Drukuj
Czy umiesz rozwiązywać
równania dwukwadratowe oraz
nierówności wielomianowe i wymierne?
- (2 pkt) Rozwiąż równanie: \(x^4-3x^2-4=0\)
- (2 pkt) Rozwiąż nierówność \((x+3)^2(x+1)(x-1)^2\gt 0\)
- (3 pkt) Rozwiąż nierówność \(\frac{(x+3)^2(x+1)(x-1)^2}{x^3(x+2)^2}\le 0\)
- Zastosuj podstawienie \(t=x^2\).
- Narysuj wykres wielomianu \(w(x)=(x+3)^2(x+1)(x-1)^2\) i odczytaj gdzie jest większy od zera.
- Pomnóż nierówność przez kwadrat mianownika.
- Wykonaj podstawienie \(t=x^2\), a następnie otrzymasz równanie kwadratowe: \[t^2-3t-4=0\] Z niego otrzymasz: \[t=-1 \quad \lor \quad t=4\] Następnie wracasz do oryginalnych zmiennych: \[x^2=-1 \quad \lor \quad x^2=4\] Pierwsze równanie jest sprzeczne (możesz też wcześniej napisać założenie: \(t\ge 0\)), zatem mamy tylko: \[x=2 \quad \lor \quad x=-2\]
- Narysuj wykres wielomianu:
Zatem rozwiązaniem nierówności \((x+3)^2(x+1)(x-1)^2\gt 0\) jest: \[x\in (-1 ,+\infty)\backslash \{1\}\] - Pomnóż nierówność stronami przez kwadrat mianownika, aby doprowadzić do postaci iloczynowej: \[(x+3)^2(x+1)(x-1)^2 x^3(x+2)^2\le 0\] Należy tylko zrobić założenia, że: \[x\ne -2 \ \ \text{oraz}\ \ x\ne 0\] aby nie było mnożenia przez zero (taka też jest dziedzina tego wyrażenia wymiernego). Następnie narysuj wykres wielomianu:
Zatem rozwiązaniem nierówności \((x+3)^2(x+1)(x-1)^2 x^3(x+2)^2\le 0\) jest: \[x\in [-1 ,0) \cup \{-3,1\}\] Pamiętajmy, że wyrzucamy z rozwiązania argumenty zerujące mianownik początkowej nierówności, czyli \(-2\) oraz \(0\).
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzonaSąsiednie zadania
Zadanie 4881Zadanie 4882Zadanie 4883 (tu jesteś)
Zadanie 4884Zadanie 4885