1. Wstęp do postaci funkcji kwadratowej

Wzór dowolnej funkcji kwadratowej można zapisać na wiele różnych sposobów. Oto przykładowa funkcja kwadratowa zapisana na kilka różnych sposobów:

Każdy z powyższych wzorów opisuje tą samą funkcję kwadratową. Tego typu wzorów dla jednej funkcji można teoretycznie wymyślać nieskończenie wiele. Nie opłaca się jednak tego robić, ponieważ kolejne wzory byłyby coraz bardziej skomplikowane. Warto zawsze przedstawiać funkcję w najprostszej możliwej postaci.
Wzór funkcji kwadratowej najkorzystniej jest zapisywać w jednej z trzech postaci: ogólnej, kanonicznej lub iloczynowej.

Postacie funkcji kwadratowej

W tym nagraniu wideo omawiam postać ogólną, kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej.
Obejrzyj na YouTubeStrona z lekcją

2. Postać ogólna funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci ogólnej wygląda tak:
f(x) = ax2 + bx + c
gdzie a, b, c są współczynnikami liczbowymi i a ≠ 0.
Ze wzoru funkcji kwadratowej danej w postaci ogólnej możemy od razu odczytać:
  • czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0),
  • punkt przecięcia paraboli z osią OY (0, c).
Na przykład: Na powyższych wykresach zaznaczono również miejsca zerowe obu funkcji kwadratowych (oznaczone symbolami x1 oraz x2). Dysponując wzorem ogólnym funkcji kwadratowej możemy łatwo obliczyć miejsca zerowe x1 i x2. Wystarczy najpierw obliczyć deltę, korzystając ze wzoru:
Δ = b2 - 4ac
Jeżeli delta wyszła większa od zera, to miejsca zerowe istnieją i możemy je obliczyć korzystając ze wzorów:
Chcąc policzyć współrzędne wierzchołka W funkcji kwadratowej danej w postaci ogólnej, skorzystamy ze wzorów:

3. Postać kanoniczna funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci kanonicznej wygląda tak:
f(x) = a(x-p)2 + q
gdzie a, p, q są współczynnikami liczbowymi i a ≠ 0.
Współczynniki p i q są współrzędnymi wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej. Oznaczmy ten wierzchołek przez W = (p, q). Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej, to możemy obliczyć współrzędne p i q ze wzorów:
Zaletą postaci kanonicznej jest to, że widać z niej od razu współrzędne wierzchołka paraboli.
Dodatkowo po współczynniku a możemy określić, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0).

4. Postać iloczynowa funkcji kwadratowej

Funkcja kwadratowa zapisana w postaci iloczynowej wygląda tak:
f(x) = a(x - x1)(x - x2)
W powyższym wzorze a jest współczynnikiem liczbowym, takim, że a ≠ 0. Literki x1 i x2 są miejscami zerowymi funkcji f(x).
Uwaga! Jeżeli funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych, to postać iloczynowa nie istnieje.
Jeżeli znamy postać ogólną funkcji kwadratowej (i Δ > 0), to możemy obliczyć miejsca zerowe x1 i x2 korzystając ze wzorów:
Zaletą postaci iloczynowej jest to, że widać z niej od razu miejsca zerowe funkcji kwadratowej. Po współczynniku a możemy określić również, czy ramiona paraboli są skierowane do góry (a > 0), czy do dołu (a < 0).

5. Zamiana postaci ogólnej na postać kanoniczną i iloczynową

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci ogólnej, czyli:
f(x) = ax2 + bx + c
Aby zamienić wzór funkcji na postać kanoniczną, to wystarczy obliczyć p i q. Korzystamy ze wzorów:
Po wyliczeniu p i q zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej korzystając ze wzoru:
f(x) = a(x-p)2 + q
Aby zamienić wzór funkcji na postać iloczynową, to należy obliczyć x1 i x2. Wcześniej jednak liczymy deltę ze wzoru:
Δ = b2 - 4ac
Jeżeli Δ ≥ 0 to obliczamy x1 i x2 ze wzorów: Korzystamy ze wzorów:
Po wyliczeniu x1 i x2 zapisujemy wzór funkcji w postaci iloczynowej korzystając ze wzoru:
f(x) = a(x - x1)(x - x2)
Uwaga! Jeżeli Δ = 0, to wystarczy policzyć x1 ze wzoru:
Postać iloczynową możemy wówczas zapisać krócej:
f(x) = a(x - x1)2
Przykład 1. Przekształć wzór funkcji f(x) = x2 + 5x - 6 na postać kanoniczną i iloczynową.
Rozwiązanie
Zacznijmy od wypisania współczynników liczbowych a, b i c z danej postaci ogólnej:
a = 1
b = 5
c = -6
Teraz obliczymy deltę:
Δ = b2 - 4ac = 52 - 4⋅1⋅(-6) = 25 + 24 = 49
Jako pierwszą wyznaczymy postać kanoniczną. Do tego celu musimy obliczyć p i q:

Teraz podstawiamy wyliczone wartości liczbowe współczynników do wzoru:

Ostatecznie otrzymujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:

