W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a\). Przekątne takiego trójkąta przecinają się w stosunku \(2:1\). Długość przekątnej jest równa wysokości trójkąta: \[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\] Zatem: \[2x = \frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\] Zapisujemy równanie Pitagorasa dla krawędzi bocznej \(y\): \[ y^2 = a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2\\[6pt] y^2 = a^2 + \frac{3a^2}{9}\\[6pt] y^2 = a^2 + \frac{a^2}{3}\\[6pt] y^2 = \frac{3a^2}{3} + \frac{a^2}{3}\\[6pt] y = \sqrt{\frac{4a^2}{3}}\\[6pt] y = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tworzy się między krawędzią boczną a jej rzutem na płaszczyznę (którym jest odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem podstawy). Zatem: \[ \cos \alpha = \frac{a}{y} = \frac{a}{\frac{2a}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Odpowiedź: Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).