Rozpatrzymy dwa przypadki. Przypadek 1: pierwsza cyfra jest równa \(1\).
Wówczas na pozostałych \(5\) miejscach trzeba umieścić dokładnie trzy zera oraz dwie cyfry ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
Wybieramy miejsca dla trzech zer:
\[ \binom{5}{3} \] Na dwóch pozostałych miejscach wpisujemy dowolne cyfry ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\):
\[ 8^2 \] Zatem liczba takich liczb jest równa:
\[ \binom{5}{3}\cdot 8^2=10\cdot 64=640 \] Przypadek 2: pierwsza cyfra jest jedną z cyfr ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
Pierwszą cyfrę możemy wybrać na \(8\) sposobów.
Na pozostałych \(5\) miejscach trzeba umieścić dokładnie trzy zera, jedną cyfrę \(1\) oraz jeszcze jedną cyfrę ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
Wybieramy miejsca dla trzech zer:
\[ \binom{5}{3} \] Spośród dwóch pozostałych miejsc wybieramy miejsce dla cyfry \(1\):
\[ \binom{2}{1} \] Na ostatnim miejscu wpisujemy jedną z \(8\) cyfr ze zbioru \(\{2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
Zatem liczba takich liczb jest równa:
\[ 8\cdot \binom{5}{3}\cdot \binom{2}{1}\cdot 8 =8\cdot 10\cdot 2\cdot 8 =1280 \] Zatem wszystkich takich liczb jest:
\[ 640+1280=1920 \] Policzymy liczbę takich liczb metodą dopełnienia (zdarzenia przeciwnego). Wszystkich liczb \(5\)-cyfrowych jest:
\[ 9\cdot 10^4=90000 \] Szukamy liczb, w których cyfra \(7\) występuje co najmniej dwa razy, więc od liczby wszystkich liczb odejmiemy liczbę liczb bez cyfry \(7\) oraz liczbę liczb, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie raz.
Najpierw policzmy liczby bez cyfry \(7\).
Pierwszą cyfrę możemy wybrać na \(8\) sposobów, bo nie może to być ani \(0\), ani \(7\). Każdą z pozostałych czterech cyfr możemy wybrać na \(9\) sposobów, bo nie może to być \(7\).
\[ 8\cdot 9^4=8\cdot 6561=52488 \] Teraz policzmy liczby, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie raz.
Przypadek 1: cyfra \(7\) stoi na pierwszym miejscu.
Wówczas pozostałe \(4\) cyfry wybieramy na \(9\) sposobów każdą, ponieważ nie mogą być równe \(7\).
\[ 9^4=6561 \] Przypadek 2: cyfra \(7\) stoi na jednym z czterech pozostałych miejsc.
Miejsce dla cyfry \(7\) wybieramy na:
\[ \binom{4}{1}=4 \] Pierwszą cyfrę wybieramy na \(8\) sposobów, bo nie może to być ani \(0\), ani \(7\). Każdą z pozostałych trzech cyfr wybieramy na \(9\) sposobów, bo nie może to być \(7\).
\[ 4\cdot 8\cdot 9^3=4\cdot 8\cdot 729=23328 \] Zatem liczb, w których cyfra \(7\) występuje dokładnie raz, jest:
\[ 6561+23328=29889 \] Obliczamy liczbę liczb, w których cyfra \(7\) występuje co najmniej dwa razy:
\[ 90000-52488-29889=7623 \]