Matura rozszerzona 2026 - styczeń - próbna SMWP
Poziom rozszerzony
Materiały do pobrania:
Zadanie 1. (3 pkt)
Rozwiąż równanie \[ \log _{x}(27)=2+\log _{3}(x) \] gdzie \(x \in(0,1) \cup(1,+\infty)\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 2. (3 pkt)
Oblicz \(\operatorname{tg} \alpha\) wiedząc, że \(\alpha \in\left(\pi, \frac{3 \pi}{2}\right)\) oraz \(\sin 2 \alpha=\frac{12}{13}\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 3. (3 pkt)
Szkolny turniej gry w siatkówkę składa się z dwóch tur. Pierwsza tura polega na rozegraniu przez każdą drużynę \(5\) meczy. Aby drużyna zakwalifikowała się do drugiej tury, musi zwyciężyć w co najmniej \(4\) meczach. Prawdopodobieństwo zwycięstwa w pojedynczym meczu przez drużynę \(A\) jest równe \(0,26\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że drużyna \(A\) zakwalifikuje się do drugiej tury turnieju. Wynik przedstaw w postaci ułamka dziesiętnego, w zaokrągleniu do części setnych. Zapisz obliczenia.
Zadanie 4. (4 pkt)
Okręgi:
- \(\mathcal{O}_{1}:(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=9\)
- \(\mathcal{O}_{2}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=16\)
przecinają się w punktach \(M\) oraz \(N\).
- \(\mathcal{O}_{1}:(x-1)^{2}+(y+3)^{2}=9\)
- \(\mathcal{O}_{2}:(x+2)^{2}+(y-1)^{2}=16\)
przecinają się w punktach \(M\) oraz \(N\).
Oblicz odległość między punktami \(\boldsymbol{M}\) oraz \(\boldsymbol{N}\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 5. (4 pkt)
W czworokąt \(ABCD\) o obwodzie \(30\) wpisano okrąg. Przekątna \(|AC|\) ma długość \(2\sqrt{3}\) i tworzy kąt \(ACB\) o mierze \(60^{\circ}\). Bok \(|BC|\) tego czworokąta jest dwukrotnie dłuższy od jego przekątnej \(|AC|\).
Oblicz długości wszystkich boków czworokąta \(ABCD\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 6. (4 pkt)
Rozwiąż nierówność \[ |x+2|-|x-3|<6+x \] Zapisz obliczenia.
Zadanie 7. (5 pkt)
Twierdzenie tangensów pozwala na określenie zależności między kątami i bokami trójkąta.
Twierdzenie tangensów:
Jeśli \(a\) i \(b\) są długościami boków trójkąta oraz \(\alpha\) i \(\beta\) są miarami kątów leżących odpowiednio naprzeciwko tych boków, to zachodzi równość \[ \frac{a-b}{a+b}=\frac{\operatorname{tg} \frac{\alpha-\beta}{2}}{\operatorname{tg} \frac{\alpha+\beta}{2}} \]
Udowodnij powyższe twierdzenie.
Zadanie 8. (6 pkt)
Wielomian \(W(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c\) jest określony dla każdej liczby rzeczywistej \(x\). W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x, y)\) punkt \((-2,-4)\) należy do wykresu wielomianu \(W\). Współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu wielomianu \(W\) w punkcie o pierwszej współrzędnej równej \(2\) wynosi \(23\). Ponadto, suma współczynników wielomianu \(W\) jest równa \(8\).
Wyznacz wzór wielomianu \(\boldsymbol{W}\) oraz oblicz jego wszystkie pierwiastki. Zapisz obliczenia.
Zadanie 9. (6 pkt)
Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\boldsymbol{m}\), dla których równanie \[ x^{2}-(2 m+3) \cdot x+4 m+6=0 \] ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste \(x_{1}, x_{2}\) spełniające warunek \[ x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>7 \cdot\left(x_{1}+x_{2}\right) \] Zapisz obliczenia.
Zadanie 10. (6 pkt)
Ciągi \((a_{n})\) i \((b_{n})\) są geometryczne i monotoniczne oraz spełnione są zależności: \[ a_{3}+2=b_{1} \quad \text { oraz } \quad 2 a_{2}=21 b_{2} \quad \text { oraz } \quad b_{1} \cdot b_{3}=16 \] Ciąg \((a_{3}, 127, b_{1})\) jest arytmetyczny.
Wyznacz wzory ogólne ciągów ( \(a_{n}\) ) i ( \(b_{n}\) ) oraz określ ich monotoniczność. Zapisz obliczenia.
Zadanie 11. (6 pkt)
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne, których suma długości przekątnej podstawy oraz nachylonej do niej przekątnej graniastosłupa \(d\) jest równa \(12\).
Wykaż, że objętość graniastosłupa w zależności od długości \(\boldsymbol{d}\) jego przekątnej jest równa \[ V(d)=(d-12)^{2} \cdot \sqrt{6 d-36} \]
Objętość graniastosłupa w zależności od długości \(d\) jego przekątnej jest równa \[ V(d)=(d-12)^{2} \cdot \sqrt{6 d-36} \] dla \(d \in(6,12)\).
Wyznacz długość \(d\) przekątnej graniastosłupa, dla której jego objętość jest największa. Zapisz obliczenia.