwiązywać równania dwukwadratowe oraz nierówności wielomianowe i wymierne?
  • (2 pkt) Rozwiąż równanie: \(x^4-3x^2-4=0\)
  • (2 pkt) Rozwiąż nierówność \((x+3)^2(x+1)(x-1)^2\gt 0\)
  • (3 pkt) Rozwiąż nierówność \(\frac{(x+3)^2(x+1)(x-1)^2}{x^3(x+2)^2}\le 0\)
  • Zastosuj podstawienie \(t=x^2\).
  • Narysuj wykres wielomianu \(w(x)=(x+3)^2(x+1)(x-1)^2\) i odczytaj gdzie jest większy od zera.
  • Pomnóż nierówność przez kwadrat mianownika.
  • Wykonaj podstawienie \(t=x^2\), a następnie otrzymasz równanie kwadratowe: \[t^2-3t-4=0\] Z niego otrzymasz: \[t=-1 \quad \lor \quad t=4\] Następnie wracasz do oryginalnych zmiennych: \[x^2=-1 \quad \lor \quad x^2=4\] Pierwsze równanie jest sprzeczne (możesz też wcześniej napisać założenie: \(t\ge 0\)), zatem mamy tylko: \[x=2 \quad \lor \quad x=-2\]
  • Narysuj wykres wielomianu: Zatem rozwiązaniem nierówności \((x+3)^2(x+1)(x-1)^2\gt 0\) jest: \[x\in (-1 ,+\infty)\backslash \{1\}\]
  • Pomnóż nierówność stronami przez kwadrat mianownika, aby doprowadzić do postaci iloczynowej: \[(x+3)^2(x+1)(x-1)^2 x^3(x+2)^2\le 0\] Należy tylko zrobić założenia, że: \[x\ne -2 \ \ \text{oraz}\ \ x\ne 0\] aby nie było mnożenia przez zero (taka też jest dziedzina tego wyrażenia wymiernego). Następnie narysuj wykres wielomianu: Zatem rozwiązaniem nierówności \((x+3)^2(x+1)(x-1)^2 x^3(x+2)^2\le 0\) jest: \[x\in [-1 ,0) \cup \{-3,1\}\] Pamiętajmy, że wyrzucamy z rozwiązania argumenty zerujące mianownik początkowej nierówności, czyli \(-2\) oraz \(0\).
Czy umiesz obliczać pierwiastki całkowite wielomianu oraz dzielić wielomian przez dwumian?
  • (2 pkt) Wyznacz postać iloczynową i miejsca zerowe wielomianu: \(W(x)=x^3+12x^2+21x-98\)
  • (2 pkt) Wykaż, że wielomian \(W(x)=x^{2026}+2027x^2+1\) nie ma pierwiastków całkowitych.
  • Wyznaczamy dzielniki wyrazu wolnego. Są nimi: \(1, -1, 2, -2, 7, -7,... \).
    Sprawdzamy czy któryś zeruje wielomian.
    Okazuje się, że \(W(2)=0\)
    Dzielimy wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x-2)\) (pisemnie, Hornerem lub w głowie) i otrzymujemy postać iloczynową: \[W(x)=(x-2)(x^2+14x+49)\] Czyli pisząc najprościej: \[W(x)=(x-2)(x+7)^2\] Czyli mamy miejsca zerowe \(x=2\) oraz \(x=-7\).
  • Jedynymi kandydatami na całkowite miejsca zerowe wielomianu \(W(x)=x^{2026}+2027x^2+1\) są dzielniki wyrazu wolnego \(1\), czyli \(+1\) i \(-1\). Sprawdzamy każdy z nich oddzielnie: \[W(1)=1+2027+1=2029\ne 0\] \[W(-1)=1+2027+1=2029\ne 0\] Zatem nie ma pierwiastków całkowitych.
Czy znasz i umiesz stosować twierdzenie Bézouta i Twierdzenie o reszcie wielomianu?
  • (łatwe) Wiadomo, że wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \((x-5)\). Oblicz \(W(5)\).
  • (łatwe) Przy dzieleniu wielomianu \(W(x)\) przez dwumian \((x+1)\) otrzymano resztę \(3\). Oblicz \(W(-1)\).
  • (łatwe) Dany jest wielomian \(W(x)=(x+1)^2(x-2)\). Oblicz resztę z dzielenia wielomianu przez \((x-3)\).
  • (3 pkt) Dla jakiego parametru \(m\) wielomian \(W(x)=2mx^3+5x-7\) przy dzieleniu przez \((x+1)\) daje resztę \(4\)? Oblicz resztę z dzielenia tego wielomianu przez \((x-1)\).
  • Skoro wielomian \(W(x)\) jest podzielny przez dwumian \((x-5)\), to argument \(x=5\) jest miejscem zerowym tego wielomianu, czyli \(W(5)=0\)
  • Skoro przy dzieleniu \(W(x)\) przez dwumian \((x+1)\) otrzymano resztę \(3\), to z twierdzenia o reszcie \(W(-1)=3\).
  • Obliczamy po prostu: \(W(3)=4^2\cdot (3-2)=16\).
  • Należy rozwiązać po prostu równanie: \[W(-1)=4\] Czyli: \[-2m-5-7=4\] \[-2m=16\] \[m=-8\] Zatem \(W(x)=-16x^3+5x-7\).
    Teraz liczymy resztę z dzielenia tego wielomianu przez \((x-1)\): \[W(1)=-16\cdot 1^3+5\cdot 1-7=-16+5-7=-18\]
Czy znasz i umiesz stosować wzory Viete'a do rozwiązywania równań kwadratowych z parametrem?
  • (łatwe) Wypisz warunki na parametr \(m\) dla których równanie \((m^2-1)x^2+2mx-1\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków.
  • (średnie) Wypisz warunki na parametry \(a,b,c\) dla których funkcja \(f(x)=ax^2+bx+c\) na dwa różne rozwiązania dodatnie mniejsze od \(5\).
  • (łatwe) Jak zapisać za pomocą wzorów Viete'a wyrażenie: \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\)?
  • Równanie: \((m^2-1)x^2+2mx-1\)

    Warunek 1. Równanie musi być kwadratowe, zatem \(m^2-1\ne 0\)

    Warunek 2. Mają być dwa rozwiązania, więc \(\Delta \gt 0\), czyli: \(4(2m^2-1)\gt0\).

    Warunek 3. Rozwiązania mają być przeciwnych znaków, czyli: \[x_1\cdot x_2 \lt 0\] \[\frac{c}{a}\lt 0\] \[\frac{-1}{m^2-1} \lt 0\]

    Uwaga dla zaawansowanych: Warunek 3 poniekąd wymusza warunek 2, ponieważ jeżeli \(c\cdot a \lt 0\), to delta na pewno jest dodatnia. Umiesz to wykazać? Zauważając to można ograniczyć rozwiązanie jedynie do warunku nr 1 i 3 (warunek 2. nie jest konieczny).

  • Funkcja \(f(x)=ax^2+bx+c\).

    Warunek 1. Funkcja musi być kwadratowa, więc: \(a\neq 0\).

    Warunek 2. Delta musi być dodatnia, więc: \(b^2-4ac \gt 0\).

    Warunek 3. Oba pierwiastki są dodatnie, zatem: \[ x_1+x_2\gt 0 \quad \land \quad x_1x_2\gt 0 \] Czyli z Viete'a: \[ -\frac{b}{a}\gt 0 \quad \land \quad \frac{c}{a}\gt 0 \]

    Warunek 4. Oba pierwiastki są mniejsze od \(5\), czyli: \[ x_1\lt 5 \quad \land \quad x_2\lt 5 \] Równoważnie: \[ 5-x_1\gt 0 \quad \land \quad 5-x_2\gt 0 \] Stąd: \[ (5-x_1)+(5-x_2)\gt 0 \quad \land \quad (5-x_1)(5-x_2)\gt 0 \] Pierwszy warunek daje: \[ \begin{split} (5-x_1)+(5-x_2)&\gt 0\\[6pt] 10-(x_1+x_2)&\gt 0\\[6pt] 10-\left(-\frac{b}{a}\right)&\gt 0\\[6pt] 10+\frac{b}{a}&\gt 0\\[6pt] \frac{b}{a}&\gt -10 \end{split} \] Drugi warunek daje: \[ \begin{split} (5-x_1)(5-x_2)&\gt 0\\[6pt] 25-5(x_1+x_2)+x_1x_2&\gt 0\\[6pt] 25-5\left(-\frac{b}{a}\right)+\frac{c}{a}&\gt 0\\[6pt] 25+5\frac{b}{a}+\frac{c}{a}&\gt 0\\[6pt] \frac{25a+5b+c}{a}&\gt 0 \end{split} \]

  • Przekształcamy wyrażenie: \[ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2x_2^2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} \] I stosujemy Viete'a: \[ \frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\cdot\frac{c}{a}}{\left(\frac{c}{a}\right)^2} =\frac{\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} =\frac{b^2-2ac}{c^2}. \] Zatem: \[\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}\] Zakładamy oczywiście, że \(x_1x_2\neq 0\), czyli \(c\neq 0\).
Czy umiesz analizować przekształcenia wykresów funkcji także z parametrem?
  • (łatwe) Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{2x+1}{x-3}\). Wykres funkcji \(f(x)\) odbito względem osi odciętych, a następnie przesunięto o wektor \([4,-5]\) otrzymując wzór funkcji \(g(x)\). Wyznacz wzór \(g(x)\).
  • (2 pkt) Dana jest funkcja \(f(x)=|x^2-1|\). Zbadaj liczbę rozwiązań równania \(f(x)=m\) w zależności od parametru \(m\).
  • Odbicie wykresu względem osi odciętych (czyli osi \(OX\)) oznacza zmianę znaku wartości funkcji: \[ h(x)=-f(x)=-\frac{2x+1}{x-3} \] Następnie przesuwamy wykres o wektor \([4,-5]\), czyli: \[ g(x)=h(x-4)-5 \] Zatem: \[ g(x)=-f(x-4)-5 \] \[ g(x)=-\frac{2(x-4)+1}{(x-4)-3}-5 \] Ostatecznie po uproszczeniach: \[g(x)=\frac{-7x+42}{x-7}\]
  • Narysuj wykres funkcji \(f(x)=|x^2-1|\) i zbadaj liczbę punktów przecięcia z prostą \(y=m\) w zależności od \(m\). Otrzymasz: \[ \begin{cases} 0 \text{ rozwiązań}, & m\lt 0,\\ 2 \text{ rozwiązania}, & m=0,\\ 4 \text{ rozwiązania}, & 0\lt m\lt 1,\\ 3 \text{ rozwiązania}, & m=1,\\ 2 \text{ rozwiązania}, & m\gt 1. \end{cases} \]
Czy umiesz analizować układy równań z parametrem?
  • (2 pkt) Wyznacz wszystkie wartości parametru \(m\), dla których układ równań: \[\begin{cases} (m^2+1)x+2y=1 \\ 2x+(3+m)y=-m \end{cases} \] jest nieoznaczony.
  • (2 pkt) Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru \(m\), dla których układ równań: \[\begin{cases} m^4x+y=1 \\ 2x+2y=1 \end{cases} \] jest oznaczony.
  • Układ jest nieoznaczony, gdy ma nieskończenie wiele rozwiązań, czyli gdy oba równania są równaniami równoważnymi, a więc gdy odpowiednie współczynniki są proporcjonalne: \[ \frac{m^2+1}{2}=\frac{2}{3+m}=\frac{1}{-m} \]

    Ponieważ prawa strona pierwszego równania wynosi \(1\), a prawa strona drugiego równania wynosi \(-m\), drugie równanie musi być pierwszym pomnożonym przez \(-m\). Otrzymujemy więc warunki:

    \[ \begin{split} 2 &= -m(m^2+1) \quad &\land \quad 3+m &= -2m \\[6pt] 2 &= -m^3-m \quad &\land \quad 3 &= -3m \\[6pt] 2 &= -m^3-m \quad &\land \quad m &= -1 \end{split} \]

