Oznaczmy przez \(M\), \(N\), \(P\) odpowiednio środki krawędzi \(AB\), \(AD\), \(GH\). Niech \(R\), \(S\), \(Q\) będą pozostałymi punktami przekroju, jak na rysunku: 
Zachodzi:
\[ \triangle MBF \equiv \triangle QFB \] na mocy cechy bok-kąt-bok.
Stąd:
\[ |MB|=|QF|=\frac{a}{2}. \] Ponadto odcinki \(MN\), \(SQ\), \(QP\), \(PR\), \(RN\) są przekątnymi kwadratów o boku \(\frac{a}{2}\), zatem:
\[ |MN|=|SQ|=|QP|=|PR|=|RN|=\frac{a\sqrt{2}}{2}. \] Dalej mamy:
\[ |RS|=|BD|=a\sqrt{2}=2\cdot |MN|. \] Zatem sześciokąt \(MSQPRN\) jest sześciokątem foremnym o boku:
\[ \frac{a\sqrt{2}}{2}. \] Pole sześciokąta foremnego o boku \(s\) jest równe sześciu polom trójkątów równobocznych o boku \(s\), więc:
\[ P_{MSQPRN}=6\cdot \frac{s^2\sqrt{3}}{4}. \] Po podstawieniu \(s=\frac{a\sqrt{2}}{2}\) otrzymujemy:
\[ P_{MSQPRN}=6\cdot \frac{\left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2\sqrt{3}}{4} \\[6pt] =6\cdot \frac{\frac{a^2}{2}\sqrt{3}}{4} \\[6pt] =\frac{6a^2\sqrt{3}}{8} \\[6pt] =\frac{3a^2\sqrt{3}}{4}. \] Oznaczmy przez \(M\), \(N\), \(P\) środki odpowiednio krawędzi \(AB\), \(AC\), \(BD\). Płaszczyzna przekroju przecina ponadto krawędź \(CD\) w jej środku \(Q\). Otrzymanym przekrojem jest czworokąt \(MNPQ\). 
W trójkącie \(ABC\) odcinek \(MN\) łączy środki boków \(AB\) i \(AC\), więc:
\[ MN\parallel BC \quad \text{oraz} \quad |MN|=\frac{1}{2}|BC|=\frac{a}{2} \] W trójkącie \(BCD\) odcinek \(PQ\) łączy środki boków \(BD\) i \(CD\), więc:
\[ PQ\parallel BC \quad \text{oraz} \quad |PQ|=\frac{1}{2}|BC|=\frac{a}{2} \] W trójkącie \(ABD\) odcinek \(MP\) łączy środki boków \(AB\) i \(BD\), więc:
\[ MP\parallel AD \quad \text{oraz} \quad |MP|=\frac{1}{2}|AD|=\frac{a}{2} \] W trójkącie \(ACD\) odcinek \(NQ\) łączy środki boków \(AC\) i \(CD\), więc:
\[ NQ\parallel AD \quad \text{oraz} \quad |NQ|=\frac{1}{2}|AD|=\frac{a}{2} \] Zatem \(MN\parallel PQ\) oraz \(MP\parallel NQ\), więc \(MNPQ\) jest równoległobokiem. Ponieważ w czworościanie foremnym krawędzie przeciwległe są prostopadłe, mamy \(AD\perp BC\). Stąd \(MN\perp MP\), więc \(MNPQ\) jest prostokątem. Dodatkowo:
\[ |MN|=|MP|=\frac{a}{2} \] Zatem \(MNPQ\) jest kwadratem o boku \(\frac{a}{2}\).
Obliczamy pole tego kwadratu:
\[ P=\left(\frac{a}{2}\right)^2=\frac{a^2}{4} \]