Drukuj
Czy znasz i umiesz stosować wzory Viete'a do rozwiązywania równań kwadratowych z parametrem?
  • (łatwe) Wypisz warunki na parametr \(m\) dla których równanie \((m^2-1)x^2+2mx-1\) ma dwa rozwiązania przeciwnych znaków.
  • (średnie) Wypisz warunki na parametry \(a,b,c\) dla których funkcja \(f(x)=ax^2+bx+c\) na dwa różne rozwiązania dodatnie mniejsze od \(5\).
  • (łatwe) Jak zapisać za pomocą wzorów Viete'a wyrażenie: \(\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}\)?
  • Równanie: \((m^2-1)x^2+2mx-1\)

    Warunek 1. Równanie musi być kwadratowe, zatem \(m^2-1\ne 0\)

    Warunek 2. Mają być dwa rozwiązania, więc \(\Delta \gt 0\), czyli: \(4(2m^2-1)\gt0\).

    Warunek 3. Rozwiązania mają być przeciwnych znaków, czyli: \[x_1\cdot x_2 \lt 0\] \[\frac{c}{a}\lt 0\] \[\frac{-1}{m^2-1} \lt 0\]

    Uwaga dla zaawansowanych: Warunek 3 poniekąd wymusza warunek 2, ponieważ jeżeli \(c\cdot a \lt 0\), to delta na pewno jest dodatnia. Umiesz to wykazać? Zauważając to można ograniczyć rozwiązanie jedynie do warunku nr 1 i 3 (warunek 2. nie jest konieczny).

  • Funkcja \(f(x)=ax^2+bx+c\).

    Warunek 1. Funkcja musi być kwadratowa, więc: \(a\neq 0\).

    Warunek 2. Delta musi być dodatnia, więc: \(b^2-4ac \gt 0\).

    Warunek 3. Oba pierwiastki są dodatnie, zatem: \[ x_1+x_2\gt 0 \quad \land \quad x_1x_2\gt 0 \] Czyli z Viete'a: \[ -\frac{b}{a}\gt 0 \quad \land \quad \frac{c}{a}\gt 0 \]

    Warunek 4. Oba pierwiastki są mniejsze od \(5\), czyli: \[ x_1\lt 5 \quad \land \quad x_2\lt 5 \] Równoważnie: \[ 5-x_1\gt 0 \quad \land \quad 5-x_2\gt 0 \] Stąd: \[ (5-x_1)+(5-x_2)\gt 0 \quad \land \quad (5-x_1)(5-x_2)\gt 0 \] Pierwszy warunek daje: \[ \begin{split} (5-x_1)+(5-x_2)&\gt 0\\[6pt] 10-(x_1+x_2)&\gt 0\\[6pt] 10-\left(-\frac{b}{a}\right)&\gt 0\\[6pt] 10+\frac{b}{a}&\gt 0\\[6pt] \frac{b}{a}&\gt -10 \end{split} \] Drugi warunek daje: \[ \begin{split} (5-x_1)(5-x_2)&\gt 0\\[6pt] 25-5(x_1+x_2)+x_1x_2&\gt 0\\[6pt] 25-5\left(-\frac{b}{a}\right)+\frac{c}{a}&\gt 0\\[6pt] 25+5\frac{b}{a}+\frac{c}{a}&\gt 0\\[6pt] \frac{25a+5b+c}{a}&\gt 0 \end{split} \]

  • Przekształcamy wyrażenie: \[ \frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_2^2+x_1^2}{x_1^2x_2^2} =\frac{(x_1+x_2)^2-2x_1x_2}{(x_1x_2)^2} \] I stosujemy Viete'a: \[ \frac{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-2\cdot\frac{c}{a}}{\left(\frac{c}{a}\right)^2} =\frac{\frac{b^2}{a^2}-\frac{2c}{a}}{\frac{c^2}{a^2}} =\frac{b^2-2ac}{c^2}. \] Zatem: \[\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{b^2-2ac}{c^2}\] Zakładamy oczywiście, że \(x_1x_2\neq 0\), czyli \(c\neq 0\).
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4884Zadanie 4885
Zadanie 4886 (tu jesteś)
Zadanie 4887Zadanie 4888