Drukuj
Czy umiesz rozwiązywać zadania łączące ciąg arytmetyczny i geometryczny?
  • (4 pkt) Liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny o sumie wyrazów równej \(4\). Liczby \((-a, 2b, 3c)\) tworzą ciąg geometryczny. Oblicz iloczyn \(a\cdot c\), a następnie wyznacz ciąg \((a,b,c)\).
  • Zapisz trzy równania wynikające z treści zadania: \[ \begin{cases} a+b+c=4,\\ a+c=2b,\\ (2b)^2=(-a)\cdot 3c. \end{cases} \] Z pierwszych dwóch łatwo wyliczysz, że: \[b=\frac{4}{3}\]

    Teraz z trzeciego równania wyznaczysz iloczyn \(ac\).

    A potem układasz układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi \(a\) i \(c\) i wyznaczysz ciąg \((a, b, c)\).
  • Skoro liczby \((a,b,c)\) tworzą ciąg arytmetyczny, to: \[ a+c=2b \] Dodatkowo z treści zadania: \[ a+b+c=4 \] Podstawiamy \(a+c=2b\): \[ 2b+b=4\\[6pt] 3b=4\\[6pt] b=\frac{4}{3} \] Zatem: \[ a+c=2b=\frac{8}{3} \] Skoro liczby \((-a,2b,3c)\) tworzą ciąg geometryczny, to: \[ (2b)^2=(-a)\cdot 3c \] \[ 4b^2=-3ac \] Podstawiamy \(b=\frac{4}{3}\): \[ 4\cdot\left(\frac{4}{3}\right)^2=-3ac\\[6pt] \frac{64}{9}=-3ac\\[6pt] ac=-\frac{64}{27} \] Zatem mamy wyliczony iloczyn: \[\boxed{ac=-\frac{64}{27}}\] Teraz możemy ułożyć układ równań: \[ \begin{cases} a+c=\frac{8}{3}\\[6pt] ac=-\frac{64}{27} \end{cases} \] Z pierwszego równania: \[ c=\frac{8}{3}-a \] Podstawiamy do drugiego równania: \[ a\left(\frac{8}{3}-a\right)=-\frac{64}{27}\\[6pt] \frac{8}{3}a-a^2=-\frac{64}{27}\\[6pt] -a^2+\frac{8}{3}a+\frac{64}{27}=0\\[6pt] a^2-\frac{8}{3}a-\frac{64}{27}=0 \] Liczymy deltę: \[ \Delta=\left(-\frac{8}{3}\right)^2-4\cdot 1\cdot\left(-\frac{64}{27}\right)=\frac{64}{9}+\frac{256}{27}=\frac{448}{27} \] Stąd: \[ a=\frac{\frac{8}{3}-\sqrt{\frac{448}{27}}}{2} \quad \lor \quad a=\frac{\frac{8}{3}+\sqrt{\frac{448}{27}}}{2} \] \[ a=\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{21}}{9} \quad \lor \quad a=\frac{4}{3}+\frac{4\sqrt{21}}{9} \] Dla każdego przypadku obliczamy \(c\): \[ \begin{cases} a=\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{21}}{9}\\[6pt] c=\frac{8}{3}-a=\frac{8}{3}-\left(\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{21}}{9}\right)=\frac{4}{3}+\frac{4\sqrt{21}}{9} \end{cases} \quad \lor \quad \begin{cases} a=\frac{4}{3}+\frac{4\sqrt{21}}{9}\\[6pt] c=\frac{8}{3}-a=\frac{8}{3}-\left(\frac{4}{3}+\frac{4\sqrt{21}}{9}\right)=\frac{4}{3}-\frac{4\sqrt{21}}{9} \end{cases} \] Ponieważ \(b=\frac{4}{3}\), ostatecznie mamy: \[ \boxed{(a,b,c)=\left(\frac{12-4\sqrt{21}}{9},\frac{4}{3},\frac{12+4\sqrt{21}}{9}\right)} \] lub \[ \boxed{(a,b,c)=\left(\frac{12+4\sqrt{21}}{9},\frac{4}{3},\frac{12-4\sqrt{21}}{9}\right)} \] oraz wyliczone wcześniej: \[\boxed{ac=-\frac{64}{27}}\]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4888Zadanie 4889
Zadanie 4890 (tu jesteś)
Zadanie 4891Zadanie 4892