Drukuj
Czy znasz własności trójkątów i czworokątów również wpisanych i opisanych na okręgu? W tym także przydatne twierdzenie Ptolemeusza?
  • (łatwe) Oblicz długość promienia okręgu opisanego oraz wpisanego w trójkąt równoboczny o boku \(a\).
  • (łatwe) Jaka jest długość promienia okręgu opisanego na trójkącie o bokach \(3\), \(4\), \(5\)?
  • (łatwe) W trapezie \(ABCD\), w którym \(AB \parallel CD\), przekątna \(AC\) jest dwusieczną kąta \(DAB\). Wykaż, że trójkąt \(ACD\) jest równoramienny.
  • (2 pkt) Czworokąt \(ABCD\) jest opisany na okręgu. Wiadomo, że: \(|AB|=2|BC|\) oraz \(|CD|=3|BC|\). Wykaż, że \(|AD|=4|BC|\).
  • (3 pkt) Punkt \(D\) leży na krótszym łuku \(AB\) okręgu opisanego na trójkącie równobocznym \(ABC\). Wykaż, że \(|CD|=|AD|+|BD|\).
  • W trójkącie równobocznym środek okręgu opisanego i środek okręgu wpisanego leżą na wysokości. Punkt przecięcia środkowych dzieli wysokość w stosunku \(2:1\) licząc od wierzchołka.

    Wysokość trójkąta równobocznego o boku \(a\) jest równa: \[ h=\frac{a\sqrt{3}}{2} \] Promień okręgu opisanego stanowi \(\frac{2}{3}\) wysokości, więc: \[ R=\frac{2}{3}h\\[6pt] R=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\\[6pt] R=\frac{a\sqrt{3}}{3} \] Promień okręgu wpisanego stanowi \(\frac{1}{3}\) wysokości, więc: \[ r=\frac{1}{3}h\\[6pt] r=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}\\[6pt] r=\frac{a\sqrt{3}}{6} \]
  • Trójkąt o bokach \(3\), \(4\), \(5\) jest prostokątny, a wtedy przeciwprostokątna jest średnicą okręgu opisanego, zatem: \[R=\frac{1}{2}\cdot 5=\frac{5}{2}\]
  • Ponieważ \(AC\) jest dwusieczną kąta \(DAB\), więc: \[ |\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle CAB| \] Ponieważ \(AB \parallel CD\), to kąty \(CAB\) i \(ACD\) są kątami naprzemianległymi, zatem: \[ |\sphericalangle CAB|=|\sphericalangle ACD| \] Stąd otrzymujemy: \[ |\sphericalangle DAC|=|\sphericalangle ACD| \]
  • W czworokącie opisanym na okręgu suma długości boków przeciwległych jest taka sama, więc: \[ |AB|+|CD|=|BC|+|AD|\\[6pt] 2|BC|+3|BC|=|BC|+|AD|\\[6pt] 5|BC|=|BC|+|AD|\\[6pt] |AD|=4|BC| \]
  • Wprowadźmy oznaczenia: Z twierdzenia Ptolemeusza dla \(ADBC\): \[ |CD|\cdot|AB|=|AD|\cdot|BC|+|BD|\cdot|AC|\\[6pt] x\cdot a=y\cdot a+z\cdot a\\[6pt] x=y+z \] II sposób (z tw. sinusów):

    Niech \(R\) oznacza promień okręgu opisanego na czworokącie \(ACBD\), \(\alpha=|\sphericalangle ACD|\) oraz \(\beta=|\sphericalangle BCD|\).

    Ponieważ trójkąt \(ABC\) jest równoboczny, mamy: \[ \alpha+\beta=60^\circ \] Ponadto kąty \(BCD\) i \(BAD\) są wpisane i oparte na tym samym łuku \(BD\), więc: \[ |\sphericalangle BAD|=\beta \] Stąd: \[ |\sphericalangle CAD|=60^\circ+\beta \] Z twierdzenia sinusów dla trójkątów \(ACD\), \(BCD\) i \(ACD\) mamy: \[ |AD|=2R\sin\alpha,\quad |BD|=2R\sin\beta,\quad |CD|=2R\sin(60^\circ+\beta) \] Zatem: \[ |AD|+|BD|=2R\sin\alpha+2R\sin\beta\\[6pt] |AD|+|BD|=2R\big(\sin(60^\circ-\beta)+\sin\beta\big)\\[6pt] |AD|+|BD|=2R\sin(60^\circ+\beta)\\[6pt] |AD|+|BD|=|CD| \] Co należało wykazać.
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4895Zadanie 4896
Zadanie 4897 (tu jesteś)
Zadanie 4898Zadanie 4899