Drukuj
Czy wiesz jak stosować permutację, kombinację i wariację w sytuacjach kombinatorycznych?
  • (łatwe) Na ile sposobów można ustawić w kolejce \(5\) dziewczyn i \(5\) chłopców jeżeli mają stać na przemian?
  • (łatwe) W klasie jest \(12\) chłopców i \(13\) dziewcząt. Na ile sposobów można wybrać delegację złożoną z \(2\) chłopców i \(3\) dziewcząt?
  • (łatwe) W klasie jest \(10\) uczniów. Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego, zastępcę i skarbnika klasy?
  • Aby osoby stały na przemian, mamy tylko dwa możliwe schematy ustawienia:

    \(DCDCDCDCDC\) \(\qquad\) lub \(\qquad\) \(CDCDCDCDCD\)

    W każdym z tych przypadków:
    • \(5\) dziewczyn można ustawić na swoich miejscach na \(5!\) sposobów,
    • \(5\) chłopców można ustawić na swoich miejscach na \(5!\) sposobów.

    Zatem liczba wszystkich ustawień jest równa:

    \[ 2\cdot 5!\cdot 5!=2\cdot 120\cdot 120=28800 \]
  • Wybieramy \(2\) chłopców spośród \(12\) na \(\binom{12}{2}\) sposobów: \[ \binom{12}{2}=\frac{12!}{2!\cdot 10!}=\frac{12\cdot 11}{2}=66 \] Wybieramy \(3\) dziewczęta spośród \(13\) na \(\binom{13}{3}\) sposobów: \[ \binom{13}{3}=\frac{13!}{3!\cdot 10!}=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{3\cdot 2\cdot 1}=286 \] Liczba wszystkich możliwych delegacji jest więc równa: \[ \binom{12}{2}\cdot\binom{13}{3}=66\cdot 286=18876 \]
  • Wybieramy kolejno:
    • przewodniczącego na \(10\) sposobów,
    • zastępcę na \(9\) sposobów,
    • skarbnika na \(8\) sposobów.

    Zatem:

    \[ 10\cdot 9\cdot 8=720 \]

    Można też zapisać korzystając z wariacji bez powtórzeń:

    \[ \binom{10}{3}\cdot 3! =\frac{10!}{(10-3)!}=\frac{10!}{7!}=10\cdot 9\cdot 8=720 \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4903Zadanie 4904
Zadanie 4905 (tu jesteś)
Zadanie 4906Zadanie 4907