    Sprawdzamy \(m=-1\) w pierwszym warunku:

    \[ 2=-(-1)^3-(-1)=1+1=2 \]

    Zatem oba warunki są spełnione dla:

    \[ m=-1 \]
  • Układ dwóch równań liniowych jest oznaczony jeżeli ma dokładnie jedno rozwiązanie, czyli jeżeli proste nie są równoległe. Doprowadźmy współczynnik przy \(y\) do tej samej postaci: \[\begin{cases} m^4x+y=1 \\ x+y=\frac{1}{2}\end{cases} \] Teraz proste nie będą równoległe tylko jeżeli współczynniki przy \(x\) będą różne, czyli gdy: \[m^4\ne 1\] \[m\ne 1 \quad \land \quad m\ne -1\] Zatem ostatecznie: \[m\in \mathbb{R} \backslash \{-1,1\}\]
Czy umiesz wyznaczać wzory funkcji złożonych i określać ich dziedziny?
Np. niech będą dane funkcje \(f(x)=x^2\) oraz \(g(x)=\sqrt{x}+1\).
  • (2 pkt) Wyznacz funkcję \((f\circ g)(x)\) czyli \(f(g(x))\) i jej dziedzinę.
  • (2 pkt) Wyznacz funkcję \((g\circ f)(x)\) czyli \(g(f(x))\) i jej dziedzinę.
  • Wyznaczamy wzór:\[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=(\sqrt{x}+1)^2 \] \[ (f\circ g)(x)=x+2\sqrt{x}+1 \] Pod pierwiastkiem musi stać liczba nieujemna, zatem: \[ D_{f\circ g}=[0,\infty) \]
  • Wyznaczamy wzór:\[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=\sqrt{x^2}+1 \] \[ (g\circ f)(x)=|x|+1 \] Tutaj \(x\) może być dowolny, bo kwadrat pod pierwiastkiem zawsze zrobi liczbę nieujemną, zatem: \[ D_{g\circ f}=\mathbb{R} \]
Czy umiesz rozwiązywać zadania łączące ciąg arytmetyczny i geometryczny?
  • (4 pkt) Liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny o sumie wyrazów równej \(4\). Liczby \((-a, 2b, 3c)\) tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloczyn \(a\cdot c\), a następnie wyznacz ciąg \((a,b,c)\).
  • Zapisz trzy równania wynikające z treści zadania: \[ \begin{cases} a+b+c=4,\\ a+c=2b,\\ (2b)^2=(-a)\cdot 3c. \end{cases} \] Z pierwszych dwóch łatwo wyliczysz, że: \[b=\frac{4}{3}\]

    Teraz z trzeciego równania wyznaczysz iloczyn \(ac\).

    A potem układasz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(a\) i \(c\) i wyznaczysz ciąg \((a, b, c)\).
  • Skoro liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny, to: \[ a+c=2b \] Dodatkowo z treści zadania: \[ a+b+c=4 \] Podstawiamy \(a+c=2b\): \[ 2b+b=4\\[6pt] 3b=4\\[6pt] b=\frac{4}{3} \] Zatem: \[ a+c=2b=\frac{8}{3} \] Skoro liczby \((-a,2b,3c)\) tworzą ciąg geometryczny, to: \[ (2b)^2=(-a)\cdot 3c \] \[ 4b^2=-3ac \] Podstawiamy \(b=\frac{4}{3}\): \[ 4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^2=-3ac\\[6pt] \frac{64}{9}=-3ac\\[6pt] ac=-\frac{64}{27} \] Zatem mamy wyliczony iloczyn: \[\boxed{ac=-\frac{64}{27}}\] Teraz możemy ułożyć układ równań: \[ \begin{cases} a+c=\frac{8}{3}\\[6pt] ac=-\frac{64}{27} \end{cases} \] Z pierwszego równania: \[ c=\frac{8}{3}-a \] Podstawiamy do drugiego równania: \[ a\left(\frac{8}{3}-a\right)=-\frac{64}{27}\\[6pt] \frac{8}{3}a-a^2=-\frac{64}{27}\\[6pt] -a^2+\frac{8}{3}a+\frac{64}{27}=0\\[6pt] a^2-\frac{8}{3}a-\frac{64}{27}=0 \] Liczymy deltę: \[ \Delta=\left(-\frac{8}{3}\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-\frac{64}{27}\right)=\frac{64}{9}+\frac{256}{27}=\frac{448}{27} \] Stąd: \[ a=\frac{\frac{8}{3}-\sqrt{\frac{448}{27}}}{2} \quad \lor \quad a=\frac{\frac{8}{3}+\sqrt{\frac{448}{27}}}{2} \] \[ a=\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{21}}{9} \quad \lor \quad a=\frac{4}{3}+\frac{4\sqrt{21}}{9} \] Dla każdego przypadku obliczamy \(c\): \[ \begin{cases} a=\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{21}}{9}\\[6pt] c=\frac{8}{3}-a=\frac{8}{3}-\left(\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{21}}{9}\right)=\frac{4}{3}+\frac{4\sqrt{21}}{9} \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} a=\frac{4}{3}+\frac{4\sqrt{21}}{9}\\[6pt] c=\frac{8}{3}-a=\frac{8}{3}-\left(\frac{4}{3}+\frac{4\sqrt{21}}{9}\right)=\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{21}}{9} \end{cases} \] Ponieważ \(b=\frac{4}{3}\), ostatecznie mamy: \[ \boxed{(a,b,c)=\left(\frac{12-4\sqrt{21}}{9},\frac{4}{3},\frac{12+4\sqrt{21}}{9}\right)} \] lub \[ \boxed{(a,b,c)=\left(\frac{12+4\sqrt{21}}{9},\frac{4}{3},\frac{12-4\sqrt{21}}{9}\right)} \] oraz wyliczone wcześniej: \[\boxed{ac=-\frac{64}{27}}\]
Czy wiesz co to jest szereg geometryczny i kiedy istnieje jego suma?
  • (łatwe) Ile wynosi suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(10\) i ilorazie \(q=\frac{1}{2}\)
  • (3 pkt) Wyznacz wszystkie wartości \(x\) dla których poniższy szereg jest zbieżny: \[ 1+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots \]
  • Iloraz \(q\) spełnia warunek: \(|q|\lt 1\) zatem możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu: \[ S=\frac{a_1}{1-q} \] Czyli \[ S=\frac{10}{1-\frac{1}{2}} =\frac{10}{\frac{1}{2}} =20 \]
  • Szereg ma postać: \[ 1+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots \] Wyrażenie w mianowniku nie może się zerować, zatem: \[x\ne 3\] Jest to szereg geometryczny o ilorazie: \[ q=\frac{1}{x-3} \] Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy, gdy: \[ |q|\lt 1 \] Podstawiamy iloraz dla \(x\ne 3\): \[ \left|\frac{1}{x-3}\right|\lt 1 \] Stąd: \[ |x-3|\gt 1 \] Czyli: \[ x-3\gt 1 \quad \text{lub} \quad x-3\lt -1 \] \[ x\gt 4 \quad \text{lub} \quad x\lt 2 \] Pamiętamy, że \(x\ne 3\), choć tu nie wpływa to na rozwiązanie i ostatecznie otrzymujemy: \[ x\in(-\infty,2)\cup(4,\infty) \]
Czy umiesz obliczać granice ciągów?
  • (łatwe) \(\lim_{n \to \infty} \frac{5-n^2}{10n+7}\)
  • (łatwe) \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2}+n}{7n-2}\)
  • (łatwe) \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n+n^3}{n^4}\)
  • (2 pkt) \(\lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)(3n-7)}{n(5n+9)}\)
  • (2 pkt) \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3\cdot 5^n}\)
  • (2 pkt) \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 4^n}\)
  • (2 pkt) \(\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3})\)
  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{5-n^2}{10n+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{n\left(\frac{5}{n}-n\right)}{n\left(10+\frac{7}{n}\right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5}{n}-n}{10+\frac{7}{n}} = -\infty \)
  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2}+n}{7n-2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n\left(\frac{\sqrt{2}}{n}+1\right)}{n\left(7-\frac{2}{n}\right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{2}}{n}+1}{7-\frac{2}{n}} = \frac{1}{7} \)
  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{4n+n^3}{n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3\left(\frac{4}{n^2}+1\right)}{n^3\cdot n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{n^2}+1}{n} = 0 \)
  • Wymnażamy wyrażenia: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)(3n-7)}{n(5n+9)} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2-11n-7}{5n^2+9n} \] Wyciągamy \(n^2\) przed nawias w liczniku i mianowniku: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2\left(6-\frac{11}{n}-\frac{7}{n^2}\right)}{n^2\left(5+\frac{9}{n}\right)} \] Skracamy przez \(n^2\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{6-\frac{11}{n}-\frac{7}{n^2}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{6}{5} \]
  • \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3\cdot 5^n}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[n]{5^n}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} \cdot 5 = 5 \)
  • Można zrobić tak:

    \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 4^n} \) \(= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4^n\left(\left(\frac{3}{4}\right)^n+1\right)} \) \(= \lim_{n \to \infty} 4\sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^n+1} = 4 \)

    Albo z tw. o trzech ciągach - dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) mamy:

    \[ \sqrt[n]{4^n} \le \sqrt[n]{3^n+4^n} \le \sqrt[n]{2\cdot 4^n} \] czyli \[ 4 \le \sqrt[n]{3^n+4^n} \le 4\sqrt[n]{2} \] Ponieważ \[ \lim_{n\to\infty}4=4 \qquad \text{oraz} \qquad \lim_{n\to\infty}4\sqrt[n]{2}=4, \] więc z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+4^n}=4 \]
  • Tutaj mamy wyrażenie nieoznaczone: \[\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3}\right)=[\infty -\infty ]\] Pozbędziemy się go rozszerzając wyrażenie do ułamka z mianownikiem \(1\) i mnożąc licznik i mianownik przez to samo wyrażenie tylko z plusem, a następnie w liczniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\] Zatem:

    \(\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3}\right) \) \(=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3}}{1}\right) \) \(=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3})\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3})}{1\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3})}\right) \) \(=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)-(n+3)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3}} \) \(=\lim_{n \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3}} =0 \)

Czy znasz definicje i wykresy funkcji trygonometrycznych? Czy umiesz z wykresów odczytywać wartości funkcji trygonometrycznych dla konkretnych kątów, zauważając jednocześnie wzory redukcyjne? Czy umiesz korzystać ze wzorów redukcyjnych i wzorów trygonometrycznych?
  • (łatwe) Odczytaj z wykresu wartość sinusa dla kąta \(\frac{7}{6}\pi\)?
  • (łatwe) Odczytaj z wykresu dla jakich kątów cosinus przyjmuje wartość \(0\)?
  • (średnie) Wykaż, że \(\frac{\sin 539^\circ+\sin 541^\circ}{\cos 540^\circ}\) jest liczbą wymierną.
  • (średnie) Jak można obliczyć \(\cos15^\circ \)?
  • (2 pkt) Jeżeli \(\sin x+\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}\), to ile jest równy \(\sin 2x\)?
  • Rysujemy sinusa po kratkach, gdzie jedna kratka na osi \(Ox\) odpowiada długości \(\frac{\pi}{6}\). Jedna kratka w pionie odpowiada wartości \(\frac{1}{2}\): Z wykresu odczytujemy, że dla kąta \(\frac{7}{6}\pi\) sinus przyjmuje przeciwną wartość do wartości dla kąta \(\frac{5}{6}\pi\), zatem mamy: \[\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)=-\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2} \]
  • Rysujemy wykres cosinusa: Z wykresu widzimy, że miejsca zerowe są położone co \(6\) kratek, czyli w odległości \(6\cdot \frac{\pi}{6}=\pi\).
    Zatem miejsca zerowe zapiszemy tak: \[x= \frac{\pi}{2} + k\pi\quad \text{gdzie } k\in \mathbb{Z}\]
  • I sposób:
    Mamy, że: \[540^\circ = 360^\circ +180^\circ\] Korzystamy ze wzorów redukcyjnych: \[ \cos 540^\circ=\cos(360^\circ +180^\circ)=\cos(180^\circ) \] \[ \sin 539^\circ=\sin(180^\circ-1^\circ)=\sin 1^\circ \] \[ \sin 541^\circ=\sin(180^\circ+1^\circ)=-\sin 1^\circ \] Zatem: \[ \frac{\sin 539^\circ+\sin 541^\circ}{\cos 540^\circ} = \frac{\sin 1^\circ-\sin 1^\circ}{\cos 180^\circ} =\frac{0}{-1}= 0 \] Otrzymaliśmy liczbę \(0\), więc dane wyrażenie jest liczbą wymierną.

