Drukuj
Czy wiesz jak stosować twierdzenie sinusów i cosinusów?
  • (łatwe) Dany jest trójkąt o boku długości \(3\) i kącie \(30^\circ \) na przeciwko tego boku. Oblicz długość promienia \(R\) okręgu opisanego na tym trójkącie.
  • (3 pkt) Dany jest trójkąt o bokach \(|AB|=8\), \(|BC|=3\), \(|AC|=6\). Oblicz długość środkowej \(CD\) tego trójkąta.
  • (2 pkt) Okrąg opisany na trójkącie \(ABC\) ma promień \(R\). Kąt \(ACB\) jest rozwarty, a bok \(AB\) ma długość \(R\). Oblicz miarę kąta \(ACB\).
  • Korzystamy z twierdzenia sinusów: \[ \frac{a}{\sin \alpha}=2R \] Podstawiamy: \[ \frac{3}{\sin 30^\circ}=2R\\[6pt] \frac{3}{\frac{1}{2}}=2R\\[6pt] 6=2R\\[6pt] R=3 \]
  • Chcemy obliczyć zaznaczoną długość \(x\): Z twierdzenia cosinusów dla \(\triangle ABC\): \[ 3^2=6^2+8^2-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos \alpha\\[6pt] 9=36+64-96\cos \alpha\\[6pt] 96\cos \alpha=91\\[6pt] \cos \alpha=\frac{91}{96} \] Z twierdzenia cosinusów dla \(\triangle ADC\): \[ x^2=6^2+4^2-2\cdot 6\cdot 4\cdot \cos \alpha\\[6pt] x^2=36+16-48\cdot \frac{91}{96}\\[6pt] x^2=52-\frac{91}{2}\\[6pt] x^2=\frac{104}{2}-\frac{91}{2}\\[6pt] x^2=\frac{13}{2}\\[6pt] x=\sqrt{\frac{13}{2}}\\[6pt] x=\frac{\sqrt{26}}{2} \]
  • Skoro \(AB\) to najdłuższy bok, to leży on na przeciwko kąta rozwartego \(ACB\).

    Korzystamy z twierdzenia sinusów w postaci: \[ |AB|=2R\sin\alpha \]

    Podstawiamy \(|AB|=R\): \[ R=2R\sin\alpha\\[6pt] 1=2\sin\alpha\\[6pt] \sin\alpha=\frac{1}{2} \] Stąd: \[ \alpha=30^\circ \quad \lor \quad \alpha=150^\circ \] Z treści zadania mamy, że kąt \(ACB\) jest rozwarty, zatem: \[ \alpha=150^\circ \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4893Zadanie 4894
Zadanie 4895 (tu jesteś)
Zadanie 4896Zadanie 4897