Drukuj
Czy wiesz co to jest szereg geometryczny i kiedy istnieje jego suma?
  • (łatwe) Ile wynosi suma wszystkich wyrazów ciągu geometrycznego o pierwszym wyrazie równym \(10\) i ilorazie \(q=\frac{1}{2}\)
  • (3 pkt) Wyznacz wszystkie wartości \(x\) dla których poniższy szereg jest zbieżny: \[ 1+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots \]
  • Iloraz \(q\) spełnia warunek: \(|q|\lt 1\) zatem możemy skorzystać ze wzoru na sumę szeregu: \[ S=\frac{a_1}{1-q} \] Czyli \[ S=\frac{10}{1-\frac{1}{2}} =\frac{10}{\frac{1}{2}} =20 \]
  • Szereg ma postać: \[ 1+\frac{1}{x-3}+\frac{1}{(x-3)^2}+\frac{1}{(x-3)^3}+\ldots \] Wyrażenie w mianowniku nie może się zerować, zatem: \[x\ne 3\] Jest to szereg geometryczny o ilorazie: \[ q=\frac{1}{x-3} \] Szereg geometryczny jest zbieżny wtedy, gdy: \[ |q|\lt 1 \] Podstawiamy iloraz dla \(x\ne 3\): \[ \left|\frac{1}{x-3}\right|\lt 1 \] Stąd: \[ |x-3|\gt 1 \] Czyli: \[ x-3\gt 1 \quad \text{lub} \quad x-3\lt -1 \] \[ x\gt 4 \quad \text{lub} \quad x\lt 2 \] Pamiętamy, że \(x\ne 3\), choć tu nie wpływa to na rozwiązanie i ostatecznie otrzymujemy: \[ x\in(-\infty,2)\cup(4,\infty) \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4889Zadanie 4890
Zadanie 4891 (tu jesteś)
Zadanie 4892Zadanie 4893