Drukuj
Czy umiesz obliczać
symbol Newtona i stosować
wzór dwumianowy Newtona?
- (łatwe) Oblicz \(\binom{100}{98}\).
- (3 pkt) Dla \(n\in \mathbb{N} \) i \(n\ge 3\) oblicz \(\binom{2n}{3}\) wiedząc, że \(\binom{n-1}{n-3}=4(n-2)\). Czy wiesz dlaczego jest to założenie, że \(n\ge 3\)?
- (3 pkt) Wykaż, że liczba \(101^{2026}\) przy dzieleniu przez \(100\) daje resztę \(1\).
- \(\binom{100}{98}=\frac{100!}{2!\cdot 98!}=\frac{99\cdot 100}{2}=4950\).
- Założenie \(n\ge 3\) mamy dlatego, ponieważ w symbolu Newtona \(\binom{a}{b} \) musi być: \(a,b\ge 0\) oraz \(a,b\in \mathbb{N} \) oraz \(a\ge b\).
Zapisujemy symbol Newtona po lewej stronie za pomocą ułamka: \[\binom{n-1}{n-3}=4(n-2)\] \[\frac{(n-1)(n-2)}{2!}=4(n-2)\] Ponieważ \(n\ge 3\), więc \(n-2\neq 0\). Możemy podzielić równanie przez \(n-2\): \[ \frac{n-1}{2}=4\\[6pt] n-1=8\\[6pt] n=9 \] Obliczamy szukaną wartość: \[\binom{2n}{3}=\binom{18}{3}=\frac{18\cdot 17\cdot 16}{3\cdot 2\cdot 1}=816\] - Zapisujemy liczbę \(101\) w postaci \(100+1\): \[ 101^{2026}=(100+1)^{2026} \] Korzystamy ze wzoru dwumianowego Newtona: \[ (100+1)^{2026} = 100^{2026} +\binom{2026}{1}100^{2025} +\binom{2026}{2}100^{2024} +\ldots +\binom{2026}{2025}100 +1 \] Z wyrazów zawierających czynnik \(100\) wyciągamy \(100\) przed nawias: \[ 101^{2026} = 100\left( 100^{2025} +\binom{2026}{1}100^{2024} +\binom{2026}{2}100^{2023} +\ldots +\binom{2026}{2025} \right)+1 \] Wyrażenie w nawiasie jest liczbą całkowitą, więc możemy oznaczyć je przez \(k\), gdzie \(k\in\mathbb{Z}\). Zatem: \[ 101^{2026}=100k+1 \] To oznacza, że liczba \(101^{2026}\) przy dzieleniu przez \(100\) daje resztę \(1\).
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzonaSąsiednie zadania
Zadanie 4878Zadanie 4879Zadanie 4880 (tu jesteś)
Zadanie 4881Zadanie 4882