Teraz wyznaczymy postać iloczynową. W tym celu musimy wyliczyć miejsca zerowe x1 i x2. Korzystamy z poznanych wzorów:

Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru:

Zatem ostatecznie postać iloczynowa funkcji kwadratowej jest następująca:

6. Zamiana postaci kanonicznej na postać ogólną i iloczynową

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci kanonicznej, czyli:
f(x) = a(x-p)2 + q
Aby zamienić wzór funkcji na postać ogólną, to wystarczy podnieść nawias do kwadratu i uprościć wyrażenie: Możemy zatem zapisać wzory na współczynniki liczbowe b i c: Teraz gdy znamy współczynniki liczbowe a, b i c, to możemy zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej:
f(x) = ax2 + bx + c
W praktyce przekształcanie wzoru funkcji kwadratowej na postać ogólną jest bardzo proste i nie wymaga pamiętania żadnych wzorów. Przekonasz się o tym na poniższych przykładach. Wcześniej jednak omówimy metodę zamieniania postaci kanonicznej na iloczynową.
Aby zamienić wzór funkcji z postaci kanonicznej na postać iloczynową, to wystarczy obliczyć miejsca zerowe x1 i x2. Żeby to zrobić, to warto najpierw zamienić wzór funkcji na postać ogólną, a następnie obliczyć miejsca zerowe korzystając z delty i wzorów na x1 oraz x2.
Alternatywną metodą jest obliczenie miejsc zerowych wprost z postaci kanonicznej w następujący sposób: Oczywiście powyższy rachunek możemy przeprowadzić pod warunkiem, że liczba jest dodatnia (bo nie wolno wyciągać pierwiastka z liczby ujemnej). W przeciwnym przypadku miejsca zerowe po prostu nie istnieją.
Przykład 1. Przekształć wzór funkcji f(x) = (x + 1)2 - 4 na postać ogólną i iloczynową.
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia postaci ogólnej. W tym celu podnosimy nawias do kwadratu i upraszczamy wyrażenie:
f(x) = (x + 1)2 - 4 = x2 + 2x + 1 - 4 = x2 + 2x - 3
Czyli postać ogólna jest następująca:
f(x) = x2 + 2x - 3
Teraz wyznaczymy postać iloczynową. Musimy w tym celu wyliczyć miejsca zerowe x1 i x2.
Wypiszmy na początku współczynniki liczbowe a, b i c wyznaczonej przed chwilą postaci ogólnej:
a = 1
b = 2
c = -3
Obliczymy deltę:
Δ = b2 - 4ac = 22 - 4⋅1⋅(-3) = 4 + 12 = 16
Teraz obliczamy miejsca zerowe x1 i x2 korzystając z poznanych wzorów:

Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać iloczynową:

Zatem ostatecznie postać iloczynowa funkcji kwadratowej jest następująca:

7. Zamiana postaci iloczynowej na postać ogólną i kanoniczną

Przyjmijmy, że mamy daną funkcję kwadratową w postaci iloczynowej, czyli:
f(x) = a(x - x1)(x - x2)
Aby zamienić wzór funkcji na postać ogólną, to wystarczy wymnożyć nawiasy: Z powyższego rachunku wynikają wzory na współczynniki liczbowe b i c: Gdy znamy już współczynniki liczbowe a, b i c, to możemy zapisać wzór funkcji w postaci ogólnej:
f(x) = ax2 + bx + c
Za chwilę przećwiczymy taką zamianę na konkretnym przykładzie. Wcześniej jednak omówimy metodę zamieniania postaci iloczynowej na kanoniczną.
Aby zamienić wzór funkcji z postaci iloczynowej na postać kanoniczną, to wcześniej warto przekształcić wzór na postać ogólną. Z niej można bez problemu wyliczyć współczynniki p i q korzystając ze wzorów:
Po wyliczeniu p i q zapisujemy wzór funkcji w postaci kanonicznej:
f(x) = a(x-p)2 + q
Przykład 1. Przekształć wzór funkcji f(x) = 2(x + 3)(x - 4) na postać ogólną i kanoniczną.
Rozwiązanie:
Zaczynamy od wyznaczenia postaci ogólnej. W tym celu wymnażamy nawiasy:
f(x) = 2(x + 3)(x - 4) = (2x + 6)(x - 4) = 2x2 - 8x + 6x - 24 = 2x2 - 2x - 24
Czyli postać ogólna jest następująca:
f(x) = 2x2 - 2x - 24
Teraz wyznaczymy postać kanoniczną. Musimy w tym celu wyliczyć współczynniki p i q.
Wypiszmy na początku współczynniki liczbowe a, b i c wyznaczonej przed chwilą postaci ogólnej:
a = 2
b = -2
c = -24
Obliczymy jeszcze deltę:
Δ = b2 - 4ac = (-2)2 - 4⋅2⋅(-24) = 4 + 192 = 196
Teraz obliczamy współczynniki p i q ze znanych wzorów:

Wyliczone wartości podstawiamy do wzoru na postać kanoniczną:

Zatem ostatecznie postać kanoniczna funkcji kwadratowej jest następująca: