Drukuj
Czy umiesz obliczać pola i objętości brył obrotowych?
  • (3 pkt) W stożek o kącie rozwarcia \(120^\circ\) i tworzącej długości \(\sqrt{3}\) wpisano kulę. Oblicz promień tej kuli.
  • Wprowadźmy oznaczenia jak na rysunku:

    Połowa kąta rozwarcia stożka ma miarę:

    \[ \frac{120^\circ}{2}=60^\circ \]

    Oznaczmy tworzącą stożka \(|BC|=l\). Z trójkąta \(MBC\):

    \[ \frac{r}{l}=\sin 60^\circ \\[6pt] \frac{r}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{2} \\[6pt] r=\frac{3}{2} \]

    Z twierdzenia o odcinkach stycznych \(|BP|=|BM|=r\), zatem:

    \[ |CP|=l-r \]

    Ponieważ kąt przy wierzchołku \(C\) ma miarę \(60^\circ\), więc:

    \[ \operatorname{tg}60^\circ=\frac{|OP|}{|PC|}=\frac{R}{l-r} \]

    Podstawiamy:

    \[ \sqrt{3}=\frac{R}{\sqrt{3}-\frac{3}{2}} \] \[ R=\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-\frac{3}{2}\right) \\[6pt] R=3-\frac{3\sqrt{3}}{2} \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4902Zadanie 4903
Zadanie 4904 (tu jesteś)
Zadanie 4905Zadanie 4906