Dla jakiego parametru \(m\) równanie \(2x^5+mx^3=-3x\) ma dokładnie trzy rozwiązania?
Porządkujemy równanie: \[ 2x^5+mx^3+3x=0 \] Wyciągamy \(x\) przed nawias: \[ x\big(2x^4+mx^2+3\big)=0 \] Mamy zatem zawsze jedno rozwiązanie: \[ x=0. \] Pozostałe rozwiązania pochodzą z równania: \[ 2x^4+mx^2+3=0. \] Podstawiamy \(t=x^2\): \[ 2t^2+mt+3=0. \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[ \Delta=m^2-4\cdot 2\cdot 3=m^2-24. \]
Analiza przypadków: - \(\Delta\lt 0\), jeżeli: \[m^2\lt 24\] \[m\in (-2\sqrt{6}; 2\sqrt{6})\] Wówczas mamy brak rozwiązań dla \(t\).
Zatem pozostaje tylko jedno rozwiązanie: \(x=0\). - \(\Delta=0 \Leftrightarrow m= -2\sqrt{6} \lor m= 2\sqrt{6}\)
Wówczas: \[ t=\frac{-m}{4}. \] Wracamy do oryginalnych zmiennych: \[ x^2=-\frac{m}{4}. \] - Dla \(m=2\sqrt{6}\): \[x^2=-\frac{\sqrt{6}}{2}\] otrzymujemy równanie sprzeczne.
- Dla \(m=-2\sqrt{6}\): \[x^2=\frac{\sqrt{6}}{2}\] \[ x=\sqrt{\frac{\sqrt{6}}{2}} \quad \lor \quad x=-\sqrt{\frac{\sqrt{6}}{2}}. \] Razem z \(x=0\) daje to dokładnie 3 rozwiązania.
- \(\Delta\gt 0 \Leftrightarrow m\in (-\infty ; -2\sqrt{6})\cup (2\sqrt{6}; +\infty )\).
Równanie kwadratowe ma dwa rzeczywiste pierwiastki \(t_1,t_2\). Musimy zbadać znak tych pierwiastków. Do tego celu możemy wykorzystać wzory Viete'a: \[ t_1t_2=\frac{3}{2}\gt 0, \quad t_1+t_2=-\frac{m}{2}. \] Ponieważ \(t_1t_2 \gt 0\), to już wiemy, że pierwiastki są zawsze tego samego znaku (albo oba dodatnie, albo oba ujemne).
Wracamy do oryginalnych zmiennych: \[ x^2=t_1 \quad \lor \quad x^2=t_2. \]
Wniosek: Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy: \[ \boxed{m=-2\sqrt{6}} \]