Matura podstawowa 2026 - czerwiec
Poziom podstawowy
Pliki do pobrania: Arkusz można też wydrukować w prawym górnym rogu strony według własnych preferencji.
Zadanie 1. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\frac{\sqrt[3]{-64}+\sqrt[3]{27}}{\sqrt[5]{-32}}\) jest równa A. \((-2)\)
B. \(\left(-\frac{1}{2}\right)\)
C. \(\frac{1}{2}\)
D. \(2\)
Zadanie 2. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\frac{9^4}{3^{-20}}\) jest równa A. \(9^{-24}\)
B. \(9^{-6}\)
C. \(9^{14}\)
D. \(9^{56}\)
Zadanie 3. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(\log_5\sqrt[3]{25}\) jest równa A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{2}{3}\)
C. \(\frac{3}{2}\)
D. \(6\)
Zadanie 4. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Dla każdej liczby rzeczywistej \(x\) wartość wyrażenia \(x^3-2x^2+x\) jest równa wartości wyrażenia A. \(x(x-1)^2\)
B. \(x(x-1)(x+1)\)
C. \((x-1)(x^2+1)\)
D. \((x+1)(x-1)^2\)
Zadanie 5. (2 pkt)
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej \(n\geq 0\) liczba \[ 7^n+7^{n+1}+7^{n+2} \] jest podzielna przez \(19\).
Zadanie 6. (1 pkt)
Dane są wielomiany \(W\), \(V\) oraz \(H\) określone wzorami: \[ W(x)=x^4 \] \[ V(x)=x^3+1 \] \[ H(x)=x-2 \]
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wielomian \(W(x)-V(x)\cdot H(x)\) jest określony wzorem A. \(2x^3-x+2\)
B. \(2x^3+x-2\)
C. \(x^4-x^3+x-2\)
D. \(x^4-x^3-x+2\)
Zadanie 7. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności \[ -2(x+3)(x-2)\gt 0 \] jest przedział A. \([-3,2]\)
B. \((-3,2)\)
C. \([-2,3]\)
D. \((-2,3)\)
Zadanie 8. (3 pkt)
Dane jest równanie \[ \frac{3x+4}{x-1}=\frac{x+3}{3x}, \] gdzie \(x\neq 0\) i \(x\neq 1\).
Wyznacz wszystkie rozwiązania tego równania należące do przedziału \(\left(-\infty,-\frac{2}{3}\right)\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 9. (1 pkt)
W parku miejskim rosną drzewa iglaste i drzewa liściaste. Wszystkich drzew łącznie jest \(198\). Gdyby w tym parku rosło o \(18\) drzew iglastych więcej niż teraz, to wtedy drzew liściastych byłoby tam \(3\) razy więcej niż drzew iglastych. Przyjmijmy następujące oznaczenia:
\(x\) — liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) — liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.
\(x\) — liczba drzew iglastych rosnących w parku miejskim,
\(y\) — liczba drzew liściastych rosnących w parku miejskim.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Układem równań, którego poprawne rozwiązanie prowadzi do obliczenia liczby \(x\) drzew iglastych oraz liczby \(y\) drzew liściastych, jest A. \(\begin{cases}x+y=198\\ x+18=3y\end{cases}\)
B. \(\begin{cases}x+y=198\\ 3x+18=y\end{cases}\)
C. \(\begin{cases}x+y=198\\ \frac{1}{3}x+18=y\end{cases}\)
D. \(\begin{cases}x+y=198\\ 3(x+18)=y\end{cases}\)
Zadanie 10. (1 pkt)
Funkcja liniowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=3x-4\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Funkcja \(f\) jest rosnąca. | P | F |
| W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykres funkcji \(f\) przecina oś \(Oy\) w punkcie \((0,4)\). | P | F |
Zadanie 11. (1 pkt)
Funkcja kwadratowa \(f\) jest określona wzorem \(f(x)=2x^2-kx+6\), gdzie \(k\) jest pewną liczbą rzeczywistą. Liczba \(2\) jest miejscem zerowym funkcji \(f\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(k\) jest równa A. \((-11)\)
B. \((-7)\)
C. \(7\)
D. \(11\)
Zadanie 12. (4 pkt)
Funkcja \(f\) jest określona następująco: \[ f(x)= \begin{cases} \dfrac{4}{3}x+\dfrac{14}{3} & \text{dla } x\in[-5,-2)\\[6pt] \dfrac{3}{4}x+\dfrac{3}{2} & \text{dla } x\in[-2,2]\\[6pt] -3x+9 & \text{dla } x\in(2,4) \end{cases} \] Wykres funkcji \(y=f(x)\) przedstawiono w kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) na rysunku poniżej. 
