Drukuj
Czy wiesz, jak i w jakich sytuacjach stosować wzór Bayesa?
  • (3 pkt) Wiadomo, że \(1\%\) mężczyzn choruje na chorobę \(X\), oraz \(2\%\) kobiet choruje na chorobę \(X\). Z grupy \(200\) mężczyzn i \(300\) kobiet wybieramy losowo jedną osobę. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że wybrana osoba jest kobietą, jeśli wiadomo, że choruje na chorobę \(X\).
  • Oznaczmy:
    \(A\) – wybrana osoba choruje na chorobę \(X\),
    \(B_1\) – wybrana osoba jest mężczyzną,
    \(B_2\) – wybrana osoba jest kobietą.

    Szukamy prawdopodobieństwa:

    \[ P(B_2|A). \]

    Mamy:

    \[ P(B_1)=\frac{200}{500}=\frac{2}{5}, \qquad P(B_2)=\frac{300}{500}=\frac{3}{5}. \]

    Ponadto:

    \[ P(A|B_1)=\frac{1}{100}, \qquad P(A|B_2)=\frac{2}{100}. \]

    Korzystamy ze wzoru Bayesa:

    \[ P(B_2|A)=\frac{P(B_2)\cdot P(A|B_2)}{P(B_2)\cdot P(A|B_2)+P(B_1)\cdot P(A|B_1)}. \]

    Podstawiamy:

    \[ P(B_2|A)= \frac{\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{100}} {\frac{3}{5}\cdot \frac{2}{100}+\frac{2}{5}\cdot \frac{1}{100}}= \frac{\frac{6}{500}} {\frac{6}{500}+\frac{2}{500}}= \frac{\frac{6}{500}}{\frac{8}{500}}= \frac{6}{8}= \frac{3}{4} \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4908Zadanie 4909
Zadanie 4910 (tu jesteś)
Zadanie 4911Zadanie 4912