Miejsca zerowe wielomianu, to rozwiązania równania: \[ W(x)=0\\[6pt] mx^4+2mx^2-1=0 \] Po podstawieniu \(t=x^2\) otrzymujemy równanie kwadratowe: \[ mt^2+2mt-1=0. \] Aby wielomian miał dokładnie 4 miejsca zerowe, konieczne są łącznie następujące warunki:

• \(m\ne 0\), aby równanie z \(mt^2+2mt-1=0\) było kwadratowe.
• \(\Delta\gt 0\), aby równanie \(mt^2+2mt-1=0\) miało dwa rozwiązania (nazwijmy je \(t_1\) oraz \(t_2\)). \[ \Delta=(2m)^2-4\cdot m\cdot(-1)=4m(m+1) \] czyli \[ \Delta\gt 0 \Leftrightarrow m\in(-\infty;-1)\cup (0;+\infty). \]
• Ponadto oba rozwiązania \(t_1\) i \(t_2\) muszą być dodatnie, aby istniały \(4\) rozwiązania rzeczywiste równań: \[x^2=t_1 \quad \lor \quad x^2=t_2\] Ze wzorów Viète’a dla równania \(mt^2+2mt-1=0\) mamy \[ t_1+t_2=-\frac{2m}{m}=-2 \]

  Skoro \(t_1+t_2=-2\lt 0\), to przynajmniej jeden pierwiastek (\(t_1\) lub \(t_2\)) musi być liczbą ujemną.

  Z tego wynika, że równanie \(mt^2+2mt-1=0\) może mieć najwyżej jedno rozwiązanie dodatnie, zatem \(mx^4+2mx^2-1=0\) może mieć co najwyżej \(2\) rozwiązania rzeczywiste. Co kończy dowód.