Drukuj
Czy wiesz jaka jest interpretacja geometryczna pochodnej i jaki jest jej związek ze styczną do wykresu funkcji?
  • (łatwe) Oblicz współczynnik kierunkowy prostej stycznej do paraboli \(y=x^2\) w punkcie \(P=(3,9)\)
  • (2 pkt) Wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji \(f(x)=5x^3-x^2+2x+7\) w punkcie \(P\) o pierwszej współrzędnej \(x=1\).
  • (3 pkt) Wyznacz punkt przecięcia stycznych do wykresu funkcji \(f(x)=(x-1)(x+3)\) w jej miejscach zerowych.
  • Współczynnik kierunkowy \(a\) stycznej jest równy wartości pochodnej w punkcie styczności. Liczymy pochodną: \[y'=2x\] Zatem: \[a=y'(3)=2\cdot 3=6\]
  • Obliczamy współrzędne punktu styczności: \[ f(1)=5\cdot 1^3-1^2+2\cdot 1+7=5-1+2+7=13 \]

    Zatem:

    \[ P=(1,13) \] Obliczamy pochodną funkcji \(f(x)=5x^3-x^2+2x+7\): \[ f'(x)=15x^2-2x+2 \]

    Współczynnik kierunkowy stycznej jest równy:

    \[a=f'(1)=15\cdot 1^2-2\cdot 1+2=15\] Równanie stycznej zapisujemy w postaci kierunkowej: \[y=ax+b\] Podstawiamy \(a=15\) \[y=15x+b\]

    Punkt \(P=(1,13)\) należy do tej prostej, więc:

    \[13=15\cdot 1+b\\[6pt] 13=15+b\\[6pt] b=-2\] Zatem równanie stycznej ma postać: \[y=15x-2\]
  • Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji: \[ (x-1)(x+3)=0\\[6pt] x=1 \quad \lor \quad x=-3 \] Zatem miejscami zerowymi są punkty: \[A=(1,0),\quad B=(-3,0)\] Przekształcamy wzór funkcji: \[f(x)=x^2+2x-3\] Obliczamy pochodną: \[f'(x)=2x+2\] Wyznaczamy równanie stycznej w punkcie \(A=(1,0)\): \[a_1=f'(1)=2\cdot 1+2=4\] \[y=4x+b\] \[ 0=4\cdot 1+b\\[6pt] 0=4+b\\[6pt] b=-4 \] \[y=4x-4\] Wyznaczamy równanie stycznej w punkcie \(B=(-3,0)\): \[a_2=f'(-3)=2\cdot (-3)+2=-4\] \[y=-4x+b\] \[ 0=-4\cdot (-3)+b\\[6pt] 0=12+b\\[6pt] b=-12 \] \[y=-4x-12\] Wyznaczamy punkt przecięcia tych prostych: \[ 4x-4=-4x-12\\[6pt] 8x=-8\\[6pt] x=-1 \] \[ y=4\cdot (-1)-4\\[6pt] y=-4-4\\[6pt] y=-8 \] Zatem punkt przecięcia stycznych to: \((-1,-8)\).
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4913Zadanie 4914
Zadanie 4915 (tu jesteś)
Zadanie 4916Zadanie 4917