Drukuj
Czy umiesz analizować
funkcję wykładniczą w zagadnieniach praktycznych?
- (łatwe) Wiedząc, że funkcja \(N(t)=a\cdot k^t\) przyjmuje dla \(t=0\) wartość \(5\), a dla \(t=3\) wartość \(10\), oblicz \(N(6)\).
- (łatwe) Pewna wielkość rośnie w stałym tempie \(20\%\) na jednostkę czasu. Wiedząc, że początkowo miała wartość \(50\), oblicz jej wartość po \(5\) jednostkach czasu.
- (łatwe) Pewna substancja co \(4\) godziny zmniejsza swoją masę o połowę. Wiedząc, że początkowo było jej \(80\text{ g}\), oblicz masę tej substancji po \(36\) godzinach.
- (łatwe) Rozwiąż nierówność \(9\cdot 3^{\frac{t}{2}}\gt 1\).
- Skorzystaj z tego, że \(N(0)=5\), aby wyznaczyć \(a\). Następnie skorzystaj z warunku \(N(3)=10\), aby wyznaczyć \(k\). Mając wzór funkcji możesz już obliczyć \(N(6)\).
- Wzrost o \(20\%\) oznacza mnożenie przez \(1{,}2\). Zapisz funkcję wykładniczą: \(f(t)=50\cdot (1,2)^{t}\) i oblicz jej wartość dla \(t=5\).
- Zmniejszenie o połowę oznacza mnożenie przez \(\frac{1}{2}\) po każdych \(4\) godzinach. Zatem jeżeli oznaczymy przez \(t\) czas wyrażony w godzinach, to mamy zależność: \(f(t)=80\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}}\). Teraz możesz obliczyć \(f(36)\).
- Zapisz \(9\) w postaci potęgi o podstawie \(3\), a następnie wymnóż potęgi o tej samej podstawie. Następnie porównaj wykładniki.
- Mamy dany wzór: \[ N(t)=a\cdot k^t \] Korzystamy z warunku \(N(0)=5\): \[ a\cdot k^0=5\\[6pt] a=5 \] Zatem: \[ N(t)=5\cdot k^t \] Korzystamy z warunku \(N(3)=10\): \[ 5\cdot k^3=10\\[6pt] k^3=2 \] Obliczamy \(N(6)\): \[ N(6)=5\cdot k^6=5\cdot \left(k^3\right)^2=5\cdot 2^2=20 \]
- Wzrost o \(20\%\) oznacza mnożenie przez \(1{,}2\), więc: \[ f(t)=50\cdot (1{,}2)^t \] Obliczamy wartość po \(5\) jednostkach czasu: \[ f(5)=50\cdot (1{,}2)^5=124{,}42 \]
- Skoro masa zmniejsza się o połowę co \(4\) godziny, to: \[ f(t)=80\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{4}} \] Obliczamy masę po \(36\) godzinach: \[ f(36)=80\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{36}{4}}=80\cdot \left(\frac{1}{2}\right)^9=80\cdot \frac{1}{512}=\frac{5}{32} \]
- Mamy nierówność: \[ 9\cdot 3^{\frac{t}{2}}\gt 1 \] Zapisujemy \(9\) jako potęgę liczby \(3\): \[ 3^2\cdot 3^{\frac{t}{2}}\gt 3^0 \] Mnożymy potęgi o tej samej podstawie: \[ 3^{2+\frac{t}{2}}\gt 3^0 \] Ponieważ funkcja wykładnicza o podstawie \(3\) jest rosnąca, porównujemy wykładniki: \[ 2+\frac{t}{2}\gt 0\\[6pt] \frac{t}{2}\gt -2\\[6pt] t\gt -4 \] Równoważnie można było zlogarytmować nierówność stronami przez \(\log_3\). Pamiętaj, że jak logarytmujesz nierówność stronami przez logarytm o podstawie z przedziału \((0, 1)\), to znak nierówności zmienia się na przeciwny.
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzonaSąsiednie zadania
Zadanie 4876Zadanie 4878Zadanie 4879 (tu jesteś)
Zadanie 4880Zadanie 4881