Drukuj
Czy umiesz obliczać granice ciągów?
  • (łatwe) \(\lim_{n \to \infty} \frac{5-n^2}{10n+7}\)
  • (łatwe) \(\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2}+n}{7n-2}\)
  • (łatwe) \(\lim_{n \to \infty} \frac{4n+n^3}{n^4}\)
  • (2 pkt) \(\lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)(3n-7)}{n(5n+9)}\)
  • (2 pkt) \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3\cdot 5^n}\)
  • (2 pkt) \(\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 4^n}\)
  • (2 pkt) \(\lim_{n \to \infty} (\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3})\)
  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{5-n^2}{10n+7} = \lim_{n \to \infty} \frac{n\left(\frac{5}{n}-n\right)}{n\left(10+\frac{7}{n}\right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{5}{n}-n}{10+\frac{7}{n}} = -\infty \)
  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2}+n}{7n-2} = \lim_{n \to \infty} \frac{n\left(\frac{\sqrt{2}}{n}+1\right)}{n\left(7-\frac{2}{n}\right)} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{2}}{n}+1}{7-\frac{2}{n}} = \frac{1}{7} \)
  • \( \lim_{n \to \infty} \frac{4n+n^3}{n^4} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^3\left(\frac{4}{n^2}+1\right)}{n^3\cdot n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{4}{n^2}+1}{n} = 0 \)
  • Wymnażamy wyrażenia: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+1)(3n-7)}{n(5n+9)} = \lim_{n \to \infty} \frac{6n^2-11n-7}{5n^2+9n} \] Wyciągamy \(n^2\) przed nawias w liczniku i mianowniku: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{n^2\left(6-\frac{11}{n}-\frac{7}{n^2}\right)}{n^2\left(5+\frac{9}{n}\right)} \] Skracamy przez \(n^2\): \[ \lim_{n \to \infty} \frac{6-\frac{11}{n}-\frac{7}{n^2}}{5+\frac{9}{n}}=\frac{6}{5} \]
  • \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3\cdot 5^n}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3}\cdot \sqrt[n]{5^n}= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3} \cdot 5 = 5 \)
  • Można zrobić tak:

    \( \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n + 4^n} \) \(= \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{4^n\left(\left(\frac{3}{4}\right)^n+1\right)} \) \(= \lim_{n \to \infty} 4\sqrt[n]{\left(\frac{3}{4}\right)^n+1} = 4 \)

    Albo z tw. o trzech ciągach - dla każdego \(n\in\mathbb{N}\) mamy:

    \[ \sqrt[n]{4^n} \le \sqrt[n]{3^n+4^n} \le \sqrt[n]{2\cdot 4^n} \] czyli \[ 4 \le \sqrt[n]{3^n+4^n} \le 4\sqrt[n]{2} \] Ponieważ \[ \lim_{n\to\infty}4=4 \qquad \text{oraz} \qquad \lim_{n\to\infty}4\sqrt[n]{2}=4, \] więc z twierdzenia o trzech ciągach otrzymujemy: \[ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{3^n+4^n}=4 \]
  • Tutaj mamy wyrażenie nieoznaczone: \[\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3}\right)=[\infty -\infty ]\] Pozbędziemy się go rozszerzając wyrażenie do ułamka z mianownikiem \(1\) i mnożąc licznik i mianownik przez to samo wyrażenie tylko z plusem, a następnie w liczniku skorzystamy ze wzoru skróconego mnożenia: \[(a-b)(a+b)=a^2-b^2\] Zatem:

    \(\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3}\right) \) \(=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3}}{1}\right) \) \(=\lim_{n \to \infty} \left(\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n+3})\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3})}{1\cdot (\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3})}\right) \) \(=\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)-(n+3)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3}} \) \(=\lim_{n \to \infty} \frac{-2}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+3}} =0 \)

Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4890Zadanie 4891
Zadanie 4892 (tu jesteś)
Zadanie 4893Zadanie 4894