Poziom rozszerzony
Rozwiąż równanie: \(x^4-10x^2+9=0\).
Podstawiamy \(t=x^2\): \[ t^2-10t+9=0 \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[ \Delta=(-10)^2-4\cdot1\cdot9=100-36=64 \] \[ t_1=\frac{10-8}{2}=1 \quad \lor \quad t_2=\frac{10+8}{2}=9 \] Wracamy do oryginalnych zmiennych: \[ x^2=1 \quad \lor \quad x^2=9 \] \[ x=1 \quad \lor \quad x=-1 \quad \lor \quad x=3 \quad \lor \quad x=-3 \] Początkowe równanie ma cztery rozwiązania: \[ x\in\{-3,\,-1,\,1,\,3\}. \]
Rozwiąż równanie: \(3x^4-5x^2-2=0\)
Podstawiamy \(t=x^2\): \[ 3t^2-5t-2=0 \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[ \Delta=(-5)^2-4\cdot3\cdot(-2)=25+24=49 \] \[ t_1=\frac{5-7}{6}=-\frac{1}{3} \quad \lor \quad t_2=\frac{5+7}{6}=2 \] Wracamy do oryginalnych zmiennych: \[ x^2=-\frac{1}{3} \quad \lor \quad x^2=2 \] Pierwsze równanie jest sprzeczne, ponieważ \(x^2=-\frac{1}{3}\). Z drugiego otrzymujemy: \[ x=\sqrt{2} \quad \lor \quad x=-\sqrt{2} \] Czyli początkowe równanie ma dwa rozwiązania: \[ x=\sqrt{2} \quad \lor \quad x=-\sqrt{2}. \]
Rozwiąż równanie: \(\left(x^2+\frac{3}{2}\right)^2-4\left(x^2+\frac{3}{2}\right)+3=0\)
Podstawiamy \(t=x^2+\frac{3}{2}\): \[ t^2-4t+3=0 \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[ \Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot3=16-12=4 \] \[ t_1=\frac{4-2}{2}=1 \quad \lor \quad t_2=\frac{4+2}{2}=3 \] Wracamy do oryginalnych zmiennych: \[ x^2+\frac{3}{2}=1 \quad \lor \quad x^2+\frac{3}{2}=3 \] Pierwsze równanie jest sprzeczne, ponieważ \(x^2=-\frac{1}{2}\). Z drugiego otrzymujemy: \[ x^2=\frac{3}{2} \] \[ x=\frac{\sqrt{6}}{2} \quad \lor \quad x=-\frac{\sqrt{6}}{2} \]
Rozwiąż równanie: \((x^2+x+2)^2-5(x^2+x+2)+6=0\)
Podstawiamy \(t=x^2+x+2\): \[ t^2-5t+6=0 \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[ \Delta=(-5)^2-4\cdot1\cdot6=25-24=1 \] \[ t_1=\frac{5-1}{2}=2 \quad \lor \quad t_2=\frac{5+1}{2}=3 \] Wracamy do oryginalnych zmiennych: \[ x^2+x+2=2 \quad \lor \quad x^2+x+2=3 \] Dla pierwszego równania: \[ x^2+x=0 \] \[ x=0 \quad \lor \quad x=-1 \] Dla drugiego równania: \[ x^2+x-1=0 \] \[ \Delta=1^2-4\cdot1\cdot(-1)=5 \] \[ x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \quad \lor \quad x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2} \] Początkowe równanie ma cztery rozwiązania: \[ x=-1 \quad \lor \quad x=0 \quad \lor \quad x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \quad \lor \quad x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}. \]
Dla jakiego parametru \(m\) równanie \(2x^5+mx^3=-3x\) ma dokładnie trzy rozwiązania?
Porządkujemy równanie: \[ 2x^5+mx^3+3x=0 \] Wyciągamy \(x\) przed nawias: \[ x\big(2x^4+mx^2+3\big)=0 \] Mamy zatem zawsze jedno rozwiązanie: \[ x=0. \] Pozostałe rozwiązania pochodzą z równania: \[ 2x^4+mx^2+3=0. \] Podstawiamy \(t=x^2\): \[ 2t^2+mt+3=0. \] Rozwiązujemy równanie kwadratowe: \[ \Delta=m^2-4\cdot 2\cdot 3=m^2-24. \]
Analiza przypadków: - \(\Delta\lt 0\), jeżeli: \[m^2\lt 24\] \[m\in (-2\sqrt{6}; 2\sqrt{6})\] Wówczas mamy brak rozwiązań dla \(t\).
Zatem pozostaje tylko jedno rozwiązanie: \(x=0\). - \(\Delta=0 \Leftrightarrow m= -2\sqrt{6} \lor m= 2\sqrt{6}\)
Wówczas: \[ t=\frac{-m}{4}. \] Wracamy do oryginalnych zmiennych: \[ x^2=-\frac{m}{4}. \] - Dla \(m=2\sqrt{6}\): \[x^2=-\frac{\sqrt{6}}{2}\] otrzymujemy równanie sprzeczne.
- Dla \(m=-2\sqrt{6}\): \[x^2=\frac{\sqrt{6}}{2}\] \[ x=\sqrt{\frac{\sqrt{6}}{2}} \quad \lor \quad x=-\sqrt{\frac{\sqrt{6}}{2}}. \] Razem z \(x=0\) daje to dokładnie 3 rozwiązania.
- \(\Delta\gt 0 \Leftrightarrow m\in (-\infty ; -2\sqrt{6})\cup (2\sqrt{6}; +\infty )\).
Równanie kwadratowe ma dwa rzeczywiste pierwiastki \(t_1,t_2\). Musimy zbadać znak tych pierwiastków. Do tego celu możemy wykorzystać wzory Viete'a: \[ t_1t_2=\frac{3}{2}\gt 0, \quad t_1+t_2=-\frac{m}{2}. \] Ponieważ \(t_1t_2 \gt 0\), to już wiemy, że pierwiastki są zawsze tego samego znaku (albo oba dodatnie, albo oba ujemne).
Wracamy do oryginalnych zmiennych: \[ x^2=t_1 \quad \lor \quad x^2=t_2. \]
Wniosek: Równanie ma dokładnie trzy rozwiązania wtedy i tylko wtedy, gdy: \[ \boxed{m=-2\sqrt{6}} \]
Wykaż, że nie istnieje parametr \(m\) dla którego wielomian \(W(x)=mx^4+2mx^2-1\) ma dokładnie \(4\) miejsca zerowe.
Miejsca zerowe wielomianu, to rozwiązania równania: \[ W(x)=0\\[6pt] mx^4+2mx^2-1=0 \] Po podstawieniu \(t=x^2\) otrzymujemy równanie kwadratowe: \[ mt^2+2mt-1=0. \]
Aby wielomian miał dokładnie 4 miejsca zerowe, konieczne są łącznie następujące warunki: