Drukuj
Czy umiesz rozwiązywać równania i nierówności z wartością bezwzględną?
  • (2 pkt) Rozwiąż równanie: \(\left||x-2|-3\right|=3\)
  • (2 pkt) Rozwiąż równanie: \(\left||2x+1|-7\right|+1=0\)
  • (3 pkt) Rozwiąż równanie: \(|x+1|+|x-3|=1-3x\)
  • (3 pkt) Rozwiąż nierówność \(\sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\le 1-3x\)
  • Ile może być równa liczba pod zewnętrzną wartością bezwzględną?
  • Przenieś liczbę \(1\) na prawą stronę. Co to za równanie?
  • Znajdź miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. Te dwa miejsca zerowe wyznaczają trzy przedziały w których należy rozpatrzeć równanie.
  • Skorzystaj ze wzorów skróconego mnożenia do wyrażeń pod pierwiastkami, aby zwinąć je w kwadraty.
  • Aby równanie \(\left||x-2|-3\right|=3\) było spełnione, to pod zewnętrzną wartością bezwzględną musi stać \(3\) lub \((-3)\), zatem mamy: \[\begin{split} |x-2|-3 = 3 \quad &\lor \quad |x-2|-3=-3\\[6pt] |x-2| = 6 \quad &\lor \quad |x-2|=0\\[6pt] x-2 = 6 \quad \lor\quad x-2=-6 \quad &\lor \quad x-2=0\\[6pt] x = 8 \lor x=-4 \quad &\lor \quad x=2 \end{split}\]
  • Przenieśmy \(1\) na prawą stronę: \[\left||2x+1|-7\right|=-1\] i otrzymaliśmy równanie sprzeczne. Wiesz dlaczego?
  • Mamy równanie: \(|x+1|+|x-3|=1-3x\).
    Znajdź miejsca zerowe wyrażeń pod wartościami bezwzględnymi. Są nimi: \(x=-1\) oraz \(x=3\). Te dwa miejsca zerowe wyznaczają trzy przedziały w których należy rozpatrzeć równanie:

    Przypadek I dla \(x\lt-1\): \[ \begin{split} -(x+1)-(x-3)&=1-3x\\[6pt] -x-1-x+3&=1-3x\\[6pt] -2x+2&=1-3x\\[6pt] x&=-1 \end{split} \] Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, ale nie należy do rozpatrywanego przedziału: \(x\lt-1\). Czyli mamy brak rozwiązań z tego przypadku.

    Przypadek II dla \(-1\le x\lt 3\): \[ \begin{split} (x+1)-(x-3)&=1-3x\\[6pt] x+1-x+3&=1-3x\\[6pt] 4&=1-3x\\[6pt] 3&=-3x\\[6pt] x&=-1 \end{split} \] Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie i należy ono do rozpatrywanego przedziału: \(-1\le x\lt 3\).

    Przypadek III dla \(x\ge 3\): \[ \begin{split} (x+1)+(x-3)&=1-3x\\[6pt] x+1+x-3&=1-3x\\[6pt] 2x-2&=1-3x\\[6pt] 5x&=3\\[6pt] x&=\frac35 \end{split} \] Otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, ale nie należy do rozpatrywanego przedziału: \(x\ge 3\). Czyli mamy brak rozwiązań z tego przypadku.

    Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest:

    \[ \boxed{x=-1} \]
  • To równanie jest takie samo jak w podpunkcie c). Ze wzorów skróconego mnożenia mamy: \[ \begin{split} \sqrt{x^2+2x+1}+\sqrt{x^2-6x+9}\le 1-3x\\[6pt] \sqrt{(x+1)^2}+\sqrt{(x-3)^2}\le 1-3x\\[6pt] |x+1|+|x-3|\le1-3x \end{split} \] Dalej rozwiązujemy tak samo jak w c):

    Przypadek I dla \(x\lt-1\): \[ \begin{split} -(x+1)-(x-3)&\le 1-3x\\[6pt] -x-1-x+3&\le 1-3x\\[6pt] -2x+2&\le 1-3x\\[6pt] x+2&\le 1\\[6pt] x&\le -1 \end{split} \] Otrzymaliśmy rozwiązania \(x\le -1\). Po uwzględnieniu rozpatrywanego przedziału \(x\lt-1\), dostajemy: \[ x\lt-1 \]

    Przypadek II dla \(-1\le x\lt 3\): \[ \begin{split} (x+1)-(x-3)&\le 1-3x\\[6pt] x+1-x+3&\le 1-3x\\[6pt] 4&\le 1-3x\\[6pt] 3&\le -3x\\[6pt] x&\le -1 \end{split} \] Otrzymaliśmy rozwiązania \(x\le -1\). Po uwzględnieniu rozpatrywanego przedziału \(-1\le x\lt 3\), dostajemy: \[ x=-1 \]

    Przypadek III dla \(x\ge 3\): \[ \begin{split} (x+1)+(x-3)&\le 1-3x\\[6pt] x+1+x-3&\le 1-3x\\[6pt] 2x-2&\le 1-3x\\[6pt] 5x&\le 3\\[6pt] x&\le \frac35 \end{split} \] Otrzymaliśmy rozwiązania \(x\le \frac35\). Po uwzględnieniu rozpatrywanego przedziału \(x\ge 3\), mamy brak rozwiązań z tego przypadku.

    Zatem rozwiązaniem nierówności jest: \[ \boxed{x\in(-\infty,-1]} \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4880Zadanie 4881
Zadanie 4882 (tu jesteś)
Zadanie 4883Zadanie 4884