Drukuj
Czy umiesz korzystać z własności prawdopodobieństwa i posługiwać się wzorem na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń i wzorem na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego?
  • (łatwe) Dane są prawdopodobieństwa: \(P(A)=0{,}7,\ P(B)=0{,}6,\ P(A\cup B)=0{,}8\). Oblicz \( P(A\cap B) \).
  • (2 pkt) Dane są prawdopodobieństwa: \(P(A)=\frac{5}{6},\ P(B)=\frac{2}{3}\), a \(A\cup B\) jest zdarzeniem pewnym. Oblicz \(P(A\cap B)\).
  • (2 pkt) Wiadomo, że \(A\subset B,\ P(A)=0{,}3,\ P(B)=0{,}4\). Oblicz \(P(A\cup B)\).
  • (3 pkt) Zdarzenia losowe \(A\), \(B\) są zawarte w \(\Omega\) oraz \(P(A\cap B')=0{,}1\) i \(P(A'\cap B)=0{,}2\). Wykaż, że \(P(A\cap B)\le 0{,}7\).
  • Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

    Podstawiamy dane:

    \[ 0{,}8 = 0{,}7 + 0{,}6 - P(A\cap B) \] Zatem: \[ P(A\cap B)=1{,}3-0{,}8=0{,}5 \]
  • Skoro \( A\cup B \) jest zdarzeniem pewnym, to: \[ P(A\cup B)=1 \]

    Korzystamy ze wzoru:

    \[ P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \]

    Podstawiamy dane:

    \[ 1=\frac{5}{6}+\frac{2}{3}-P(A\cap B) \] Zatem: \[ P(A\cap B)=\frac{5}{6}+\frac{2}{3}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2} \]
  • Z warunku \( A\subset B \) wynika, że każde zdarzenie sprzyjające \( A \) jest jednocześnie zdarzeniem sprzyjającym \( B \). Oznacza to, że suma zdarzeń \( A\cup B \) jest po prostu zdarzeniem \( B \). \[A\cup B = B\]

    Zatem:

    \[ P(A\cup B)=P(B)=0{,}4 \]
  • Zdarzenia \(A\cap B'\), \(A'\cap B\) oraz \(A\cap B\) są parami rozłączne: a ich suma jest równa \(A\cup B\): \[ (A\cap B')\cup(A'\cap B)\cup(A\cap B)=A\cup B \]

    Zatem:

    \[ P(A\cup B)=P(A\cap B')+P(A'\cap B)+P(A\cap B) \]

    Korzystając z danych z treści zadania, otrzymujemy

    \[ P(A\cup B)=0{,}1+0{,}2+P(A\cap B)=0{,}3+P(A\cap B) \]

    Ponieważ \(P(A\cup B)\le 1\), więc

    \[ 0{,}3+P(A\cap B)\le 1 \]

    Stąd

    \[ P(A\cap B)\le 0{,}7 \] Co kończy dowód.
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4916Zadanie 4917
Zadanie 4918 (tu jesteś)
Zadanie 4928Zadanie 4929