    II sposób:
    Można też tak: \[ \sin \alpha+\sin \beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \] Zatem: \[ \frac{\sin 539^\circ+\sin 541^\circ}{\cos 540^\circ} = \frac{2\sin 540^\circ\cos 1^\circ}{\cos 180^\circ} = \frac{0\cdot \cos 1^\circ}{-1} = 0 \]

  • Korzystamy ze wzoru na cosinus różnicy kątów: \[ \begin{split} \cos15^\circ&=\cos(45^\circ-30^\circ)=\\[6pt] &=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\\[6pt] &=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\\[6pt] &=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{split} \]
  • Mamy dane równanie: \[ \sin x+\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}} \] Podnosimy obie strony równania do kwadratu: \[ (\sin x+\cos x)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \] Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \[ \sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=\frac{1}{5} \] Ponieważ \(\sin^2x+\cos^2x=1\), więc: \[ 1+2\sin x\cos x=\frac{1}{5} \] Korzystamy ze wzoru \(\sin2x=2\sin x\cos x\): \[ 1+\sin2x=\frac{1}{5} \] \[ \sin2x=\frac{1}{5}-1 \] \[ \boxed{\sin2x=-\frac{4}{5}} \]

    Uwaga! Gdyby chcieć rozwiązać równanie: \[ \sin x+\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}} \] podnosząc je stronami do kwadratu, to w rezultacie otrzymalibyśmy również nadmiarowe rozwiązania dla przypadku: \[\sin x+\cos x=-\frac{1}{\sqrt{5}}\] które należałoby na końcu odrzucić.

Czy umiesz rozwiązywać równania trygonometryczne?
  • (łatwe) \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\cos(2x)=0\)
  • (3 pkt) \(\sin x+ \cos x = 1\)
  • (4 pkt) \(\sin(10x)+\sin(4x)=\cos(3x)\)
  • Korzystamy z postaci iloczynowej i zamieniamy na dwa prostsze równania: \[ \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\cos(2x)=0 \] \[ \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \lor \quad \cos(2x)=0 \] \[ 2x+\frac{\pi}{4}=k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \] \[ 2x=k\pi-\frac{\pi}{4} \quad \lor \quad 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \] \[ x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{8} \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \] \[ \boxed{x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{8} \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}} \]
  • Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: \[ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \] oraz ze wzoru na sumę sinusów: \[ \sin \alpha+\sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \] Zatem: \[ \sin x+\cos x=1\\[6pt] \sin x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1\\[6pt] 2\sin\left(\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\right) \cos\left(\frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2}\right)=1\\[6pt] 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\\[6pt] 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\\[6pt] \sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\\[6pt] \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \] Stąd: \[ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad \lor \quad x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\\[6pt] x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad \lor \quad x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \]

    Uwaga! Rozwiązanie przez podnoszenie do kwadratu generuje nadmiarowe rozwiązania: \[ \sin x+\cos x=1\\[6pt] (\sin x+\cos x)^2=1^2\\[6pt] \sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1\\[6pt] 1+\sin 2x=1\\[6pt] \sin 2x=0\\[6pt] 2x=k\pi\\[6pt] x=\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z} \] W powyższym rozwiązaniu otrzymaliśmy nadmiarowe rozwiązania, które należałoby teraz odrzucić.
  • Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[ \sin \alpha+\sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \] Zatem: \[ \sin(10x)+\sin(4x)=\cos(3x)\\[6pt] 2\sin\left(\frac{10x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{10x-4x}{2}\right)=\cos(3x)\\[6pt] 2\sin(7x)\cos(3x)=\cos(3x)\\[6pt] 2\sin(7x)\cos(3x)-\cos(3x)=0\\[6pt] \cos(3x)\left(2\sin(7x)-1\right)=0 \] Stąd: \[ \cos(3x)=0 \quad \lor \quad 2\sin(7x)-1=0 \] \[ \cos(3x)=0 \quad \lor \quad \sin(7x)=\frac{1}{2} \] \[ 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad 7x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad 7x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \] \[ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{42}+\frac{2k\pi}{7},\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad x=\frac{5\pi}{42}+\frac{2k\pi}{7},\ k\in\mathbb{Z} \] \[ \boxed{ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3} \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{42}+\frac{2k\pi}{7} \quad \lor \quad x=\frac{5\pi}{42}+\frac{2k\pi}{7}, \quad k\in\mathbb{Z} } \]
Czy wiesz jak stosować twierdzenie sinusów i cosinusów?
  • (łatwe) Dany jest trójkąt o boku długości \(3\) i kącie \(30^\circ \) na przeciwko tego boku. Oblicz długość promienia \(R\) okręgu opisanego na tym trójkącie.
  • (3 pkt) Dany jest trójkąt o bokach \(|AB|=8\), \(|BC|=3\), \(|AC|=6\). Oblicz długość środkowej \(CD\) tego trójkąta.
  • (2 pkt) Okrąg opisany na trójkącie \(ABC\) ma promień \(R\). Kąt \(ACB\) jest rozwarty, a bok \(AB\) ma długość \(R\). Oblicz miarę kąta \(ACB\).
  • Korzystamy z twierdzenia sinusów: \[ \frac{a}{\sin \alpha}=2R \] Podstawiamy: \[ \frac{3}{\sin 30^\circ}=2R\\[6pt] \frac{3}{\frac{1}{2}}=2R\\[6pt] 6=2R\\[6pt] R=3 \]
  • Chcemy obliczyć zaznaczoną długość \(x\): Z twierdzenia cosinusów dla \(\triangle ABC\): \[ 3^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos \alpha\\[6pt] 9=36+64-96\cos \alpha\\[6pt] 96\cos \alpha=91\\[6pt] \cos \alpha=\frac{91}{96} \] Z twierdzenia cosinusów dla \(\triangle ADC\): \[ x^2=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos \alpha\\[6pt] x^2=36+16-48\cdot \frac{91}{96}\\[6pt] x^2=52-\frac{91}{2}\\[6pt] x^2=\frac{104}{2}-\frac{91}{2}\\[6pt] x^2=\frac{13}{2}\\[6pt] x=\sqrt{\frac{13}{2}}\\[6pt] x=\frac{\sqrt{26}}{2} \]
  • Skoro \(AB\) to najdłuższy bok, to leży on na przeciwko kąta rozwartego \(ACB\).

    Korzystamy z twierdzenia sinusów w postaci: \[ |AB|=2R\sin\alpha \]

    Podstawiamy \(|AB|=R\): \[ R=2R\sin\alpha\\[6pt] 1=2\sin\alpha\\[6pt] \sin\alpha=\frac{1}{2} \] Stąd: \[ \alpha=30^\circ \quad \lor \quad \alpha=150^\circ \] Z treści zadania mamy, że kąt \(ACB\) jest rozwarty, zatem: \[ \alpha=150^\circ \]
Czy znasz twierdzenie Talesa i twierdzenie do niego odwrotne? Czy umiesz stosować podobieństwo trójkątów do zapisywania stosunków odcinków?
A może znasz nieobowiązkowe, ale przydatne twierdzenie Menelaosa, albo Twierdzenie o potędze punktu względem okręgu?
  • (łatwe) Czy umiesz udowodnić, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw, a jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw?
  • (3 pkt) Z wierzchołka \(C\) trójkąta \(ABC\) poprowadzono środkową \(CD\). Przez punkt \(A\) i środek odcinka \(CD\) poprowadzono prostą \(AE\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\frac{|CE|}{|EB|}=\frac{1}{2}\).
  • (3 pkt) Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg. Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(P\). Udowodnij, że \[ |AP|\cdot|PC|=|BP|\cdot|PD| \]
  • Zobacz na rysunek: Z tw. odwrotnego do tw. Talesa dla kąta \(AOB\) można wykazać równoległość \(EF\) do \(DC\).

    Z zaznaczonych trójkątów przystających i podobieństwa trójkątów \(EFC\) i \(C'BC\) mamy: \(\frac{|EF|}{|EC|}=\frac{|C'B|}{2|EC|}\) co daje tezę.

  • I sposób (magiczny równoległobok):

    \(\Delta ADE' \sim \Delta ABE\) (cecha k-k-k, bo \(DE' \parallel BE\)): \[ \frac{a}{b}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2} \]

    II sposób (tw. Talesa): Niech: \(DD' \parallel AE\).
    Z Talesa dla \(DCD'\):
    \[ \frac{a}{y}=\frac{b}{y}\\[6pt] ay=by\\[6pt] a=b \] Z Talesa dla \(ABE\):

    \[ \frac{c}{x}=\frac{b}{x}\\[6pt] cx=bx\\[6pt] c=b \] Zatem: \[ \frac{|CE|}{|EB|}=\frac{a}{b+c}=\frac{a}{a+a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2} \]

    III sposób (tw. Menelaosa): \(A,F,E\) – współliniowe, zatem z tw. Menelaosa mamy: \[ \frac{BA}{AD}\cdot\frac{DF}{FC}\cdot\frac{CE}{EB}=1 \] \[ \frac{2x}{x}\cdot\frac{y}{y}\cdot\frac{a}{b}=1\\[6pt] 2\cdot 1\cdot\frac{a}{b}=1\\[6pt] \frac{2a}{b}=1\\[6pt] \frac{a}{b}=\frac{1}{2} \]

  • Ten przykład to jest tak naprawdę twierdzenie o potędze punktu względem okręgu. Kąt \(ABD\) i \(ACD\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, zatem: \[ |\angle ABD|=|\angle ACD| \] Ponadto kąty \(APD\) i \(CPB\) są tej samej miary, bo są kątami wierzchołkowymi.

    Zatem mamy: \(\Delta APD \sim \Delta CPB\) (cecha k-k-k) \[ \frac{a}{d}=\frac{c}{b}\\[6pt] a\cdot b=c\cdot d\ _{\blacksquare} \]
Czy znasz własności trójkątów i czworokątów również wpisanych i opisanych na okręgu? W tym także przydatne twierdzenie Ptolemeusza?
  • (łatwe) Oblicz długość promienia okręgu opisanego oraz wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(a\).
  • (łatwe) Jaka jest długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach \(3\), \(4\), \(5\)?
  • (łatwe) W trapezie \(ABCD\), w którym \(AB \parallel CD\), przekątna \(AC\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Wykaż, że trójkąt \(ACD\) jest równoramienny.
  • (2 pkt) Czworokąt \(ABCD\) jest opisany na okręgu. Wiadomo, że: \(|AB|=2|BC|\) oraz \(|CD|=3|BC|\). Wykaż, że \(|AD|=4|BC|\).
  • (3 pkt) Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(AB\) okręgu opisanego na trójkącie równobocznym \(ABC\). Wykaż, że \(|CD|=|AD|+|BD|\).
  • W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego leżą na wysokości. Punkt przecięcia środkowych dzieli wysokość w stosunku \(2:1\) licząc od wierzchołka.

    Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) jest równa: \[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \] Promień okręgu opisanego stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości, więc: \[ R=\frac{2}{3}h\\[6pt] R=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\\[6pt] R=\frac{a\sqrt{3}}{3} \] Promień okręgu wpisanego stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości, więc: \[ r=\frac{1}{3}h\\[6pt] r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\\[6pt] r=\frac{a\sqrt{3}}{6} \]
  • Trójkąt o bokach \(3\), \(4\), \(5\) jest prostokątny, a wtedy przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego, zatem: \[R=\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{5}{2}\]
  • Ponieważ \(AC\) jest dwusieczną kąta \(DAB\), więc: \[ |\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle CAB| \] Ponieważ \(AB \parallel CD\), to kąty \(CAB\) i \(ACD\) są kątami naprzemianległymi, zatem: \[ |\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ACD| \] Stąd otrzymujemy: \[ |\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle ACD| \]
  • W czworokącie opisanym na okręgu suma długości boków przeciwległych jest taka sama, więc: \[ |AB|+|CD|=|BC|+|AD|\\[6pt] 2|BC|+3|BC|=|BC|+|AD|\\[6pt] 5|BC|=|BC|+|AD|\\[6pt] |AD|=4|BC| \]
  • Wprowadźmy oznaczenia: Z twierdzenia Ptolemeusza dla \(ADBC\): \[ |CD|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|+|BD|\cdot|AC|\\[6pt] x\cdot a=y\cdot a+z\cdot a\\[6pt] x=y+z \] II sposób (z tw. sinusów):

    Niech \(R\) oznacza promień okręgu opisanego na czworokącie \(ACBD\), \(\alpha=|\sphericalangle ACD|\) oraz \(\beta=|\sphericalangle BCD|\).

    Ponieważ trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, mamy: \[ \alpha+\beta=60^\circ \] Ponadto kąty \(BCD\) i \(BAD\) są wpisane i oparte na tym samym łuku \(BD\), więc: \[ |\sphericalangle BAD|=\beta \] Stąd: \[ |\sphericalangle CAD|=60^\circ+\beta \] Z twierdzenia sinusów dla trójkątów \(ACD\), \(BCD\) i \(ACD\) mamy: \[ |AD|=2R\sin\alpha,\quad |BD|=2R\sin\beta,\quad |CD|=2R\sin(60^\circ+\beta) \] Zatem: \[ |AD|+|BD|=2R\sin\alpha+2R\sin\beta\\[6pt] |AD|+|BD|=2R\big(\sin(60^\circ-\beta)+\sin\beta\big)\\[6pt] |AD|+|BD|=2R\sin(60^\circ+\beta)\\[6pt] |AD|+|BD|=|CD| \] Co należało wykazać.
Czy umiesz wykonywać działania na wektorach?
  • (łatwe) Dane są wektory \(\vec{u}=[2,-3]\) oraz \(\vec{w}=[1,2]\). Wyznacz wektor \(\vec{v}=4\vec{w}-\vec{u}\).
  • (2 pkt) Dane są punkty \(A=(0,2)\), \(B=(4,0)\) oraz wektor \(\overrightarrow{DC}=[1,6]\), gdzie \(D\) jest środkiem odcinka \(AB\). Oblicz współrzędne punktu \(C\).
  • (4 pkt) Oblicz pole równoległoboku \(ABCD\), takiego, że \(\vec{DA}=[1,-2]\) oraz \(\vec{DC}=[-3,3]\).
  • Podstawiamy dane do wzoru: \[ \vec{v}=4\vec{w}-\vec{u}=4\cdot[1,2]-[2,-3]\\[6pt] \vec{v}=[4,8]-[2,-3]\\[6pt] \vec{v}=[4-2,\ 8-(-3)]\\[6pt] \vec{v}=[2,11] \]
  • Najpierw wyznaczamy współrzędne punktu \(D\), który jest środkiem odcinka \(AB\): \[ D=\left(\frac{0+4}{2},\frac{2+0}{2}\right)=(2,1) \] Wektor \(\overrightarrow{DC}=[1,6]\), więc: \[ x_C=x_D+1=2+1=3\\[6pt] y_C=y_D+6=1+6=7 \] Zatem: \[ C=(3,7) \]
  • Sposób I: Przyjmijmy, że punkt \(D=(0,0)\). Wtedy: \[ A=(1,-2), \qquad C=(-3,3) \] Najpierw obliczamy długość podstawy \(DC\): \[ |DC|=\sqrt{(-3)^2+3^2}=\sqrt{9+9}=3\sqrt{2} \] Prosta \(DC\) przechodzi przez punkty \(D=(0,0)\) oraz \(C=(-3,3)\), więc ma równanie: \[ y=-x \] czyli \[ x+y=0 \] Wysokość równoległoboku opuszczona z punktu \(A\) na prostą \(DC\) jest równa odległości punktu \(A=(1,-2)\) od prostej \(x+y=0\): \[ h=\frac{|1+(-2)|}{\sqrt{1^2+1^2}}\\[6pt] h=\frac{1}{\sqrt{2}} \] Zatem pole równoległoboku: \[ P=|DC|\cdot h\\[6pt] P=3\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] P=3 \]

    Sposób II: Przyjmijmy, że punkt \(D=(0,0)\). Wtedy: \[ A=(1,-2), \qquad C=(-3,3) \] Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta o wierzchołkach \(A=(x_A,y_A)\), \(B=(x_B,y_B)\), \(C=(x_C,y_C)\) (który jest w tablicach maturalnych): \[ P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\left|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(y_B-y_A)(x_C-x_A)\right| \] Zatem: \[ P_{\triangle DAC}=\frac{1}{2}\left|(1-0)(3-0)-((-2)-0)((-3)-0)\right|\\[6pt] P_{\triangle DAC}=\frac{1}{2}\left|1\cdot 3-(-2)\cdot(-3)\right|\\[6pt] P_{\triangle DAC}=\frac{1}{2}|3-6|\\[6pt] P_{\triangle DAC}=\frac{3}{2} \] Pole równoległoboku jest dwa razy większe od pola trójkąta \(DAC\), więc: \[ P=2\cdot \frac{3}{2}=3 \]

    Sposób III (spoza programu): Pole równoległoboku jest równe wartości bezwzględnej wyznacznika wektorów \(\vec{DA}\) i \(\vec{DC}\): \[ P=\left|\begin{vmatrix} 1 & -2\\ -3 & 3 \end{vmatrix}\right| \] Obliczamy wyznacznik: \[ P=|1\cdot 3-(-2)\cdot(-3)|\\[6pt] P=|3-6|\\[6pt] P=|-3|\\[6pt] P=3 \]

Czy wiesz kiedy dwie proste są równoległe lub prostopadłe?
  • (łatwe) Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez początek układu współrzędnych i prostopadłej do prostej: \(2x+3y+4=0\).
  • (3 pkt) Wyznacz wszystkie parametry \(m\) dla których proste: \((m^2-1)x-y+1=0\) oraz \(x-(m^2-3m+2)y+2m=0\) są prostopadłe.
  • Przekształcamy równanie danej prostej do postaci kierunkowej: \[ 2x+3y+4=0\\[6pt] 3y=-2x-4\\[6pt] y=-\frac{2}{3}x-\frac{4}{3} \] Współczynnik kierunkowy tej prostej jest równy \[ a=-\frac{2}{3} \] Prosta prostopadła ma współczynnik kierunkowy równy \[ a_1=\frac{3}{2} \] Szukana prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych, więc ma postać: \[ y=\frac{3}{2}x \]
  • Wyznaczamy współczynniki kierunkowe obu prostych. Pierwsza prosta ma postać: \[ (m^2-1)x-y+1=0\\[6pt] y=(m^2-1)x+1 \] Zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy \[ a_1=m^2-1 \] Druga prosta ma postać: \[ x-(m^2-3m+2)y+2m=0 \] Przypadek I. Współczynnik drugiej prostej przy \(y\) zeruje się, czyli: \[ m^2-3m+2=0\\[6pt] (m-1)(m-2)=0\\[6pt] m=1 \quad \lor \quad m=2 \] Dla \(m=1\) lub \(m=2\) druga prosta jest pionowa. Aby była prostopadła do pierwszej, pierwsza prosta musi być pozioma, czyli jej współczynnik kierunkowy musi być równy \(0\): \[ m^2-1=0\\[6pt] m=1 \quad \lor \quad m=-1 \] Zatem z tego przypadku otrzymujemy: \[ m=1 \] Przypadek II. Współczynnik przy \(y\) nie zeruje się, czyli zakładamy, że: \[ m\neq 1 \quad \land \quad m\neq 2 \] Wtedy drugą prostą możemy zapisać w postaci kierunkowej: \[ y=\frac{1}{m^2-3m+2}x+\frac{2m}{m^2-3m+2} \] Zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy \[ a_2=\frac{1}{m^2-3m+2} \] Proste są prostopadłe, gdy: \[ a_1\cdot a_2=-1 \] Podstawiamy: \[ (m^2-1)\cdot \frac{1}{m^2-3m+2}=-1\\[6pt] m^2-1=-(m^2-3m+2)\\[6pt] m^2-1=-m^2+3m-2\\[6pt] 2m^2-3m+1=0\\[6pt] (2m-1)(m-1)=0\\[6pt] m=\frac{1}{2}_{\in D} \quad \lor \quad m=1_{\notin D} \] Rozwiązanie \(m=1\) nie spełnia założeń przypadku II, ale jest rozwiązaniem przypadku I, zatem ostatecznie mamy rozwiązania: \[ m=1 \quad \lor \quad m=\frac{1}{2} \]
Czy umiesz wyznaczać punkty przecięcia prostej z okręgiem oraz dwóch okręgów?
  • (2 pkt) Wyznacz punkty przecięcia prostej \(y=2x-1\) z okręgiem \((x-3)^2+(y-1)^2=4\).
  • (3 pkt) Wyznacz punkty wspólne dwóch okręgów: \(o_1: (x-1)^2+y^2=4\) oraz \(o_2: (x-5)^2+(y+2)^2=8\).
  • Szukamy punktów wspólnych prostej \(y=2x-1\) oraz okręgu \((x-3)^2+(y-1)^2=4\), zatem zapisujemy układ równań: \[ \left\{ \begin{array}{l} y=2x-1\\[6pt] (x-3)^2+(y-1)^2=4 \end{array} \right. \] Stosujemy metodę podstawiania. Podstawiamy \(y=2x-1\) do równania okręgu: \[ (x-3)^2+\big((2x-1)-1\big)^2=4\\[6pt] (x-3)^2+(2x-2)^2=4\\[6pt] x^2-6x+9+4x^2-8x+4=4\\[6pt] 5x^2-14x+13=4\\[6pt] 5x^2-14x+9=0 \] Obliczamy deltę: \[ \Delta =(-14)^2-4\cdot 5\cdot 9=196-180=16 \] Wyznaczamy rozwiązania: \[ x_1=\frac{14-4}{10}=1,\qquad x_2=\frac{14+4}{10}=\frac{9}{5} \] Obliczamy odpowiadające wartości \(y\): \[ y_1=2\cdot 1-1=1\\[6pt] y_2=2\cdot \frac{9}{5}-1=\frac{18}{5}-\frac{5}{5}=\frac{13}{5} \] Zatem punkty przecięcia to: \[ (1,1)\qquad \text{oraz}\qquad \left(\frac{9}{5},\frac{13}{5}\right) \]
  • Szukamy punktów wspólnych okręgów, zatem musimy rozwiązać układ równań: \[ \left\{ \begin{array}{l} (x-1)^2+y^2=4\\[6pt] (x-5)^2+(y+2)^2=8 \end{array} \right. \] Rozwijamy oba równania: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x+1+y^2=4\\[6pt] x^2-10x+25+y^2+4y+4=8 \end{array} \right. \] Upraszczamy: \[ \left\{ \begin{array}{l} x^2-2x+y^2-3=0\\[6pt] x^2-10x+y^2+4y+21=0 \end{array} \right. \] Odejmujemy stronami pierwsze równanie od drugiego: \[ x^2-10x+y^2+4y+21-(x^2-2x+y^2-3)=0\\[6pt] -8x+4y+24=0\\[6pt] -2x+y+6=0\\[6pt] y=2x-6 \] Podstawiamy do równania pierwszego okręgu: \[ (x-1)^2+(2x-6)^2=4\\[6pt] x^2-2x+1+4x^2-24x+36=4\\[6pt] 5x^2-26x+33=0 \] Obliczamy deltę: \[ \Delta =(-26)^2-4\cdot 5\cdot 33=16 \] Zatem: \[ x_1=\frac{26-4}{10}=\frac{11}{5}, \qquad x_2=\frac{26+4}{10}=3 \] Wyznaczamy odpowiadające wartości \(y\): \[ y_1=2\cdot \frac{11}{5}-6=\frac{22}{5}-\frac{30}{5}=-\frac{8}{5}\\[6pt] y_2=2\cdot 3-6=0 \] Zatem punkty wspólne tych okręgów to: \[ \left(\frac{11}{5},-\frac{8}{5}\right) \qquad \text{oraz} \qquad (3,0) \]
Czy umiesz wyznaczać równanie stycznej do okręgu przechodzącej przez zadany punkt? Czy umiesz w tym kontekście wykorzystać wzór na odległość punktu od prostej?
  • (4 pkt) Wyznacz równania stycznych do okręgu: \((x+1)^2+(y-3)^2=4\), przechodzące przez punkt \(A=(1, -4)\).
  • Załóżmy, że równanie stycznej jest postaci: \[ y=ax+b \]

    Uwaga! Pamiętaj, że przy takim założeniu nie uwzględniamy ewentualnych prostych pionowych.

