Drukuj
Czy wiesz jak badać
monotoniczność funkcji i znajdować
ekstrema lokalne?
- (łatwe) Wykaż, że funkcja \(f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2+6x\) jest monotoniczna w przedziale \((-3,-2)\).
- (3 pkt) Wykaż, że funkcja \(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-3}\) jest monotoniczna w przedziale \((3,\infty)\).
- (3 pkt) Zbadaj liczbę ekstremów lokalnych funkcji \(f(x)=x^3-3x^2+mx\) w zależności od parametru \(m\).
- Liczymy pochodną funkcji \(f(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{2}x^2+6x\): \[f'(x)=x^2+5x+6\] \[f'(x)=(x+2)(x+3)\] Zatem \(x=-3\) oraz \(x=-2\) to miejsca zerowe paraboli \(f'(x)=(x+2)(x+3)\), zatem dla \(x\in (-3,-2)\): \[f'(x)\lt 0\] To oznacza, że funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \((-3,-2)\), a więc jest monotoniczna w tym przedziale.
- Badamy znak pochodnej funkcji \(\displaystyle f(x)=\frac{x+2}{x-3}\) w przedziale \((3,\infty)\). \[ f'(x)=\frac{(x-3)\cdot 1-(x+2)\cdot 1}{(x-3)^2}=\frac{x-3-x-2}{(x-3)^2}=\frac{-5}{(x-3)^2} \] Dla \(x\in(3,\infty)\) mamy: \[(x-3)^2\gt 0\] Zatem: \[f'(x)\lt 0\] To oznacza, że funkcja \(f\) jest malejąca w przedziale \((3,\infty)\), a więc jest monotoniczna w tym przedziale.
- Liczba ekstremów lokalnych funkcji jest zależna od liczby miejsc zerowych jej pochodnej. \[f'(x)=3x^2-6x+m\] Obliczamy deltę pochodnej: \[ \Delta=(-6)^2-4\cdot 3\cdot m\\[6pt] \Delta=36-12m \] Rozpatrujemy możliwe przypadki: \[ \Delta\gt 0\\[6pt] 36-12m\gt 0\\[6pt] -12m\gt -36\\[6pt] m\lt 3 \] Wtedy pochodna ma dwa różne miejsca zerowe i zmienia w nich znak, więc funkcja ma wtedy dwa ekstrema lokalne. \[ \Delta=0\\[6pt] 36-12m=0\\[6pt] m=3 \] Wtedy pochodna ma jedno miejsce zerowe, ale nie zmienia w nim znaku (bo odbija się od osi x-ów) więc funkcja nie ma ekstremów lokalnych. \[ \Delta\lt 0\\[6pt] 36-12m\lt 0\\[6pt] m\gt 3 \] Wtedy pochodna nie ma miejsc zerowych, więc funkcja nie ma ekstremów lokalnych. Zatem: \[ \begin{cases} m\lt 3 &\text{funkcja ma dwa ekstrema lokalne}\\[6pt] m\geq 3 &\text{funkcja nie ma ekstremów lokalnych} \end{cases} \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzonaSąsiednie zadania
Zadanie 4914Zadanie 4915Zadanie 4916 (tu jesteś)
Zadanie 4917Zadanie 4918