Matura rozszerzona 2026 - marzec - próbna z Matemaksem
Poziom rozszerzony
Materiały do pobrania:
Zadanie 1. (2 pkt)
W pewnym jeziorze po awarii przemysłowej pojawiła się substancja chemiczna. Ilość tej substancji w jeziorze zmniejsza się zgodnie z zależnością \[ N(t)=a\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{12}}, \] gdzie:
\(t\) – to czas wyrażony w dniach,
\(N(t)\) – to ilość substancji wyrażona w kilogramach,
\(a\) – to pewna stała dodatnia.
Po \(24\) dniach od awarii w jeziorze znajdowało się \(20\) kg tej substancji.
\(t\) – to czas wyrażony w dniach,
\(N(t)\) – to ilość substancji wyrażona w kilogramach,
\(a\) – to pewna stała dodatnia.
Po \(24\) dniach od awarii w jeziorze znajdowało się \(20\) kg tej substancji.
Oblicz, po ilu dniach od chwili awarii ilość tej substancji spadnie poniżej \(1\) kg.
W obliczeniach możesz skorzystać z przybliżenia: \[ \log_2 10 \approx 3{,}32. \] Wynik podaj z dokładnością do \(1\) dnia. Zapisz obliczenia.
W obliczeniach możesz skorzystać z przybliżenia: \[ \log_2 10 \approx 3{,}32. \] Wynik podaj z dokładnością do \(1\) dnia. Zapisz obliczenia.
Zadanie 2. (3 pkt)
Dane są liczby \[a=\log_{\sqrt[3]{3}}\sqrt{5} \quad \text{oraz}\quad b=\log_{25}27\]
Wykaż, że: \(\frac{a}{b}=3^{\large{\log_{\sqrt{3}}(\log_{27}125)}}\).
Zadanie 3. (3 pkt)
W pewnej firmie budowlanej każdy pracownik umie obsługiwać koparkę lub wywrotkę. Pracownicy umiejący obsługiwać koparkę stanowią 60% tej grupy, a pracownicy umiejący obsługiwać wywrotkę stanowią 70% tej grupy.
Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrany pracownik z tej firmy umie obsługiwać koparkę, jeżeli umie obsługiwać wywrotkę. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4. (4 pkt)
W równoległoboku \(ABCD\) punkt \(E\) należy do boku \(AB\), zaś punkt \(F\) należy do boku \(AD\). Ponadto zachodzą stosunki: \(|AE|:|EB|=1:2\) oraz \(|AF|:|FD|=1:3\). Przekątna \(AC\) przecina odcinek \(EF\) w punkcie \(P\).
Wykaż, że \(|AP|:|PC|=1:6\).
Zadanie 5. (5 pkt)
W trójkąt równoboczny o boku długości \(1\) wpisano koło, a następnie wpisano trzy koła styczne do danego koła i boków danego trójkąta. Czynność tę powtórzono nieskończenie wiele razy (zobacz rysunek). 
Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kół. Zapisz obliczenia.
Zadanie 6. (4 pkt)
Rozwiąż równanie \[ \sin^{2} x\cos x+\frac{\sqrt{6}\sin^2x}{2}=\sin^3x \] w przedziale \([0, 2\pi]\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 7. (5 pkt)
Funkcja \(f\) jest określona wzorem \[ f(x)=mx^{2}+2m^2x+(2m^2+m-2) \] dla każdej liczby rzeczywistej \(x\).
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\boldsymbol{m}\), dla których funkcja \(\boldsymbol{f}\) ma dokładnie dwa miejsca zerowe \(x_{1}\) oraz \(x_{2}\) różnych znaków, spełniające dodatkowo warunek \[ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}\gt 0 \] Zapisz obliczenia.
Zadanie 8. (4 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny \(ABC\) o kącie prostym przy wierzchołku \(C\) i przyprostokątnych długości: \(|AC|=2\), \(|BC|=1\). Z wierzchołka \(C\) poprowadzono dwusieczną, która przecięła bok \(AB\) w punkcie \(D\).
Oblicz promień okręgu wpisanego w trójkąt \(ACD\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 9. (5 pkt)
Dane są okręgi:
- \(\mathcal{O}_{1}:(x-2)^2 +(y+1)^2 =9\)
- \(\mathcal{O}_{2}:(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=5\)
- \(\mathcal{O}_{1}:(x-2)^2 +(y+1)^2 =9\)
- \(\mathcal{O}_{2}:(x-5)^{2}+(y-5)^{2}=5\)
Wyznacz równania stycznych do okręgu \(\mathcal{O}_{1}\) przechodzących przez środek okręgu \(\mathcal{O}_{2}.\) Rozważ wszystkie przypadki. Zapisz obliczenia.
Zadanie 10. (5 pkt)
Odległość środka podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego od krawędzi bocznej jest równa \(d\). Kąt płaski ściany bocznej przy wierzchołku ostrosłupa jest ostry i ma miarę \(2\alpha \).
Oblicz objętość tego ostrosłupa. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11. (4 pkt)
Dana jest funkcja \(f(x)=\frac{3x+1}{1-x}\) oraz prosta \(k:\) \(9x+4y-28=0\).
Wyznacz równania stycznych do wykresu funkcji \(f\), które są jednocześnie prostopadłe do prostej \(k\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 12. (6 pkt)
Rozważmy wszystkie stożki, w których suma pola przekroju osiowego i pola podstawy jest równa \(9\).
Wykaż, że objętość stożka w zależności od długości promienia podstawy \(r\) jest równa \[ V(r)=\pi r\left(3-\frac{\pi r^2}{3}\right) \]
Objętość stożka w zależności od długości promienia podstawy \(r\) jest równa \[ V(r)=\pi r\left(3-\frac{\pi r^2}{3}\right) \] dla \(r \in\left(0,\frac{3\sqrt{\pi}}{\pi}\right)\).
Wyznacz długość promienia podstawy \(r\) stożka, dla którego jego objętość jest największa. Oblicz tę objętość. Zapisz obliczenia.