Drukuj
Czy umiesz rozwiązywać
równania trygonometryczne?
- (łatwe) \(\sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\cos(2x)=0\)
- (3 pkt) \(\sin x+ \cos x = 1\)
- (4 pkt) \(\sin(10x)+\sin(4x)=\cos(3x)\)
- Korzystamy z postaci iloczynowej i zamieniamy na dwa prostsze równania: \[ \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)\cos(2x)=0 \] \[ \sin\left(2x+\frac{\pi}{4}\right)=0 \quad \lor \quad \cos(2x)=0 \] \[ 2x+\frac{\pi}{4}=k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \] \[ 2x=k\pi-\frac{\pi}{4} \quad \lor \quad 2x=\frac{\pi}{2}+k\pi \] \[ x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{8} \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2} \] \[ \boxed{x=\frac{k\pi}{2}-\frac{\pi}{8} \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2},\quad k\in\mathbb{Z}} \]
- Korzystamy ze wzoru redukcyjnego: \[ \cos x=\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right) \] oraz ze wzoru na sumę sinusów: \[ \sin \alpha+\sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \] Zatem: \[ \sin x+\cos x=1\\[6pt] \sin x+\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=1\\[6pt] 2\sin\left(\frac{x+\frac{\pi}{2}-x}{2}\right) \cos\left(\frac{x-\left(\frac{\pi}{2}-x\right)}{2}\right)=1\\[6pt] 2\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\\[6pt] 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\\[6pt] \sqrt{2}\cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=1\\[6pt] \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}\\[6pt] \cos\left(x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \] Stąd: \[ x-\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2k\pi \quad \lor \quad x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}\\[6pt] x=\frac{\pi}{2}+2k\pi \quad \lor \quad x=2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \] Uwaga! Rozwiązanie przez podnoszenie do kwadratu generuje nadmiarowe rozwiązania: \[ \sin x+\cos x=1\\[6pt] (\sin x+\cos x)^2=1^2\\[6pt] \sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1\\[6pt] 1+\sin 2x=1\\[6pt] \sin 2x=0\\[6pt] 2x=k\pi\\[6pt] x=\frac{k\pi}{2},\ k\in\mathbb{Z} \] W powyższym rozwiązaniu otrzymaliśmy nadmiarowe rozwiązania, które należałoby teraz odrzucić.
- Korzystamy ze wzoru na sumę sinusów: \[ \sin \alpha+\sin \beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \] Zatem: \[ \sin(10x)+\sin(4x)=\cos(3x)\\[6pt] 2\sin\left(\frac{10x+4x}{2}\right)\cos\left(\frac{10x-4x}{2}\right)=\cos(3x)\\[6pt] 2\sin(7x)\cos(3x)=\cos(3x)\\[6pt] 2\sin(7x)\cos(3x)-\cos(3x)=0\\[6pt] \cos(3x)\left(2\sin(7x)-1\right)=0 \] Stąd: \[ \cos(3x)=0 \quad \lor \quad 2\sin(7x)-1=0 \] \[ \cos(3x)=0 \quad \lor \quad \sin(7x)=\frac{1}{2} \] \[ 3x=\frac{\pi}{2}+k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad 7x=\frac{\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad 7x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \] \[ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{42}+\frac{2k\pi}{7},\ k\in\mathbb{Z} \quad \lor \quad x=\frac{5\pi}{42}+\frac{2k\pi}{7},\ k\in\mathbb{Z} \] \[ \boxed{ x=\frac{\pi}{6}+\frac{k\pi}{3} \quad \lor \quad x=\frac{\pi}{42}+\frac{2k\pi}{7} \quad \lor \quad x=\frac{5\pi}{42}+\frac{2k\pi}{7}, \quad k\in\mathbb{Z} } \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzonaSąsiednie zadania
Zadanie 4892Zadanie 4893Zadanie 4894 (tu jesteś)
Zadanie 4895Zadanie 4896