Drukuj
Czy umiesz wykonywać działania na logarytmach, w szczególności stosować wzór na zamianę podstaw logarytmów?
  • (łatwe) Wykaż, że: \(\log_{2}a+\log_{\frac{1}{8}}b=\log_2\left(\frac{a}{\sqrt[3]{b}}\right)\)
  • (łatwe) Wykaż, że: \(16^{\log_2a}=a^4\)
  • (łatwe) Uzasadnij, że: \(\log_23\cdot \log_35\cdot \log_57=\log_27\)
  • (3 pkt) Wykaż, że jeżeli \(a=\log_3 20\) oraz \(b=\log_{\sqrt{3}}25\), to \(\log_9 500=\frac{2a+b}{4}\).
  • Skorzystaj z tego, że \(\log_{\frac{1}{8}}b=\log_{2^{-3}}b=-\frac{1}{3}\log_{2}b\)
  • Skorzystaj z tego, że \(p^{qr}=\left(p^q\right)^r\) oraz z tego, że \(a^{\log_ab}=b\)
  • Skorzystaj ze wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub powołaj się i skorzystaj ze wzoru: \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac\]
  • Zapisz \(b\) za pomocą logarytmu przy podstawie \(3\), a następnie przekształć \(\log_9 500\) na iloraz logarytmów o podstawie \(3\).
  • Zakładamy, że \(a\gt 0\) oraz \(b\gt 0\). \[ \log_2 a+\log_{\frac{1}{8}} b = \log_2 a+\log_{2^{-3}} b\\[6pt] = \log_2 a-\frac{1}{3}\log_2 b\\[6pt] = \log_2 a-\log_2 b^{\frac{1}{3}}\\[6pt] = \log_2 a-\log_2 \sqrt[3]{b}\\[6pt] = \log_2\left(\frac{a}{\sqrt[3]{b}}\right) \]
  • Zakładamy, że \(a\gt 0\). \[ 16^{\log_2 a} = \left(2^4\right)^{\log_2 a}\\[6pt] = \left(2^{\log_2 a}\right)^4\\[6pt] = a^4 \]
  • Skorzystamy ze wzoru: \[\log_ab\cdot \log_bc=\log_ac\] Zatem: \[ \log_2 3\cdot \log_3 5\cdot \log_5 7=\log_2 5\cdot \log_5 7=\log_2 7 \]
  • Mamy: \(a=\log_3 20\). Przekształćmy \(b\): \[ b=\log_{\sqrt{3}}25=\frac{\log_3 25}{\log_3 \sqrt{3}}=\frac{\log_3 25}{\frac{1}{2}}=2\log_3 25 \] Zatem: \[ \log_3 25=\frac{b}{2} \] Obliczamy: \[ \log_9 500=\frac{\log_3 500}{\log_3 9} =\frac{\log_3(20\cdot25)}{2} =\frac{\log_3 20+\log_3 25}{2} =\frac{a+\frac{b}{2}}{2} =\frac{2a+b}{4} \] czyli: \[ \log_9 500=\frac{2a+b}{4} \]
Strony z tym zadaniem
Checklista - matura rozszerzona
Sąsiednie zadania
Zadanie 4875Zadanie 4876
Zadanie 4878 (tu jesteś)
Zadanie 4879Zadanie 4880