Drukuj
Czy umiesz stosować wzory skróconego mnożenia w zadaniach dowodowych?
  • (2 pkt) Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) takich, że \(x^2+y^2=2\), prawdziwa jest nierówność \(x+y\le 2\).
  • (3 pkt) Wykaż, że prawdziwa jest nierówność \(\sqrt{3^{20}+1}+\sqrt{3^{20}-1}\lt 2\cdot 3^{10}.\)
  • (2 pkt) Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych \(x\) i \(y\) prawdziwa jest nierówność \(x+y\ge 2\sqrt{xy}\) (nierówność między średnimi)
  • (3 pkt) Wykaż, że liczba \(\sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}}\) jest całkowita.
  • Przekształć najpierw tezę do tezy równoważnej podnosząc nierówność stronami do kwadratu. Wiesz dlaczego można tak zrobić?
    Następnie do tezy w nowej postaci zastosuj założenie, tyko w taki sposób, aby kwadraty nie zniknęły, aby móc je ostatecznie zwinąć wzorem skróconego mnożenia w kwadrat różnicy.
  • Podnieś obie strony nierówność do kwadratu (czy wiesz dlaczego można tak zrobić?) i uporządkuj, a następnie powtórz proces.
  • Podobnie jak poprzednio można podnieść nierówność stronami do kwadratu (dlatego bo obie strony są dodatnie). A następnie przenosimy wszystko na jedną stronę i z kwadratu sumy robimy kwadrat różnicy.
  • Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia, zapisz liczby pod pierwiastkami w postaci kwadratów, co uprości wyrażenie.
  • Ponieważ \(x\gt 0\) oraz \(y\gt 0\), to obie strony nierówności \(x+y\le 2\) są dodatnie, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu. \[ x+y\le 2\\[6pt] (x+y)^2\le 4 \] Korzystamy z założenia \(x^2+y^2=2\), ale zapisujemy \(4\) w postaci \(2(x^2+y^2)\): \[ (x+y)^2\le 2(x^2+y^2)\\[6pt] x^2+2xy+y^2\le 2x^2+2y^2\\[6pt] 0\le x^2-2xy+y^2\\[6pt] 0\le (x-y)^2 \] Ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa, co kończy dowód.
  • Ponieważ obie strony nierówności są dodatnie, możemy podnieść ją stronami do kwadratu: \[ \sqrt{3^{20}+1}+\sqrt{3^{20}-1}\lt 2\cdot 3^{10}\\[6pt] \left(\sqrt{3^{20}+1}+\sqrt{3^{20}-1}\right)^2\lt \left(2\cdot 3^{10}\right)^2\\[6pt] 3^{20}+1+2\sqrt{(3^{20}+1)(3^{20}-1)}+3^{20}-1\lt 4\cdot 3^{20}\\[6pt] 2\cdot 3^{20}+2\sqrt{3^{40}-1}\lt 4\cdot 3^{20}\\[6pt] 2\sqrt{3^{40}-1}\lt 2\cdot 3^{20}\\[6pt] \sqrt{3^{40}-1}\lt 3^{20} \] Ponownie obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu: \[ 3^{40}-1\lt 3^{40} \] Ostatnia nierówność jest prawdziwa, więc wyjściowa nierówność również jest prawdziwa.
  • Ponieważ \(x\gt 0\) oraz \(y\gt 0\), to obie strony nierówności są dodatnie, więc możemy podnieść ją stronami do kwadratu: \[ x+y\ge 2\sqrt{xy}\\[6pt] (x+y)^2\ge 4xy\\[6pt] x^2+2xy+y^2\ge 4xy\\[6pt] x^2-2xy+y^2\ge 0\\[6pt] (x-y)^2\ge 0 \] Ostatnia nierówność jest zawsze prawdziwa, więc to kończy dowód.
  • Zapisujemy liczby pod pierwiastkami w postaci kwadratów: \[ 11-6\sqrt{2}=9-2\cdot 3\cdot \sqrt{2}+2=(3-\sqrt{2})^2\\[6pt] 3+2\sqrt{2}=1+2\cdot 1\cdot \sqrt{2}+2=(1+\sqrt{2})^2 \] Ponieważ \(3-\sqrt{2}\gt 0\) oraz \(1+\sqrt{2}\gt 0\), więc: \[ \sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{3+2\sqrt{2}} = \sqrt{(3-\sqrt{2})^2}+\sqrt{(1+\sqrt{2})^2}=\\[6pt] = 3-\sqrt{2}+1+\sqrt{2}=4 \] Otrzymana liczba jest całkowita.
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4879Zadanie 4880
Zadanie 4881 (tu jesteś)
Zadanie 4882Zadanie 4883