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie liczby w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
- Funkcja \(f\) ma dokładnie .......... miejsca zerowe.
- Funkcja \(f\) osiąga największą wartość dla argumentu .......... .
Uzupełnij zdania. Wpisz odpowiednie przedziały w wykropkowanych miejscach, aby zdania były prawdziwe.
- Dziedziną funkcji \(f\) jest przedział .......... .
- Zbiorem wszystkich argumentów, dla których funkcja \(f\) przyjmuje wartości nieujemne, jest przedział .......... .
Zadanie 13. (2 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) wykresem funkcji kwadratowej \(f\) jest parabola o wierzchołku w punkcie \(W=(-3,7)\).
Liczba \(t\) spełnia warunki: \(f(t)=f(-9)\) oraz \(t\neq -9\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Liczba \(t\) jest równa A. \(3\)
B. \(9\)
C. \(15\)
D. \(21\)
Funkcja kwadratowa \(g\) jest określona za pomocą funkcji \(f\) wzorem \(g(x)=f(x-5)\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji \(g\) ma współrzędne A. \((-8,7)\)
B. \((-3,2)\)
C. \((-3,12)\)
D. \((2,7)\)
Zadanie 14. (2 pkt)
Ciąg \((a_n)\) jest określony następująco: \[ \begin{cases} a_1=2\\ a_{n+1}=a_n-6 \end{cases} \] dla każdej liczby naturalnej \(n\geq 1\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Piąty wyraz ciągu \((a_n)\) jest równy A. \((-4)\)
B. \((-16)\)
C. \((-22)\)
D. \((-28)\)
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Ciąg \((a_n)\) jest arytmetyczny. | P | F |
| Ciąg \((a_n)\) jest malejący. | P | F |
Zadanie 15. (2 pkt)
Czterowyrazowy ciąg \((7,a_2,a_3,a_4)\) jest arytmetyczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa \(54\).
Oblicz drugi wyraz tego ciągu. Zapisz obliczenia.
Zadanie 16. (1 pkt)
Pięciowyrazowy ciąg \((a_1,a_2,2,a_4,a_5)\) jest geometryczny.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Iloczyn \(a_1\cdot a_2\cdot 2\cdot a_4\cdot a_5\) jest równy A. \(2\)
B. \(16\)
C. \(32\)
D. \(64\)
Zadanie 17. (1 pkt)
Dany jest trójkąt prostokątny o takim kącie \(\alpha\), że \(\sin\alpha=\frac{1}{4}\). Przeciwprostokątna tego trójkąta ma długość \(8\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Krótsza przyprostokątna tego trójkąta ma długość A. \(1\)
B. \(2\)
C. \(4\)
D. \(2\sqrt{15}\)
Zadanie 18. (1 pkt)
Punkty \(A\), \(B\), \(C\) oraz \(D\) leżą na okręgu o środku w punkcie \(S\). Odcinek \(BD\) jest średnicą tego okręgu oraz \(|\sphericalangle ABD|=18^\circ\). Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(CA\) (zobacz rysunek). 
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Miara kąta ostrego \(BCA\) jest równa A. \(36^\circ\)
B. \(60^\circ\)
C. \(72^\circ\)
D. \(81^\circ\)
Zadanie 19. (1 pkt)
Ramiona kąta o wierzchołku w punkcie \(A\) przecięto dwiema prostymi równoległymi \(k\) oraz \(l\). Prosta \(k\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(B\) oraz \(C\). Prosta \(l\) przecina ramiona tego kąta w punktach \(D\) oraz \(E\). Punkty \(B\) oraz \(D\) leżą na jednym ramieniu tego kąta, a punkty \(C\) oraz \(E\) leżą na drugim ramieniu tego kąta. Ponadto \(|AB|=6\), \(|BC|=4\) oraz \(|BD|=2\) (zobacz rysunek). 
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Odcinek \(DE\) ma długość A. \(\frac{8}{3}\)
B. \(\frac{16}{3}\)
C. \(6\)
D. \(8\)
Zadanie 20. (2 pkt)
W trójkącie ostrokątnym \(ABC\) punkt \(D\) leży na boku \(AB\), a punkt \(E\) leży na boku \(AC\). Odcinek \(BE\) jest środkową trójkąta \(ABC\), a odcinek \(CD\) jest wysokością tego trójkąta. Ponadto odcinki \(DB\) oraz \(DE\) mają równe długości (zobacz rysunek). 