    Ponieważ prosta przechodzi przez punkt \(A=(1,-4)\), to: \[ -4=a\cdot 1+b\\[6pt] b=-4-a \] Zatem szukane styczne mają postać: \[ y=ax-4-a \] Punkt styczności z okręgiem spełnia warunek, że odległość środka okręgu od prostej jest równa promieniowi. Środek okręgu ma współrzędne \[ S=(-1,3), \] a promień: \[ r=2 \] Przekształcamy równanie prostej do postaci ogólnej: \[ y=ax-4-a\\[6pt] ax-y-4-a=0 \] Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej: \[ \frac{|a\cdot (-1)-3-4-a|}{\sqrt{a^2+1}}=2 \] Upraszczamy: \[ \frac{|-a-3-4-a|}{\sqrt{a^2+1}}=2\\[6pt] \frac{|-2a-7|}{\sqrt{a^2+1}}=2 \] Podnosimy obie strony do kwadratu: \[ (-2a-7)^2=4(a^2+1)\\[6pt] 4a^2+28a+49=4a^2+4\\[6pt] 28a=-45\\[6pt] a=-\frac{45}{28} \] Otrzymaliśmy jedną styczną: \[ y=-\frac{45}{28}x-\frac{67}{28} \] Trzeba jeszcze sprawdzić, czy istnieje styczna pionowa. Prosta pionowa przechodząca przez punkt \(A=(1,-4)\) ma równanie: \[ x=1 \] Odległość środka okręgu od tej prostej jest równa: \[ |-1-1|=2 \] Jest ona równa promieniowi, więc prosta \(x=1\) też jest styczna do tego okręgu. Zatem szukane styczne mają równania: \[ x=1 \] oraz \[ y=-\frac{45}{28}x-\frac{67}{28} \]
Czy umiesz zaznaczać kąt dwuścienny w ostrosłupie i przechodzić z obliczeniami do innych płaszczyzn?
  • (5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość \(a\), a kąt dwuścienny między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę \(\alpha \). Oblicz wysokość ostrosłupa.
  • (5 pkt) W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość \(a\), a wysokość ostrosłupa jest równa \(H\). Oblicz cosinus kąta dwuściennego \(\alpha\) między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi.
  • Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

    Zatem z trójkąta \(MBD\):

    mamy: \[ \frac{\frac{a}{2}}{x}=\sin\frac{\alpha}{2} \\[6pt] x=\frac{a}{2\sin\frac{\alpha}{2}} \]

    Niech \(h_s\) oznacza wysokość ściany bocznej ostrosłupa. Korzystamy z równości pól trójkąta \(ACS\):

    \[ \frac{1}{2}h_s\cdot a=\frac{1}{2}x\cdot b \\[6pt] h_sa=xb \\[6pt] h_s=\frac{xb}{a}=\frac{b}{2\sin\frac{\alpha}{2}} \]

    Teraz rozpatrujemy trójkąt prostokątny \(ANS\), w którym:

    \(|AN|=\frac{a}{2}\), \(|SN|=h_s\), \(|AS|=b\)

    Z twierdzenia Pitagorasa dla \(ANS\):

    \[ \left(\frac{a}{2}\right)^2+\left(\frac{b}{2\sin\frac{\alpha}{2}}\right)^2=b^2 \\[6pt] \frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}}=b^2 \\[6pt] \frac{a^2}{4}=b^2-\frac{b^2}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}} \\[6pt] \frac{a^2}{4}=b^2\left(1-\frac{1}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}}\right) \\[6pt] \frac{a^2}{4}=b^2\cdot\frac{4\sin^2\frac{\alpha}{2}-1}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}} \\[6pt] b^2=\frac{a^2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}-1} \]

    W podstawie \(ABC\) mamy trójkąt równoboczny o boku \(a\), więc środek \(O\) jest jednocześnie środkiem okręgu opisanego. Stąd:

    \[ |AO|=\frac{2}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a}{\sqrt{3}} \]

    Rozpatrujemy teraz trójkąt prostokątny \(AOS\):

    \[ H^2=b^2-|AO|^2 \]

    Po podstawieniu:

    \[ H^2=\frac{a^2\sin^2\frac{\alpha}{2}}{4\sin^2\frac{\alpha}{2}-1}-\frac{a^2}{3} \\[6pt] H^2=\frac{3a^2\sin^2\frac{\alpha}{2}-a^2\left(4\sin^2\frac{\alpha}{2}-1\right)}{3\left(4\sin^2\frac{\alpha}{2}-1\right)} \\[6pt] H^2=\frac{a^2\left(1-\sin^2\frac{\alpha}{2}\right)}{3\left(4\sin^2\frac{\alpha}{2}-1\right)} \\[6pt] H^2=\frac{a^2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{3\left(4\sin^2\frac{\alpha}{2}-1\right)} \]

    Ponieważ:

    \[ 4\sin^2\frac{\alpha}{2}=2(1-\cos\alpha) \]

    to:

    \[ 4\sin^2\frac{\alpha}{2}-1=1-2\cos\alpha \]

    Zatem:

    \[ H^2=\frac{a^2\cos^2\frac{\alpha}{2}}{3(1-2\cos\alpha)} \]

    Ostatecznie:

    \[ H=\frac{a\cos\frac{\alpha}{2}}{\sqrt{3(1-2\cos\alpha)}} \]

    Można też zapisać odpowiedź w równoważnej postaci:

    \[ H=a\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{6(1-2\cos\alpha)}} \]
  • Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku: Trójkąt \(BPD\) jest równoramienny, ponieważ: \[ |BC|=|CD| \] zatem trójkąty \(BCP\) i \(DCP\) są przystające, więc: \[ |BP|=|DP|=x. \] Najpierw obliczymy długość \(h\). Rozpatrzmy trójkąt prostokątny \(SOC\). Mamy: \[ |OS|=H,\qquad |OC|=\frac{a}{\sqrt2}. \] Ponadto: \[ |SC|=\sqrt{H^2+\frac{a^2}{2}}. \] Z pola trójkąta \(SOC\) otrzymujemy: \[ \frac{1}{2}\cdot |OS|\cdot |OC|=\frac{1}{2}\cdot |SC|\cdot |OP| \] \[ \frac{1}{2}\cdot H\cdot \frac{a}{\sqrt2}=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{H^2+\frac{a^2}{2}}\cdot h \] \[ h=\frac{H\cdot \frac{a}{\sqrt2}}{\sqrt{H^2+\frac{a^2}{2}}} =\frac{aH}{\sqrt{a^2+2H^2}}. \] Teraz rozpatrzmy trójkąt prostokątny \(OBP\). Mamy: \[ |OB|=\frac{|BD|}{2}=\frac{a\sqrt2}{2}=\frac{a}{\sqrt2}. \] Z twierdzenia Pitagorasa: \[ x^2=\left(\frac{a}{\sqrt2}\right)^2+h^2 \] \[ x^2=\frac{a^2}{2}+\frac{a^2H^2}{a^2+2H^2} \] \[ x^2=\frac{a^2(a^2+2H^2)+2a^2H^2}{2(a^2+2H^2)} \] \[ x^2=\frac{a^4+4a^2H^2}{2(a^2+2H^2)} =\frac{a^2(a^2+4H^2)}{2(a^2+2H^2)}. \] Teraz stosujemy twierdzenie cosinusów w trójkącie \(BPD\): \[ |BD|^2=|BP|^2+|DP|^2-2\cdot |BP|\cdot |DP|\cdot \cos\alpha \] \[ (a\sqrt2)^2=x^2+x^2-2x^2\cos\alpha \] \[ 2a^2=2x^2-2x^2\cos\alpha. \] Stąd: \[ a^2=x^2-x^2\cos\alpha \] \[ x^2\cos\alpha=x^2-a^2 \] \[ \cos\alpha=\frac{x^2-a^2}{x^2}. \] Podstawiamy wyznaczone \(x^2\): \[ \cos\alpha= \frac{\frac{a^2(a^2+4H^2)}{2(a^2+2H^2)}-a^2}{\frac{a^2(a^2+4H^2)}{2(a^2+2H^2)}} \] \[ \cos\alpha= \frac{\frac{a^2(a^2+4H^2)-2a^2(a^2+2H^2)}{2(a^2+2H^2)}}{\frac{a^2(a^2+4H^2)}{2(a^2+2H^2)}} \] \[ \cos\alpha= \frac{-a^4}{a^2(a^2+4H^2)} \] \[ \cos\alpha=-\frac{a^2}{a^2+4H^2}. \]
Czy umiesz wyznaczać i obliczać przekroje brył (sześcianu i ostrosłupów prawidłowych)?
  • (4 pkt) Sześcian \(ABCDEFGH\) o krawędzi \(a\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi \(AB\), \(AD\) oraz \(GH\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  • (3 pkt) Czworościan foremny \(ABCD\) przecięto płaszczyzną przechodzącą przez środki krawędzi \(AB\), \(AC\) oraz \(BD\). Oblicz pole otrzymanego przekroju.
  • Oznaczmy przez \(M\), \(N\), \(P\) odpowiednio środki krawędzi \(AB\), \(AD\), \(GH\). Niech \(R\), \(S\), \(Q\) będą pozostałymi punktami przekroju, jak na rysunku:

    Zachodzi:

    \[ \triangle MBF \equiv \triangle QFB \]

    na mocy cechy bok-kąt-bok.

    Stąd:

    \[ |MB|=|QF|=\frac{a}{2}. \]

    Ponadto odcinki \(MN\), \(SQ\), \(QP\), \(PR\), \(RN\) są przekątnymi kwadratów o boku \(\frac{a}{2}\), zatem:

    \[ |MN|=|SQ|=|QP|=|PR|=|RN|=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \]

    Dalej mamy:

    \[ |RS|=|BD|=a\sqrt{2}=2\cdot |MN|. \]

    Zatem sześciokąt \(MSQPRN\) jest sześciokątem foremnym o boku:

    \[ \frac{a\sqrt{2}}{2}. \]

    Pole sześciokąta foremnego o boku \(s\) jest równe sześciu polom trójkątów równobocznych o boku \(s\), więc:

    \[ P_{MSQPRN}=6\cdot \frac{s^2\sqrt{3}}{4}. \]

    Po podstawieniu \(s=\frac{a\sqrt{2}}{2}\) otrzymujemy:

    \[ P_{MSQPRN}=6\cdot \frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} \\[6pt] =6\cdot \frac{\frac{a^2}{2}\sqrt{3}}{4} \\[6pt] =\frac{6a^2\sqrt{3}}{8} \\[6pt] =\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}. \]
  • Oznaczmy przez \(M\), \(N\), \(P\) środki odpowiednio krawędzi \(AB\), \(AC\), \(BD\). Płaszczyzna przekroju przecina ponadto krawędź \(CD\) w jej środku \(Q\). Otrzymanym przekrojem jest czworokąt \(MNPQ\).

