Drukuj
Czy wiesz co to jest i do czego można wykorzystać własność Darboux?
  • (2 pkt) Wykaż, że wielomian \(W(x)=2x^4-11x^3+8x^2+22x-8\) ma przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale \((0,1)\).
  • (3 pkt) Wykaż, że równanie \(\sqrt{x+1}+x=x^2+1\) ma w przedziale \((-1,2)\) co najmniej dwa różne rozwiązania.
  • Obliczamy wartości wielomianu dla końców przedziału: \[ W(0)=-8,\qquad W(1)=2-11+8+22-8=13 \] Zatem: \[ W(0)\lt 0 \qquad \text{oraz} \qquad W(1)\gt 0 \] Wielomian jest funkcją ciągłą i na końcach przedziału \([0,1]\) przyjmuje wartości różnych znaków, zatem z własności Darboux dla pewnego \(x_0\in(0,1)\) zachodzi \[ W(x_0)=0 \] Zatem wielomian \(W(x)\) ma przynajmniej jedno miejsce zerowe w przedziale \((0,1)\).
  • Oznaczmy: \[ f(x)=\sqrt{x+1}+x-x^2-1 \] Wówczas dane równanie jest równoważne równaniu \[ f(x)=0 \] Funkcja \(f\) jest ciągła w przedziale \((-1,2)\). Obliczamy: \[ f(0)=\sqrt{0+1}+0-0^2-1=1-1=0 \] Zatem \(x=0\) jest jednym rozwiązaniem równania. Ponadto: \[ f(1)=\sqrt{2}+1-1-1=\sqrt{2}-1\gt 0 \] \[ f(2)=\sqrt{3}+2-4-1=\sqrt{3}-3\lt 0 \] Funkcja \(f\) ma własność Darboux, więc skoro \(f(1)\) i \(f(2)\) mają różne znaki, to istnieje argument \(x_0\in(1,2)\), dla którego \[ f(x_0)=0 \] Zatem równanie ma co najmniej dwa różne rozwiązania: \[ x=0 \qquad \text{oraz} \qquad x=x_0,\ \text{gdzie } x_0\in(1,2) \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4911Zadanie 4912
Zadanie 4913 (tu jesteś)
Zadanie 4914Zadanie 4915