Drukuj
Czy umiesz obliczać granice funkcji w punkcie (w tym jednostronne)?
  • (2 pkt) Oblicz granicę: \(\lim_{x \to 0^-}\frac{5x^2+3x}{x^2}\).
  • (2 pkt) Oblicz granicę: \(\lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-4)}{x^2-1}\).
  • Możemy przekształcić wyrażenie: \[ \frac{5x^2+3x}{x^2}=\frac{5x^2}{x^2}+\frac{3x}{x^2}=5+\frac{3}{x} \] Badając granicę w punkcie \(x=0\) możemy wykonać skrócenie przez \(x\), bez martwienia się o założenie: \(x\ne 0\).
    Zatem: \[ \lim_{x \to 0^-}\frac{5x^2+3x}{x^2} = \lim_{x \to 0^-}\left(5+\frac{3}{x}\right) \] Gdy \(x \to 0^-\), to \(\frac{3}{x}\to -\infty\), więc \[ 5+\frac{3}{x}\to -\infty \] Zatem: \[ \lim_{x \to 0^-}\frac{5x^2+3x}{x^2}=-\infty \]
  • Tutaj rozwijamy mianownik wzorem skróconego mnożenia, a następnie skracamy przez \(x+1\), dla \(x\ne -1\), co w granicy jest dozwolone:

    \( \lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-4)}{x^2-1}=\) \( \lim_{x \to -1}\frac{(x+1)(x-4)}{(x+1)(x-1)}=\) \( \lim_{x \to -1}\frac{x-4}{x-1}=\) \( \frac{-1-4}{-1-1}= \frac{5}{2} \)

Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4910Zadanie 4911
Zadanie 4912 (tu jesteś)
Zadanie 4913Zadanie 4914