Drukuj
Czy znasz definicje i wykresy funkcji trygonometrycznych? Czy umiesz z wykresów odczytywać wartości funkcji trygonometrycznych dla konkretnych kątów, zauważając jednocześnie wzory redukcyjne? Czy umiesz korzystać ze wzorów redukcyjnych i wzorów trygonometrycznych?
  • (łatwe) Odczytaj z wykresu wartość sinusa dla kąta \(\frac{7}{6}\pi\)?
  • (łatwe) Odczytaj z wykresu dla jakich kątów cosinus przyjmuje wartość \(0\)?
  • (średnie) Wykaż, że \(\frac{\sin 539^\circ+\sin 541^\circ}{\cos 540^\circ}\) jest liczbą wymierną.
  • (średnie) Jak można obliczyć \(\cos15^\circ \)?
  • (2 pkt) Jeżeli \(\sin x+\cos x = \frac{1}{\sqrt{5}}\), to ile jest równy \(\sin 2x\)?
  • Rysujemy sinusa po kratkach, gdzie jedna kratka na osi \(Ox\) odpowiada długości \(\frac{\pi}{6}\). Jedna kratka w pionie odpowiada wartości \(\frac{1}{2}\): Z wykresu odczytujemy, że dla kąta \(\frac{7}{6}\pi\) sinus przyjmuje przeciwną wartość do wartości dla kąta \(\frac{5}{6}\pi\), zatem mamy: \[\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)=-\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)=-\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2} \]
  • Rysujemy wykres cosinusa: Z wykresu widzimy, że miejsca zerowe są położone co \(6\) kratek, czyli w odległości \(6\cdot \frac{\pi}{6}=\pi\).
    Zatem miejsca zerowe zapiszemy tak: \[x= \frac{\pi}{2} + k\pi\quad \text{gdzie } k\in \mathbb{Z}\]
  • I sposób:
    Mamy, że: \[540^\circ = 360^\circ +180^\circ\] Korzystamy ze wzorów redukcyjnych: \[ \cos 540^\circ=\cos(360^\circ +180^\circ)=\cos(180^\circ) \] \[ \sin 539^\circ=\sin(180^\circ-1^\circ)=\sin 1^\circ \] \[ \sin 541^\circ=\sin(180^\circ+1^\circ)=-\sin 1^\circ \] Zatem: \[ \frac{\sin 539^\circ+\sin 541^\circ}{\cos 540^\circ} = \frac{\sin 1^\circ-\sin 1^\circ}{\cos 180^\circ} =\frac{0}{-1}= 0 \] Otrzymaliśmy liczbę \(0\), więc dane wyrażenie jest liczbą wymierną.

    II sposób:
    Można też tak: \[ \sin \alpha+\sin \beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \] Zatem: \[ \frac{\sin 539^\circ+\sin 541^\circ}{\cos 540^\circ} = \frac{2\sin 540^\circ\cos 1^\circ}{\cos 180^\circ} = \frac{0\cdot \cos 1^\circ}{-1} = 0 \]

  • Korzystamy ze wzoru na cosinus różnicy kątów: \[ \begin{split} \cos15^\circ&=\cos(45^\circ-30^\circ)=\\[6pt] &=\cos45^\circ\cos30^\circ+\sin45^\circ\sin30^\circ=\\[6pt] &=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} +\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\\[6pt] &=\frac{\sqrt{6}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4} =\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4} \end{split} \]
  • Mamy dane równanie: \[ \sin x+\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}} \] Podnosimy obie strony równania do kwadratu: \[ (\sin x+\cos x)^2=\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right)^2 \] Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \[ \sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=\frac{1}{5} \] Ponieważ \(\sin^2x+\cos^2x=1\), więc: \[ 1+2\sin x\cos x=\frac{1}{5} \] Korzystamy ze wzoru \(\sin2x=2\sin x\cos x\): \[ 1+\sin2x=\frac{1}{5} \] \[ \sin2x=\frac{1}{5}-1 \] \[ \boxed{\sin2x=-\frac{4}{5}} \]

    Uwaga! Gdyby chcieć rozwiązać równanie: \[ \sin x+\cos x=\frac{1}{\sqrt{5}} \] podnosząc je stronami do kwadratu, to w rezultacie otrzymalibyśmy również nadmiarowe rozwiązania dla przypadku: \[\sin x+\cos x=-\frac{1}{\sqrt{5}}\] które należałoby na końcu odrzucić.

Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4891Zadanie 4892
Zadanie 4893 (tu jesteś)
Zadanie 4894Zadanie 4895