Drukuj
Czy znasz twierdzenie Talesa i twierdzenie do niego odwrotne? Czy umiesz stosować podobieństwo trójkątów do zapisywania stosunków odcinków?
A może znasz nieobowiązkowe, ale przydatne twierdzenie Menelaosa, albo Twierdzenie o potędze punktu względem okręgu?
  • (łatwe) Czy umiesz udowodnić, że odcinek łączący środki ramion trapezu jest równoległy do podstaw, a jego długość jest średnią arytmetyczną długości podstaw?
  • (3 pkt) Z wierzchołka \(C\) trójkąta \(ABC\) poprowadzono środkową \(CD\). Przez punkt \(A\) i środek odcinka \(CD\) poprowadzono prostą \(AE\) (zobacz rysunek). Wykaż, że \(\frac{|CE|}{|EB|}=\frac{1}{2}\).
  • (3 pkt) Czworokąt \(ABCD\) jest wpisany w okrąg. Przekątne \(AC\) i \(BD\) przecinają się w punkcie \(P\). Udowodnij, że \[ |AP|\cdot|PC|=|BP|\cdot|PD| \]
  • Zobacz na rysunek: Z tw. odwrotnego do tw. Talesa dla kąta \(AOB\) można wykazać równoległość \(EF\) do \(DC\).

    Z zaznaczonych trójkątów przystających i podobieństwa trójkątów \(EFC\) i \(C'BC\) mamy: \(\frac{|EF|}{|EC|}=\frac{|C'B|}{2|EC|}\) co daje tezę.

  • I sposób (magiczny równoległobok):

    \(\Delta ADE' \sim \Delta ABE\) (cecha k-k-k, bo \(DE' \parallel BE\)): \[ \frac{a}{b}=\frac{x}{2x}=\frac{1}{2} \]

    II sposób (tw. Talesa): Niech: \(DD' \parallel AE\).
    Z Talesa dla \(DCD'\):
    \[ \frac{a}{y}=\frac{b}{y}\\[6pt] ay=by\\[6pt] a=b \] Z Talesa dla \(ABE\):

    \[ \frac{c}{x}=\frac{b}{x}\\[6pt] cx=bx\\[6pt] c=b \] Zatem: \[ \frac{|CE|}{|EB|}=\frac{a}{b+c}=\frac{a}{a+a}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2} \]

    III sposób (tw. Menelaosa): \(A,F,E\) – współliniowe, zatem z tw. Menelaosa mamy: \[ \frac{BA}{AD}\cdot\frac{DF}{FC}\cdot\frac{CE}{EB}=1 \] \[ \frac{2x}{x}\cdot\frac{y}{y}\cdot\frac{a}{b}=1\\[6pt] 2\cdot 1\cdot\frac{a}{b}=1\\[6pt] \frac{2a}{b}=1\\[6pt] \frac{a}{b}=\frac{1}{2} \]

  • Ten przykład to jest tak naprawdę twierdzenie o potędze punktu względem okręgu. Kąt \(ABD\) i \(ACD\) są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku, zatem: \[ |\angle ABD|=|\angle ACD| \] Ponadto kąty \(APD\) i \(CPB\) są tej samej miary, bo są kątami wierzchołkowymi.

    Zatem mamy: \(\Delta APD \sim \Delta CPB\) (cecha k-k-k) \[ \frac{a}{d}=\frac{c}{b}\\[6pt] a\cdot b=c\cdot d\ _{\blacksquare} \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4894Zadanie 4895
Zadanie 4896 (tu jesteś)
Zadanie 4897Zadanie 4898