Drukuj
Czy umiesz rozwiązywać zadania optymalizacyjne?
  • (2 pkt) Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne o powierzchni całkowitej równej \(60\). Wykaż, że objętość tych graniastosłupów w zależności od długości krawędzi podstawy \(a\) jest równa \(V(a)=15a-\frac{a^3}{2}\) dla \(a\in(0,\sqrt{30})\).
  • (4 pkt) Wyznacz największą z możliwych objętości graniastosłupa, którego objętość w zależności od długości krawędzi podstawy \(a\) dana jest wzorem \(V(a)=15a-\frac{a^3}{2}\) dla \(a\in(0,\sqrt{30})\).
  • Oznaczmy przez \(h\) wysokość graniastosłupa. Pole powierzchni całkowitej takiego graniastosłupa jest równe: \[2a^2+4ah=60\] Wyznaczamy wysokość \(h\): \[ 4ah=60-2a^2\\[6pt] h=\frac{60-2a^2}{4a}\\[6pt] h=\frac{30-a^2}{2a} \] Objętość graniastosłupa jest równa iloczynowi pola podstawy i wysokości: \[V=a^2\cdot h\] Podstawiamy wyrażenie na \(h\): \[ V(a)=a^2\cdot \frac{30-a^2}{2a}\\[6pt] V(a)=\frac{a(30-a^2)}{2}\\[6pt] V(a)=15a-\frac{a^3}{2} \] Ponieważ \(a\) jest długością krawędzi podstawy, więc \(a\gt 0\). Ponadto wysokość graniastosłupa musi być dodatnia, czyli: \[ \frac{30-a^2}{2a}\gt 0 \] Dla \(a\gt 0\) otrzymujemy: \[ 30-a^2\gt 0\\[6pt] a^2\lt 30\\[6pt] a\lt \sqrt{30} \] Zatem: \[a\in(0,\sqrt{30})\] Wobec tego: \[\boxed{V(a)=15a-\frac{a^3}{2}\quad \text{dla}\quad a\in(0,\sqrt{30})}\]
  • Aby wyznaczyć największą wartość objętości, badamy monotoniczność funkcji \[V(a)=15a-\frac{a^3}{2}\] Obliczamy pochodną: \[V'(a)=15-\frac{3a^2}{2}\] Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej: \[ 15-\frac{3a^2}{2}=0\\[6pt] 30-3a^2=0\\[6pt] 3a^2=30\\[6pt] a^2=10\\[6pt] a=\sqrt{10} \] Ponieważ \(\sqrt{10}\in(0,\sqrt{30})\), więc jest to punkt należący do dziedziny. Sprawdzamy znak pochodnej: \[ V'(a)\gt 0 \text{ dla } a\in(0,\sqrt{10})\\[6pt] V'(a)\lt 0 \text{ dla } a\in(\sqrt{10},\sqrt{30}) \] Zatem funkcja \(V\) rośnie w przedziale \((0,\sqrt{10})\) i maleje w przedziale \((\sqrt{10},\sqrt{30})\), więc przyjmuje wartość największą dla \[a=\sqrt{10}\] Obliczamy tę wartość:

    \(V(\sqrt{10})=15\sqrt{10}-\frac{(\sqrt{10})^3}{2}\) \(=15\sqrt{10}-\frac{10\sqrt{10}}{2}\) \(=15\sqrt{10}-5\sqrt{10}\) \(=10\sqrt{10}\)

    Zatem największa możliwa objętość tego graniastosłupa jest równa \[\boxed{10\sqrt{10}}\]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4915Zadanie 4916
Zadanie 4917 (tu jesteś)
Zadanie 4918Zadanie 4928