Oznaczmy:
\(A\) – zdarzenie: do pierwszej urny trafiły dokładnie \(3\) białe kule,
\(B\) – zdarzenie: do drugiej urny trafiło \(5\) kul. Szukamy prawdopodobieństwa warunkowego:
\[P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{|A\cap B|}{|B|}.\] Policzmy najpierw moc zbioru \(B\). Jeśli do drugiej urny trafiło \(5\) kul, to wybieramy po prostu \(5\) kul spośród wszystkich \(11\): \[|B|=\binom{11}{5}\] Teraz policzmy moc zbioru \(A\cap B\). Jeśli do pierwszej urny trafiły dokładnie \(3\) białe kule, to do drugiej urny musiały trafić pozostałe \(2\) białe kule. Ponadto w drugiej urnie jest łącznie \(5\) kul, więc oprócz tych \(2\) białych muszą się tam znaleźć jeszcze \(3\) czarne kule wybrane spośród \(6\) czarnych:
\[|A\cap B|=\binom{5}{2}\binom{6}{3}\] Zatem: \[ P(A|B)=\frac{|A\cap B|}{|B|}= \frac{\binom{5}{2}\binom{6}{3}}{\binom{11}{5}}= \frac{10\cdot 20}{462}= \frac{200}{462}= \frac{100}{231}. \]