Najpierw rozkładamy każdy z nawiasów oddzielnie:
Pierwszy nawias: \[x^4 + x^3 - 6x^2 = x^2(x^2 + x - 6)\] Teraz rozkładamy trójmian kwadratowy \(x^2 + x - 6\). Szukamy dwóch liczb, które mnożą się do \(-6\) i dodają do \(1\). Są to liczby \(3\) i \(-2\): \[x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)\] Zatem pierwszy nawias rozkłada się na: \[x^4 + x^3 - 6x^2 = x^2(x + 3)(x - 2)\] Drugi nawias: \[x^5 + 2x^4 + 3x^3 = x^3(x^2 + 2x + 3)\] Teraz rozkładamy trójmian kwadratowy \(x^2 + 2x + 3\). Sprawdzamy, czy ma pierwiastki rzeczywiste, obliczając wyróżnik \(\Delta\): \[\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8\] Ponieważ \(\Delta < 0\), trójmian \(x^2 + 2x + 3\) nie ma pierwiastków rzeczywistych i nie da się go rozłożyć na czynniki liniowe w zbiorze liczb rzeczywistych. Teraz łączymy rozkłady obu nawiasów: \[w(x) = x^2(x + 3)(x - 2) \cdot x^3(x^2 + 2x + 3)\] \[w(x) = x^5(x + 3)(x - 2)(x^2 + 2x + 3)\] Ostateczny rozkład wielomianu na czynniki to: \[w(x) = x^5(x + 3)(x - 2)(x^2 + 2x + 3)\]