    W trójkącie \(ABC\) odcinek \(MN\) łączy środki boków \(AB\) i \(AC\), więc:

    \[ MN\parallel BC \quad \text{oraz} \quad |MN|=\frac{1}{2}|BC|=\frac{a}{2} \]

    W trójkącie \(BCD\) odcinek \(PQ\) łączy środki boków \(BD\) i \(CD\), więc:

    \[ PQ\parallel BC \quad \text{oraz} \quad |PQ|=\frac{1}{2}|BC|=\frac{a}{2} \]

    W trójkącie \(ABD\) odcinek \(MP\) łączy środki boków \(AB\) i \(BD\), więc:

    \[ MP\parallel AD \quad \text{oraz} \quad |MP|=\frac{1}{2}|AD|=\frac{a}{2} \]

    W trójkącie \(ACD\) odcinek \(NQ\) łączy środki boków \(AC\) i \(CD\), więc:

    \[ NQ\parallel AD \quad \text{oraz} \quad |NQ|=\frac{1}{2}|AD|=\frac{a}{2} \]

    Zatem \(MN\parallel PQ\) oraz \(MP\parallel NQ\), więc \(MNPQ\) jest równoległobokiem. Ponieważ w czworościanie foremnym krawędzie przeciwległe są prostopadłe, mamy \(AD\perp BC\). Stąd \(MN\perp MP\), więc \(MNPQ\) jest prostokątem. Dodatkowo:

    \[ |MN|=|MP|=\frac{a}{2} \]

    Zatem \(MNPQ\) jest kwadratem o boku \(\frac{a}{2}\).

    Obliczamy pole tego kwadratu:

    \[ P=\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4} \]
Czy umiesz obliczać pola i objętości brył obrotowych?
  • (3 pkt) W stożek o kącie rozwarcia \(120^\circ\) i tworzącej długości \(\sqrt{3}\) wpisano kulę. Oblicz promień tej kuli.
  • Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

    Połowa kąta rozwarcia stożka ma miarę:

    \[ \frac{120^\circ}{2}=60^\circ \]

    Oznaczmy tworzącą stożka \(|BC|=l\). Z trójkąta \(MBC\):

    \[ \frac{r}{l}=\sin 60^\circ \\[6pt] \frac{r}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] r=\frac{3}{2} \]

    Z twierdzenia o odcinkach stycznych \(|BP|=|BM|=r\), zatem:

    \[ |CP|=l-r \]

    Ponieważ kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(60^\circ\), więc:

    \[ \operatorname{tg}60^\circ=\frac{|OP|}{|PC|}=\frac{R}{l-r} \]

    Podstawiamy:

    \[ \sqrt{3}=\frac{R}{\sqrt{3}-\frac{3}{2}} \] \[ R=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \\[6pt] R=3-\frac{3\sqrt{3}}{2} \]
Czy wiesz jak stosować permutację, kombinację i wariację w sytuacjach kombinatorycznych?
  • (łatwe) Na ile sposobów można ustawić w kolejce \(5\) dziewczyn i \(5\) chłopców jeżeli mają stać na przemian?
  • (łatwe) W klasie jest \(12\) chłopców i \(13\) dziewcząt. Na ile sposobów można wybrać delegację złożoną z \(2\) chłopców i \(3\) dziewcząt?
  • (łatwe) W klasie jest \(10\) uczniów. Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego, zastępcę i skarbnika klasy?
  • Aby osoby stały na przemian, mamy tylko dwa możliwe schematy ustawienia:

    \(DCDCDCDCDC\) \(\qquad\) lub \(\qquad\) \(CDCDCDCDCD\)

    W każdym z tych przypadków:
    • \(5\) dziewczyn można ustawić na swoich miejscach na \(5!\) sposobów,
    • \(5\) chłopców można ustawić na swoich miejscach na \(5!\) sposobów.

    Zatem liczba wszystkich ustawień jest równa:

    \[ 2\cdot 5!\cdot 5!=2\cdot 120\cdot 120=28800 \]
  • Wybieramy \(2\) chłopców spośród \(12\) na \(\binom{12}{2}\) sposobów: \[ \binom{12}{2}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=\frac{12\cdot 11}{2}=66 \] Wybieramy \(3\) dziewczęta spośród \(13\) na \(\binom{13}{3}\) sposobów: \[ \binom{13}{3}=\frac{13!}{3!\cdot 10!}=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{3\cdot 2\cdot 1}=286 \] Liczba wszystkich możliwych delegacji jest więc równa: \[ \binom{12}{2}\cdot\binom{13}{3}=66\cdot 286=18876 \]
  • Wybieramy kolejno:
    • przewodniczącego na \(10\) sposobów,
    • zastępcę na \(9\) sposobów,
    • skarbnika na \(8\) sposobów.

    Zatem:

    \[ 10\cdot 9\cdot 8=720 \]

    Można też zapisać korzystając z wariacji bez powtórzeń:

    \[ \binom{10}{3}\cdot 3! =\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8=720 \]
Czy umiesz obliczać złożone sytuacje kombinatoryczne korzystając z reguły dodawania, mnożenia i kombinacji?
  • (3 pkt) Oblicz, ile jest wszystkich liczb \(6\)-cyfrowych, w zapisie których cyfra \(0\) występuje dokładnie trzy razy, a cyfra \(1\) występuje dokładnie raz.
  • (4 pkt) Oblicz, ile jest wszystkich liczb \(5\)-cyfrowych, w zapisie których występują co najmniej dwie cyfry \(7\).
  • Rozpatrzymy dwa przypadki.

    Przypadek 1: pierwsza cyfra jest równa \(1\).

    Wówczas na pozostałych \(5\) miejscach trzeba umieścić dokładnie trzy zera oraz dwie cyfry ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\).

    Wybieramy miejsca dla trzech zer:

    \[ \binom{5}{3} \]

    Na dwóch pozostałych miejscach wpisujemy dowolne cyfry ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\):

    \[ 8^2 \]

    Zatem liczba takich liczb jest równa:

    \[ \binom{5}{3}\cdot 8^2=10\cdot 64=640 \]

    Przypadek 2: pierwsza cyfra jest jedną z cyfr ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\).

    Pierwszą cyfrę możemy wybrać na \(8\) sposobów.

    Na pozostałych \(5\) miejscach trzeba umieścić dokładnie trzy zera, jedną cyfrę \(1\) oraz jeszcze jedną cyfrę ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\).

    Wybieramy miejsca dla trzech zer:

    \[ \binom{5}{3} \]

    Spośród dwóch pozostałych miejsc wybieramy miejsce dla cyfry \(1\):

    \[ \binom{2}{1} \]

    Na ostatnim miejscu wpisujemy jedną z \(8\) cyfr ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\).

    Zatem liczba takich liczb jest równa:

    \[ 8\cdot \binom{5}{3}\cdot \binom{2}{1}\cdot 8 =8\cdot 10\cdot 2\cdot 8 =1280 \]

    Zatem wszystkich takich liczb jest:

    \[ 640+1280=1920 \]
  • Policzymy liczbę takich liczb metodą dopełnienia (zdarzenia przeciwnego).

    Wszystkich liczb \(5\)-cyfrowych jest:

    \[ 9\cdot 10^4=90000 \]

    Szukamy liczb, w których cyfra \(7\) występuje co najmniej dwa razy, więc od liczby wszystkich liczb odejmiemy liczbę liczb bez cyfry \(7\) oraz liczbę liczb, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie raz.

    Najpierw policzmy liczby bez cyfry \(7\).

    Pierwszą cyfrę możemy wybrać na \(8\) sposobów, bo nie może to być ani \(0\), ani \(7\). Każdą z pozostałych czterech cyfr możemy wybrać na \(9\) sposobów, bo nie może to być \(7\).

    \[ 8\cdot 9^4=8\cdot 6561=52488 \]

    Teraz policzmy liczby, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie raz.

    Przypadek 1: cyfra \(7\) stoi na pierwszym miejscu.

    Wówczas pozostałe \(4\) cyfry wybieramy na \(9\) sposobów każdą, ponieważ nie mogą być równe \(7\).

    \[ 9^4=6561 \]

    Przypadek 2: cyfra \(7\) stoi na jednym z czterech pozostałych miejsc.

    Miejsce dla cyfry \(7\) wybieramy na:

    \[ \binom{4}{1}=4 \]

    Pierwszą cyfrę wybieramy na \(8\) sposobów, bo nie może to być ani \(0\), ani \(7\). Każdą z pozostałych trzech cyfr wybieramy na \(9\) sposobów, bo nie może to być \(7\).

    \[ 4\cdot 8\cdot 9^3=4\cdot 8\cdot 729=23328 \]

    Zatem liczb, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie raz, jest:

    \[ 6561+23328=29889 \]

    Obliczamy liczbę liczb, w których cyfra \(7\) występuje co najmniej dwa razy:

    \[ 90000-52488-29889=7623 \]
Czy umiesz obliczać prawdopodobieństwo klasyczne w różnych sytuacjach kombinatorycznych?
  • (3 pkt) Spośród wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru {1,2,3,4,5} losujemy jedną. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn wszystkich cyfr wylosowanej liczby jest równy \(15\).
  • (3 pkt) W urnie są kule białe i czarne. Kul czarnych jest \(3\) razy więcej niż białych. Przy jednoczesnym losowaniu dwóch kul z tej urny prawdopodobieństwo wylosowania dokładnie jednej kuli czarnej wynosi \(\frac{2}{5}\). Oblicz, ile jest kul w urnie.
  • Wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru \(\{1,2,3,4,5\}\) jest: \[ 5^4=625 \]

    Aby iloczyn cyfr był równy \(15\), cyfry w tej liczbie muszą być równe \(1,1,3,5\), ponieważ:

    \[ 15=1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \] (cyfra 2 ani 4 nie może wystąpić, bo wtedy iloczyn byłby parzysty, a \(15\) jest nieparzyste.).

    Policzmy, ile można utworzyć takich liczb.

    Najpierw wybieramy miejsca dla dwóch jedynek:

    \[ \binom{4}{2} \]

    Następnie spośród pozostałych dwóch miejsc wybieramy miejsce dla cyfry \(3\):

    \[ \binom{2}{1} \]

    Ostatnie miejsce zajmuje już cyfra \(5\):

    \[ \binom{1}{1} \]

    Zatem liczba sprzyjających wyników jest równa:

    \[ \binom{4}{2}\cdot \binom{2}{1}\cdot \binom{1}{1}=6\cdot 2\cdot 1=12 \]

    Obliczamy prawdopodobieństwo:

    \[ P=\frac{12}{625} \]
  • Oznaczmy przez \(n\) liczbę kul białych. Wtedy liczba kul czarnych jest równa \(3n\), a liczba wszystkich kul wynosi \(4n\).

    \(n\) – liczba kul białych
    \(3n\) – liczba kul czarnych
    \(4n\) – liczba wszystkich kul

    Niech \(\Omega\) oznacza zbiór wszystkich losowań \(2\) kul z \(4n\) kul. Wówczas:

    \[ |\Omega|=\binom{4n}{2}=\frac{4n(4n-1)}{2}=2n(4n-1) \]

    Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie jednej kuli czarnej.

