Matura rozszerzona 2026 - maj

Drukuj

Poziom rozszerzony

Tutaj umieszczę rozwiązania zadań z matury 11 maja 2026.

Rozwiązania zadań zacznę umieszczać od godziny 14 jak arkusz zostanie opublikowany.

Oblicz granicę \[ \lim_{n\to+\infty}\frac{\binom{n+2}{n-1} }{\frac{1}{2}n^3-4n+7} \] Zapisz obliczenia.

Ze zbioru ośmiu liczb \(\{1,2,3,4,5,6,7,8\}\) losujemy bez zwracania osiem razy po jednej liczbie. Wylosowane liczby ustawiamy w ciąg zgodnie z kolejnością losowania.

Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że wylosowane liczby utworzą ciąg, w którym iloczyn każdych trzech kolejnych wyrazów będzie liczbą podzielną przez \(3\). Wynik podaj w postaci nieskracalnego ułamka zwykłego. Zapisz obliczenia.

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(x\) i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej \(y\) prawdziwa jest nierówność \[ \frac{1}{x}+\frac{1}{y}\leq \frac{x}{y^2}+\frac{y}{x^2} \]

Punkty \(K\) i \(L\) są środkami — odpowiednio — boków \(AB\) i \(BC\) kwadratu \(ABCD\) o boku długości \(a\). Punkt \(M\) jest takim punktem na boku \(BC\), że odcinki \(DK\) i \(KM\) są prostopadłe. Odcinek \(AL\) przecina odcinki \(DK\) oraz \(DM\) w punktach — odpowiednio — \(P\) oraz \(Q\).

Wykaż, że \(|PQ|=\frac{\sqrt{5}}{5}a\).

Rozwiąż nierówność \[ |2x-6|-|x^2-9|\lt 0 \] Zapisz obliczenia.

Dany jest ciąg arytmetyczny \((a_n)\) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od \(6\). Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy \(1\), a ostatni wyraz tego ciągu jest równy \((-2025)\). Drugi, trzeci i szósty wyraz tego ciągu tworzą — w podanej kolejności — ciąg geometryczny.

Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu \((a_n)\). Zapisz obliczenia.

Rozwiąż równanie \[ \sin(6x)-2\sin(2x)=0 \] Zapisz obliczenia.

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym \(ABCS\) podstawa \(ABC\) jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie \(ABC\) jest równa \(6\sqrt{2}\pi\), a cosinus kąta między krawędziami bocznymi \(SB\) i \(SC\) jest równy \(\frac{5}{9}\).

Oblicz długość krawędzi podstawy \(ABC\) oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi \(SAC\) i \(SBC\) tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(1,-1)\) oraz \(B=(4,0)\) są wierzchołkami trójkąta \(ABC\), w którym \(|CA|=|CB|\). Jedno z ramion trójkąta \(ABC\) zawiera się w prostej o równaniu \(x+2y-4=0\). Na boku \(AC\) tego trójkąta obrano taki punkt \(M\), że \(|AM|:|MC|=1:4\).

Wyznacz równanie okręgu, który ma środek w punkcie \(M\) i przechodzi przez punkt \(C\). Zapisz obliczenia.

Wyznacz wszystkie rzeczywiste wartości parametru \(m\), gdzie \(m\neq 0\), dla których funkcja kwadratowa \(f\) określona wzorem \[ f(x)=m^2\cdot x^2-2mx-m+1 \] ma dwa różne miejsca zerowe \(x_1\) oraz \(x_2\) należące do przedziału \((-2,2)\). Zapisz obliczenia.

W czworokącie \(ABCD\) są dane: \(|AB|=9\), \(|AD|=10\) oraz \(|\sphericalangle BAD|=60^\circ\). W ten czworokąt wpisano okrąg oraz na tym czworokącie opisano okrąg.

Oblicz długości boków \(BC\) i \(CD\) oraz pole czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.

W projekcie ogrodu zaplanowano kwietnik w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości \(x\) metrów nieprzekraczającej \(10\) metrów. Na tym kwietniku ma znajdować się fontanna w kształcie koła o średnicy \(4\) metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnego kwietnika. Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości fontanny pole tego kwietnika było najmniejsze.

Wykaż, że pole \(P\) wyrażone w metrach kwadratowych trójkątnego kwietnika o podstawie długości \(x\) metrów jest określone wzorem \[ P(x)=\frac{2x^3}{x^2-16} \]

Pole \(P\) trójkątnego kwietnika o podstawie długości \(x\) metrów jest określone wzorem \[ P(x)=\frac{2x^3}{x^2-16} \] dla każdego \(x\in(4,10]\).

Wyznacz długość \(x\) podstawy trójkątnego kwietnika, dla której pole tego kwietnika jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole. Zapisz obliczenia.