Wykaż, że \[ |\sphericalangle CAB|=2\cdot|\sphericalangle ABE|. \]
Zadanie 21. (1 pkt)
Kąt o mierze \(\alpha\) jest rozwarty oraz \(\sin\alpha=\frac{3}{5}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Cosinus kąta o mierze \(\alpha\) jest równy A. \(\left(-\frac{4}{5}\right)\)
B. \(\left(-\frac{3}{4}\right)\)
C. \(\frac{3}{4}\)
D. \(\frac{4}{5}\)
Zadanie 22. (3 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) dany jest równoległobok \(ABCD\), w którym \(D=(6,19)\). Bok \(AB\) tego równoległoboku zawiera się w prostej o równaniu \[ y=\frac{1}{2}x+9, \] a bok \(AD\) zawiera się w prostej o równaniu \[ y=4x-5. \] Punkt \(K=(10,14)\) jest środkiem odcinka \(AB\). Przekątne równoległoboku \(ABCD\) przecinają się w punkcie \(S\).
Oblicz współrzędne punktu \(S\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 23. (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkty \(A=(-3,1)\) oraz \(B=(1,-3)\) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu \(ABCD\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Obwód kwadratu \(ABCD\) jest równy A. \(4\sqrt{2}\)
B. \(16\sqrt{2}\)
C. \(16\)
D. \(32\)
Zadanie 24. (1 pkt)
W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) odcinek o końcach \(A=(1,1)\) oraz \(B=(3,-1)\) jest średnicą okręgu \(\mathcal{O}\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Okrąg \(\mathcal{O}\) jest określony równaniem A. \((x-1)^2+(y-1)^2=8\)
B. \(x^2+(y-2)^2=2\)
C. \((x-2)^2+y^2=2\)
D. \((x-2)^2+y^2=8\)
Zadanie 25. (1 pkt)
Każda z krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość \(12\).
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wysokość tego ostrosłupa jest równa A. \(2\sqrt{3}\)
B. \(3\sqrt{2}\)
C. \(2\sqrt{6}\)
D. \(6\sqrt{2}\)
Zadanie 26. (1 pkt)
Tworząca stożka o promieniu podstawy \(3\) ma długość \(6\).
Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe.
| Pole powierzchni bocznej tego stożka jest dwukrotnie większe od pola jego podstawy. | P | F |
| Kąt rozwarcia tego stożka ma miarę \(60^\circ\). | P | F |
Zadanie 27. (4 pkt)
Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30^\circ\) (zobacz rysunek). 
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.
Zadanie 28. (1 pkt)
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych parzystych, w których zapisie dziesiętnym cyfry tysięcy i jedności są równe, jest A. \(400\)
B. \(500\)
C. \(900\)
D. \(1600\)
Zadanie 29. (1 pkt)
W pewnej miejscowości zlokalizowane są dwie szkoły. W pierwszej z nich jest trzy razy więcej uczniów niż w drugiej. Średni wiek uczniów w pierwszej szkole to \(9\) lat, a średni wiek uczniów w drugiej szkole to \(13\) lat.
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Średni wiek wszystkich uczniów obu szkół, wyrażony w latach, jest równy A. \(10\)
B. \(10{,}5\)
C. \(11\)
D. \(11{,}5\)
Zadanie 30. (1 pkt)
Na diagramie przedstawiono wyniki sprawdzianu z matematyki w pewnej klasie maturalnej. Na osi poziomej podano oceny, które uzyskali uczniowie tej klasy, a na osi pionowej podano liczbę uczniów, którzy otrzymali daną ocenę. 
Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.
Mediana ocen uzyskanych z tego sprawdzianu przez uczniów tej klasy jest równa A. \(3\)
B. \(3{,}5\)
C. \(4\)
D. \(5\)
Zadanie 31. (2 pkt)
Dany jest sześcioelementowy zbiór \(K=\{2,3,4,5,6,7\}\). Ze zbioru \(K\) losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie i zapisujemy je w kolejności losowania.
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\) polegającego na tym, że liczba wylosowana za pierwszym razem będzie parzysta i jednocześnie iloczyn obu wylosowanych liczb będzie większy od \(16\). Zapisz obliczenia.
Zadanie 32. (3 pkt)
Dany jest kwadrat \(ABCD\) o boku długości \(4\). Rozważamy wszystkie trójkąty \(DEF\) spełniające jednocześnie następujące warunki: 
- punkt \(E\) leży na boku \(AB\) kwadratu \(ABCD\),
- punkt \(F\) leży na boku \(BC\) kwadratu \(ABCD\),
- \(|CF|=\frac{1}{2}\cdot|EB|=x\), gdzie \(x\in(0,2)\) (zobacz rysunek).
Wyznacz wzór funkcji \(P\) zmiennej \(x\), gdzie \(x\in(0,2)\). Oblicz długość \(x\) odcinka \(CF\), dla której pole trójkąta \(DEF\) jest najmniejsze. Zapisz obliczenia.