    Aby zaszło zdarzenie \(A\), wybieramy \(1\) kulę czarną spośród \(3n\) kul oraz \(1\) kulę białą spośród \(n\) kul, więc:

    \[ |A|=\binom{3n}{1}\cdot \binom{n}{1}=3n^2 \]

    Zatem:

    \[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3n^2}{2n(4n-1)}=\frac{3n}{2(4n-1)} \]

    Z treści zadania wiemy, że:

    \[ P(A)=\frac{2}{5} \]

    Stąd:

    \[ \frac{3n}{2(4n-1)}=\frac{2}{5} \\[6pt] 15n=4(4n-1) \\[6pt] 15n=16n-4 \\[6pt] n=4 \]

    Zatem liczba wszystkich kul w urnie jest równa:

    \[ 4n=4\cdot 4=16 \]
Czy umiesz korzystać z własności prawdopodobieństwa i posługiwać się wzorem na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i wzorem na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?
  • (łatwe) Dane są prawdopodobieństwa: \(P(A)=0{,}7,\ P(B)=0{,}6,\ P(A\cup B)=0{,}8\). Oblicz \( P(A\cap B) \).
  • (2 pkt) Dane są prawdopodobieństwa: \(P(A)=\frac{5}{6},\ P(B)=\frac{2}{3}\), a \(A\cup B\) jest zdarzeniem pewnym. Oblicz \(P(A\cap B)\).
  • (2 pkt) Wiadomo, że \(A\subset B,\ P(A)=0{,}3,\ P(B)=0{,}4\). Oblicz \(P(A\cup B)\).
  • (3 pkt) Zdarzenia losowe \(A\), \(B\) są zawarte w \(\Omega\) oraz \(P(A\cap B')=0{,}1\) i \(P(A'\cap B)=0{,}2\). Wykaż, że \(P(A\cap B)\le 0{,}7\).
  • Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

    Podstawiamy dane:

    \[ 0{,}8 = 0{,}7 + 0{,}6 - P(A\cap B) \] Zatem: \[ P(A\cap B)=1{,}3-0{,}8=0{,}5 \]
  • Skoro \( A\cup B \) jest zdarzeniem pewnym, to: \[ P(A\cup B)=1 \]

    Korzystamy ze wzoru:

    \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

    Podstawiamy dane:

    \[ 1=\frac{5}{6}+\frac{2}{3}-P(A\cap B) \] Zatem: \[ P(A\cap B)=\frac{5}{6}+\frac{2}{3}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2} \]
  • Z warunku \( A\subset B \) wynika, że każde zdarzenie sprzyjające \( A \) jest jednocześnie zdarzeniem sprzyjającym \( B \). Oznacza to, że suma zdarzeń \( A\cup B \) jest po prostu zdarzeniem \( B \). \[A\cup B = B\]

    Zatem:

    \[ P(A\cup B)=P(B)=0{,}4 \]
  • Zdarzenia \(A\cap B'\), \(A'\cap B\) oraz \(A\cap B\) są parami rozłączne: a ich suma jest równa \(A\cup B\): \[ (A\cap B')\cup(A'\cap B)\cup(A\cap B)=A\cup B \]

    Zatem:

    \[ P(A\cup B)=P(A\cap B')+P(A'\cap B)+P(A\cap B) \]

    Korzystając z danych z treści zadania, otrzymujemy

    \[ P(A\cup B)=0{,}1+0{,}2+P(A\cap B)=0{,}3+P(A\cap B) \]

    Ponieważ \(P(A\cup B)\le 1\), więc

    \[ 0{,}3+P(A\cap B)\le 1 \]

    Stąd

    \[ P(A\cap B)\le 0{,}7 \] Co kończy dowód.
Czy znacz wzory na prawdopodobieństwo warunkowe?
  • (3 pkt) \(5\) kul białych i \(6\) kul czarnych wrzucamy losowo do dwóch ponumerowanych urn. Oblicz prawdopodobieństwo, że do pierwszej urny trafiły dokładnie \(3\) białe kule, jeśli wiadomo, że do drugiej urny trafiło \(5\) kul.
  • Oznaczmy:
    \(A\) – zdarzenie: do pierwszej urny trafiły dokładnie \(3\) białe kule,
    \(B\) – zdarzenie: do drugiej urny trafiło \(5\) kul.

    Szukamy prawdopodobieństwa warunkowego:

    \[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{|A\cap B|}{|B|}.\] Policzmy najpierw moc zbioru \(B\). Jeśli do drugiej urny trafiło \(5\) kul, to wybieramy po prostu \(5\) kul spośród wszystkich \(11\): \[|B|=\binom{11}{5}\]

    Teraz policzmy moc zbioru \(A\cap B\). Jeśli do pierwszej urny trafiły dokładnie \(3\) białe kule, to do drugiej urny musiały trafić pozostałe \(2\) białe kule. Ponadto w drugiej urnie jest łącznie \(5\) kul, więc oprócz tych \(2\) białych muszą się tam znaleźć jeszcze \(3\) czarne kule wybrane spośród \(6\) czarnych:

    \[|A\cap B|=\binom{5}{2}\binom{6}{3}\] Zatem: \[ P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}= \frac{\binom{5}{2}\binom{6}{3}}{\binom{11}{5}}= \frac{10\cdot 20}{462}= \frac{200}{462}= \frac{100}{231}. \]
Czy znacz wzory na prawdopodobieństwo całkowite?
  • (3 pkt) Wśród wyrobów firmy I i II wyroby wadliwe stanowią odpowiednio 1% i 2%. Firma I dostarcza do hurtowni 3 razy więcej towaru niż firma II. Oblicz prawdopodobieństwo, że losowo zakupiona w tej hurtowni jedna sztuka towaru okaże się wadliwa.
  • Oznaczmy:
    \(W\) – zdarzenie, że wylosowany wyrób jest wadliwy,
    \(I\) – zdarzenie, że wyrób pochodzi z firmy I,
    \(II\) – zdarzenie, że wyrób pochodzi z firmy II.

    Firma I dostarcza \(3\) razy więcej towaru niż firma II, zatem:

    \[ P(I)=\frac{3}{4}, \qquad P(II)=\frac{1}{4}. \]

    Ponadto:

    \[ P(W|I)=1\%=0{,}01, \qquad P(W|II)=2\%=0{,}02. \]

    Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo całkowite:

    \[ P(W)=P(I)\cdot P(W|I)+P(II)\cdot P(W|II). \]

    Podstawiamy:

    \[ P(W)=\frac{3}{4}\cdot 0{,}01+\frac{1}{4}\cdot 0{,}02=0{,}0075+0{,}005=0{,}0125. \]

    Zatem:

    \[ P(W)=0{,}0125 \]
Czy wiesz, jak i w jakich sytuacjach stosować wzór Bayesa?
  • (3 pkt) Wiadomo, że \(1\%\) mężczyzn choruje na chorobę \(X\), oraz \(2\%\) kobiet choruje na chorobę \(X\). Z grupy \(200\) mężczyzn i \(300\) kobiet wybieramy losowo jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrana osoba jest kobietą, jeśli wiadomo, że choruje na chorobę \(X\).
  • Oznaczmy:
    \(A\) – wybrana osoba choruje na chorobę \(X\),
    \(B_1\) – wybrana osoba jest mężczyzną,
    \(B_2\) – wybrana osoba jest kobietą.

    Szukamy prawdopodobieństwa:

    \[ P(B_2|A). \]

    Mamy:

    \[ P(B_1)=\frac{200}{500}=\frac{2}{5}, \qquad P(B_2)=\frac{300}{500}=\frac{3}{5}. \]

    Ponadto:

    \[ P(A|B_1)=\frac{1}{100}, \qquad P(A|B_2)=\frac{2}{100}. \]

    Korzystamy ze wzoru Bayesa:

    \[ P(B_2|A)=\frac{P(B_2)\cdot P(A|B_2)}{P(B_2)\cdot P(A|B_2)+P(B_1)\cdot P(A|B_1)}. \]

    Podstawiamy:

    \[ P(B_2|A)= \frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{100}} {\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{100}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{100}}= \frac{\frac{6}{500}} {\frac{6}{500}+\frac{2}{500}}= \frac{\frac{6}{500}}{\frac{8}{500}}= \frac{6}{8}= \frac{3}{4} \]
Czy znasz schemat Bernoulliego i wiesz kiedy go stosować?
  • (3 pkt) Strzelec trafia w cel z prawdopodobieństwem \(90\%\). Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że strzelec trafi w cel przynajmniej \(5\) razy w \(6\) strzałach. Wynik zaokrąglij do dwóch miejsc po przecinku.
  • Oznaczmy:
    \(n=6\) – liczba strzałów,
    \(p=90\%=0{,}9\) – prawdopodobieństwo trafienia,
    \(q=1-p=0{,}1\) – prawdopodobieństwo nietrafienia,
    \(k=5\) lub \(k=6\).

    Prawdopodobieństwo \(k\) sukcesów w \(n\) próbach Bernoulliego jest dane wzorem:

    \[ P=\binom{n}{k}p^k q^{\,n-k}. \]

    U nas szukamy prawdopodobieństwa \(5\) sukcesów lub \(6\) sukcesów, więc:

    \[ P=\binom{6}{5}(0{,}9)^5(0{,}1)+\binom{6}{6}(0{,}9)^6 \] \[ =6\cdot (0{,}9)^5\cdot 0{,}1+(0{,}9)^6=0{,}885735\approx 0{,}89 \]
Czy umiesz obliczać granice funkcji w punkcie (w tym jednostronne)?
  • (2 pkt) Oblicz granicę: \(\lim_{x \to 0^-}\frac{5x^2+3x}{x^2}\).
  • (2 pkt) Oblicz granicę: \(\lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-4)}{x^2-1}\).
  • Możemy przekształcić wyrażenie: \[ \frac{5x^2+3x}{x^2}=\frac{5x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}=5+\frac{3}{x} \] Badając granicę w punkcie \(x=0\) możemy wykonać skrócenie przez \(x\), bez martwienia się o założenie: \(x\ne 0\).
    Zatem: \[ \lim_{x \to 0^-}\frac{5x^2+3x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-}\left(5+\frac{3}{x}\right) \] Gdy \(x \to 0^-\), to \(\frac{3}{x}\to -\infty\), więc \[ 5+\frac{3}{x}\to -\infty \] Zatem: \[ \lim_{x \to 0^-}\frac{5x^2+3x}{x^2}=-\infty \]
  • Tutaj rozwijamy mianownik wzorem skróconego mnożenia, a następnie skracamy przez \(x+1\), dla \(x\ne -1\), co w granicy jest dozwolone:

    \( \lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-4)}{x^2-1}=\) \( \lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-4)}{(x+1)(x-1)}=\) \( \lim_{x \to -1}\frac{x-4}{x-1}=\) \( \frac{-1-4}{-1-1}= \frac{5}{2} \)

