Wszystkich liczb czterocyfrowych o cyfrach ze zbioru \(\{1,2,3,4,5\}\) jest: \[ 5^4=625 \] Aby iloczyn cyfr był równy \(15\), cyfry w tej liczbie muszą być równe \(1,1,3,5\), ponieważ:
\[ 15=1 \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \] (cyfra 2 ani 4 nie może wystąpić, bo wtedy iloczyn byłby parzysty, a \(15\) jest nieparzyste.). Policzmy, ile można utworzyć takich liczb.
Najpierw wybieramy miejsca dla dwóch jedynek:
\[ \binom{4}{2} \] Następnie spośród pozostałych dwóch miejsc wybieramy miejsce dla cyfry \(3\):
\[ \binom{2}{1} \] Ostatnie miejsce zajmuje już cyfra \(5\):
\[ \binom{1}{1} \] Zatem liczba sprzyjających wyników jest równa:
\[ \binom{4}{2}\cdot \binom{2}{1}\cdot \binom{1}{1}=6\cdot 2\cdot 1=12 \] Obliczamy prawdopodobieństwo:
\[ P=\frac{12}{625} \] Oznaczmy przez \(n\) liczbę kul białych. Wtedy liczba kul czarnych jest równa \(3n\), a liczba wszystkich kul wynosi \(4n\). \(n\) – liczba kul białych
\(3n\) – liczba kul czarnych
\(4n\) – liczba wszystkich kul
Niech \(\Omega\) oznacza zbiór wszystkich losowań \(2\) kul z \(4n\) kul. Wówczas:
\[ |\Omega|=\binom{4n}{2}=\frac{4n(4n-1)}{2}=2n(4n-1) \] Niech \(A\) oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu dokładnie jednej kuli czarnej.
Aby zaszło zdarzenie \(A\), wybieramy \(1\) kulę czarną spośród \(3n\) kul oraz \(1\) kulę białą spośród \(n\) kul, więc:
\[ |A|=\binom{3n}{1}\cdot \binom{n}{1}=3n^2 \] Zatem:
\[ P(A)=\frac{|A|}{|\Omega|}=\frac{3n^2}{2n(4n-1)}=\frac{3n}{2(4n-1)} \] Z treści zadania wiemy, że:
\[ P(A)=\frac{2}{5} \] Stąd:
\[ \frac{3n}{2(4n-1)}=\frac{2}{5} \\[6pt] 15n=4(4n-1) \\[6pt] 15n=16n-4 \\[6pt] n=4 \] Zatem liczba wszystkich kul w urnie jest równa:
\[ 4n=4\cdot 4=16 \]