Ciąg \((a,b,c)\) jest arytmetyczny, więc z treści zadania: \[ (a-2,\ b-3,\ c,\ \ldots) \] jest ciągiem geometrycznym.

Oznaczmy iloraz tego ciągu geometrycznego przez \(q\). Ciąg jest zbieżny, czyli spełnia warunek: \[|q|\lt 1\] Suma nieskończonego ciągu geometrycznego jest równa \[ S=\frac{a_1}{1-q}=\frac{a-2}{1-q} \] a suma jego trzech pierwszych wyrazów: \[ S_3=(a-2)+(b-3)+c \]

Ponieważ \((a-2,\ b-3,\ c,\ldots)\) jest ciągiem geometrycznym, to \[ b-3=q(a-2), \qquad c=q^2(a-2) \] Czyli trzy pierwsze wyrazy ciągu geometrycznego można zapisać tak: \[(a-2,\ q(a-2),\ q^2(a-2))\] Zatem \[ S_3=(a-2)\left(1+q+q^2\right) \]

Z treści zadania: \[ S=\frac{27}{26}S_3 \] Po podstawieniu: \[ \frac{a-2}{1-q}=\frac{27}{26}(a-2)(1+q+q^2) \] Dzielimy obie strony przez \(a-2\): \[ \frac{1}{1-q}=\frac{27}{26}(1+q+q^2) \] Mnożymy obie strony przez \(1-q\) (wiemy, że \(q\ne 1\), bo spełnia \(|q|\lt 1)\): \[ 1=\frac{27}{26}(1-q)(1+q+q^2)\\[6pt] 1=\frac{27}{26}(1-q^3)\\[6pt] 1-q^3=\frac{26}{27}\\[6pt] q^3=\frac{1}{27}\\[6pt] q=\frac{1}{3} \]

Mamy więc: \[ b-3=\frac{1}{3}(a-2), \qquad c=\frac{1}{9}(a-2) \] Z pierwszej zależności: \[ b=\frac{1}{3}(a-2)+3=\frac{1}{3}a+\frac{7}{3} \] Z drugiej: \[ c=\frac{1}{9}(a-2)=\frac{1}{9}a-\frac{2}{9} \]

Ponieważ \((a,b,c)\) jest ciągiem arytmetycznym, to \[ 2b=a+c. \] Podstawiamy otrzymane wyrażenia: \[ 2\left(\frac{1}{3}a+\frac{7}{3}\right)=a+\left(\frac{1}{9}a-\frac{2}{9}\right) \] \[ \frac{2}{3}a+\frac{14}{3}=\frac{10}{9}a-\frac{2}{9} \] Mnożymy obie strony przez \(9\): \[ 6a+42=10a-2 \] \[ 44=4a \] \[ a=11 \]

Obliczamy pozostałe wyrazy: \[ b=\frac{1}{3}\cdot 11+\frac{7}{3}=6 \] \[ c=\frac{1}{9}\cdot 11-\frac{2}{9}=1 \]

Odpowiedź: \[ \boxed{a=11,\quad b=6,\quad c=1.} \]