Czy wiesz co to jest i do czego można wykorzystać własność Darboux?
  • (2 pkt) Wykaż, że wielomian \(W(x)=2x^4-11x^3+8x^2+22x-8\) ma przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale \((0,1)\).
  • (3 pkt) Wykaż, że równanie \(\sqrt{x+1}+x=x^2+1\) ma w przedziale \((-1,2)\) co najmniej dwa różne rozwiązania.
  • Obliczamy wartości wielomianu dla końców przedziału: \[ W(0)=-8,\qquad W(1)=2-11+8+22-8=13 \] Zatem: \[ W(0)\lt 0 \qquad \text{oraz} \qquad W(1)\gt 0 \] Wielomian jest funkcją ciągłą i na końcach przedziału \([0,1]\) przyjmuje wartości różnych znaków, zatem z własności Darboux dla pewnego \(x_0\in(0,1)\) zachodzi \[ W(x_0)=0 \] Zatem wielomian \(W(x)\) ma przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale \((0,1)\).
  • Oznaczmy: \[ f(x)=\sqrt{x+1}+x-x^2-1 \] Wówczas dane równanie jest równoważne równaniu \[ f(x)=0 \] Funkcja \(f\) jest ciągła w przedziale \((-1,2)\). Obliczamy: \[ f(0)=\sqrt{0+1}+0-0^2-1=1-1=0 \] Zatem \(x=0\) jest jednym rozwiązaniem równania. Ponadto: \[ f(1)=\sqrt{2}+1-1-1=\sqrt{2}-1\gt 0 \] \[ f(2)=\sqrt{3}+2-4-1=\sqrt{3}-3\lt 0 \] Funkcja \(f\) ma własność Darboux, więc skoro \(f(1)\) i \(f(2)\) mają różne znaki, to istnieje argument \(x_0\in(1,2)\), dla którego \[ f(x_0)=0 \] Zatem równanie ma co najmniej dwa różne rozwiązania: \[ x=0 \qquad \text{oraz} \qquad x=x_0,\ \text{gdzie } x_0\in(1,2) \]
Czy znasz zasady obliczania pochodnych? W tym pochodnej funkcji wymiernej i pochodnej funkcji złożonej?
  • (łatwe) \((4x^5-x^3)'\)
  • (łatwe) \(\left(\frac{5}{x}\right)'\)
  • (łatwe) \(\left(5\sqrt[3]{x}\right)'\)
  • (1 pkt) \(\left(\frac{x^3-2x}{7x+3}\right)'\)
  • (2 pkt) \(\left(\sqrt{3x^7-x^5}\right)'\)
  • \((4x^5-x^3)'=(4x^5)'-(x^3)'=20x^4-3x^2\)
  • \(\left(\frac{5}{x}\right)'=\left(5x^{-1}\right)'=5\cdot(-1)x^{-2}=-5x^{-2}=-\frac{5}{x^2}\)
  • \(\left(5\sqrt[3]{x}\right)'=\left(5x^{\frac{1}{3}}\right)'=5\cdot\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}=\frac{5}{3x^{\frac{2}{3}}}=\frac{5}{3\sqrt[3]{x^2}}\)
  • \(\left(\frac{x^3-2x}{7x+3}\right)'=\) \( \frac{(3x^2-2)(7x+3)-7(x^3-2x)}{(7x+3)^2}=\) \( \frac{21x^3+9x^2-14x-6-7x^3+14x}{(7x+3)^2}=\) \( \frac{14x^3+9x^2-6}{(7x+3)^2}\)
  • Tutaj mamy pochodną funkcji złożonej:
    \(\left(\sqrt{3x^7-x^5}\right)'= \left((3x^7-x^5)^{\frac{1}{2}}\right)'=\) \( \frac{1}{2}(3x^7-x^5)^{-\frac{1}{2}}\cdot(21x^6-5x^4)=\) \( \frac{21x^6-5x^4}{2\sqrt{3x^7-x^5}}\)
Czy wiesz jaka jest interpretacja geometryczna pochodnej i jaki jest jej związek ze styczną do wykresu funkcji?
  • (łatwe) Oblicz współczynnik kierunkowy prostej stycznej do paraboli \(y=x^2\) w punkcie \(P=(3,9)\)
  • (2 pkt) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=5x^3-x^2+2x+7\) w punkcie \(P\) o pierwszej współrzędnej \(x=1\).
  • (3 pkt) Wyznacz punkt przecięcia stycznych do wykresu funkcji \(f(x)=(x-1)(x+3)\) w jej miejscach zerowych.
  • Współczynnik kierunkowy \(a\) stycznej jest równy wartości pochodnej w punkcie styczności. Liczymy pochodną: \[y'=2x\] Zatem: \[a=y'(3)=2\cdot 3=6\]
  • Obliczamy współrzędne punktu styczności: \[ f(1)=5\cdot 1^3-1^2+2\cdot 1+7=5-1+2+7=13 \]

    Zatem:

    \[ P=(1,13) \] Obliczamy pochodną funkcji \(f(x)=5x^3-x^2+2x+7\): \[ f'(x)=15x^2-2x+2 \]

    Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy:

    \[a=f'(1)=15\cdot 1^2-2\cdot 1+2=15\] Równanie stycznej zapisujemy w postaci kierunkowej: \[y=ax+b\] Podstawiamy \(a=15\) \[y=15x+b\]

    Punkt \(P=(1,13)\) należy do tej prostej, więc:

    \[13=15\cdot 1+b\\[6pt] 13=15+b\\[6pt] b=-2\] Zatem równanie stycznej ma postać: \[y=15x-2\]
  • Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji: \[ (x-1)(x+3)=0\\[6pt] x=1 \quad \lor \quad x=-3 \] Zatem miejscami zerowymi są punkty: \[A=(1,0),\quad B=(-3,0)\] Przekształcamy wzór funkcji: \[f(x)=x^2+2x-3\] Obliczamy pochodną: \[f'(x)=2x+2\] Wyznaczamy równanie stycznej w punkcie \(A=(1,0)\): \[a_1=f'(1)=2\cdot 1+2=4\] \[y=4x+b\] \[ 0=4\cdot 1+b\\[6pt] 0=4+b\\[6pt] b=-4 \] \[y=4x-4\] Wyznaczamy równanie stycznej w punkcie \(B=(-3,0)\): \[a_2=f'(-3)=2\cdot (-3)+2=-4\] \[y=-4x+b\] \[ 0=-4\cdot (-3)+b\\[6pt] 0=12+b\\[6pt] b=-12 \] \[y=-4x-12\] Wyznaczamy punkt przecięcia tych prostych: \[ 4x-4=-4x-12\\[6pt] 8x=-8\\[6pt] x=-1 \] \[ y=4\cdot (-1)-4\\[6pt] y=-4-4\\[6pt] y=-8 \] Zatem punkt przecięcia stycznych to: \((-1,-8)\).
Czy wiesz jak badać monotoniczność funkcji i znajdować ekstrema lokalne?
  • (łatwe) Wykaż, że funkcja \(f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2+6x\) jest monotoniczna w przedziale \((-3,-2)\).
  • (3 pkt) Wykaż, że funkcja \(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-3}\) jest monotoniczna w przedziale \((3,\infty)\).
  • (3 pkt) Zbadaj liczbę ekstremów lokalnych funkcji \(f(x)=x^3-3x^2+mx\) w zależności od parametru \(m\).
  • Liczymy pochodną funkcji \(f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2+6x\): \[f'(x)=x^2+5x+6\] \[f'(x)=(x+2)(x+3)\] Zatem \(x=-3\) oraz \(x=-2\) to miejsca zerowe paraboli \(f'(x)=(x+2)(x+3)\), zatem dla \(x\in (-3,-2)\): \[f'(x)\lt 0\] To oznacza, że funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \((-3,-2)\), a więc jest monotoniczna w tym przedziale.
  • Badamy znak pochodnej funkcji \(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-3}\) w przedziale \((3,\infty)\). \[ f'(x)=\frac{(x-3)\cdot 1-(x+2)\cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{x-3-x-2}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2} \] Dla \(x\in(3,\infty)\) mamy: \[(x-3)^2\gt 0\] Zatem: \[f'(x)\lt 0\] To oznacza, że funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \((3,\infty)\), a więc jest monotoniczna w tym przedziale.
  • Liczba ekstremów lokalnych funkcji jest zależna od liczby miejsc zerowych jej pochodnej. \[f'(x)=3x^2-6x+m\] Obliczamy deltę pochodnej: \[ \Delta=(-6)^2-4\cdot 3\cdot m\\[6pt] \Delta=36-12m \] Rozpatrujemy możliwe przypadki: \[ \Delta\gt 0\\[6pt] 36-12m\gt 0\\[6pt] -12m\gt -36\\[6pt] m\lt 3 \] Wtedy pochodna ma dwa różne miejsca zerowe i zmienia w nich znak, więc funkcja ma wtedy dwa ekstrema lokalne. \[ \Delta=0\\[6pt] 36-12m=0\\[6pt] m=3 \] Wtedy pochodna ma jedno miejsce zerowe, ale nie zmienia w nim znaku (bo odbija się od osi x-ów) więc funkcja nie ma ekstremów lokalnych. \[ \Delta\lt 0\\[6pt] 36-12m\lt 0\\[6pt] m\gt 3 \] Wtedy pochodna nie ma miejsc zerowych, więc funkcja nie ma ekstremów lokalnych. Zatem: \[ \begin{cases} m\lt 3 &\text{funkcja ma dwa ekstrema lokalne}\\[6pt] m\geq 3 &\text{funkcja nie ma ekstremów lokalnych} \end{cases} \]
Czy umiesz rozwiązywać zadania optymalizacyjne?
  • (2 pkt) Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o powierzchni całkowitej równej \(60\). Wykaż, że objętość tych graniastosłupów w zależności od długości krawędzi podstawy \(a\) jest równa \(V(a)=15a-\frac{a^3}{2}\) dla \(a\in(0,\sqrt{30})\).
  • (4 pkt) Wyznacz największą z możliwych objętości graniastosłupa, którego objętość w zależności od długości krawędzi podstawy \(a\) dana jest wzorem \(V(a)=15a-\frac{a^3}{2}\) dla \(a\in(0,\sqrt{30})\).
  • Oznaczmy przez \(h\) wysokość graniastosłupa. Pole powierzchni całkowitej takiego graniastosłupa jest równe: \[2a^2+4ah=60\] Wyznaczamy wysokość \(h\): \[ 4ah=60-2a^2\\[6pt] h=\frac{60-2a^2}{4a}\\[6pt] h=\frac{30-a^2}{2a} \] Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości: \[V=a^2\cdot h\] Podstawiamy wyrażenie na \(h\): \[ V(a)=a^2\cdot \frac{30-a^2}{2a}\\[6pt] V(a)=\frac{a(30-a^2)}{2}\\[6pt] V(a)=15a-\frac{a^3}{2} \] Ponieważ \(a\) jest długością krawędzi podstawy, więc \(a\gt 0\). Ponadto wysokość graniastosłupa musi być dodatnia, czyli: \[ \frac{30-a^2}{2a}\gt 0 \] Dla \(a\gt 0\) otrzymujemy: \[ 30-a^2\gt 0\\[6pt] a^2\lt 30\\[6pt] a\lt \sqrt{30} \] Zatem: \[a\in(0,\sqrt{30})\] Wobec tego: \[\boxed{V(a)=15a-\frac{a^3}{2}\quad \text{dla}\quad a\in(0,\sqrt{30})}\]
  • Aby wyznaczyć największą wartość objętości, badamy monotoniczność funkcji \[V(a)=15a-\frac{a^3}{2}\] Obliczamy pochodną: \[V'(a)=15-\frac{3a^2}{2}\] Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej: \[ 15-\frac{3a^2}{2}=0\\[6pt] 30-3a^2=0\\[6pt] 3a^2=30\\[6pt] a^2=10\\[6pt] a=\sqrt{10} \] Ponieważ \(\sqrt{10}\in(0,\sqrt{30})\), więc jest to punkt należący do dziedziny. Sprawdzamy znak pochodnej: \[ V'(a)\gt 0 \text{ dla } a\in(0,\sqrt{10})\\[6pt] V'(a)\lt 0 \text{ dla } a\in(\sqrt{10},\sqrt{30}) \] Zatem funkcja \(V\) rośnie w przedziale \((0,\sqrt{10})\) i maleje w przedziale \((\sqrt{10},\sqrt{30})\), więc przyjmuje wartość największą dla \[a=\sqrt{10}\] Obliczamy tę wartość:

    \(V(\sqrt{10})=15\sqrt{10}-\frac{(\sqrt{10})^3}{2}\) \(=15\sqrt{10}-\frac{10\sqrt{10}}{2}\) \(=15\sqrt{10}-5\sqrt{10}\) \(=10\sqrt{10}\)

    Zatem największa możliwa objętość tego graniastosłupa jest równa \[\boxed{10\sqrt{10}}\]
-
-
-
-
-
-
-
-
-
Tematy nadrzędne i sąsiednie
Matura
◀ Checklista do matury podstawowej 2026
Informacje o maturze i wymagania CKE 2026 ▶