Rozwiązania zadań

Drukuj
Poziom podstawowy
Stożek przecięto płaszczyzną równoległą do podstawy i dzieląca wysokość stożka w stosunku \(1:3\) licząc od podstawy stożka. Oblicz stosunek objętości otrzymanych brył.
Płaszczyzna dzieli wysokość stożka w stosunku \(1:3\), zatem możemy podpisać jego wysokość za pomocą odcinków długości \(x\) oraz \(3x\): Podpiszmy promień podstawy \(r\). Wysokość całego stożka to \(4x\). Wówczas objętość stożka \(ABC\) to: \[V = \frac{1}{3} \pi r^2 \cdot 4x.\] Stożek o przekroju \(DCE\) jest podobny do stożka o przekroju \(ABC\) w skali podobieństwa: \[ k = \frac{3x}{4x} = \frac{3}{4}. \] Przy skali podobieństwa \(k\) objętości figur podobnych są w stosunku \(k^3\). Zatem objętość mniejszego stożka \(DCE\) wynosi: \[ V_1 = k^3\cdot V = \left(\frac{3}{4}\right)^3 V = \frac{27}{64}V. \] Objętość ściętego stożka \(ABDE\), to: \[ V_2 = V - V_1 = V - \frac{27}{64}V = \frac{37}{64}V. \] Zatem stosunek objętości tych dwóch brył to: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{64} : \frac{37}{64} = \frac{27}{37}. \]
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równe \(63 \sqrt{3}\). Krótsza przekątna tego graniastosłupa tworzy z płaszczyzna podstawy kąt \(\alpha\) taki, że \(\operatorname{tg} \alpha=3\). Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa.

Niech długość krawędzi podstawy wynosi \(a\), a wysokość \(H\).

Pole podstawy sześciokąta foremnego składa się z \(6\) trójkątów równobocznych: Zatem: \[ P_p = 6\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{3\sqrt{3}}{2} a^2. \] Wysokość tego trójkąta równobocznego to: \[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\] Zróbmy rysunek całego graniastosłupa:

Pole boczne graniastosłupa wynosi: \[ P_b = 6aH, \]

Zatem pole powierzchni całkowitej jest dane wzorem: \[ P_c = 2P_p + P_b = 3\sqrt{3}a^2 + 6aH. \]

Krótsza przekątna graniastosłupa, to odcinek łączący wierzchołek dolnej podstawy z odpowiednim wierzchołkiem górnej podstawy, którego rzut na płaszczyznę podstawy odpowiada krótszej przekątnej sześciokąta. Krótsza przekątna sześciokąta ma długość: \[2h = 2\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}\]

Kąt \(\alpha\) między tą przekątną a podstawą spełnia: \[ \operatorname{tg} \alpha = \frac{H}{2h} = \frac{H}{a\sqrt{3}} \] A z treści zadania wiemy, że: \(\operatorname{tg} \alpha =3\). Zatem: \[ \frac{H}{a\sqrt{3}}=3\\[6pt] H = 3a\sqrt{3} \]

Podstawiamy wyznaczone \(H\) do wzoru na pole powierzchni całkowitej: \[ P_c = 3\sqrt{3}a^2 + 6a(3a\sqrt{3}) = 3\sqrt{3}a^2 + 18\sqrt{3}a^2 = 21\sqrt{3}a^2 \]

Wiemy ponadto, że \(P_c=63\sqrt{3}\).

Zatem: \[21\sqrt{3}a^2 = 63\sqrt{3}\]

Dzieląc obie strony równania przez \(21\sqrt{3}\), otrzymujemy: \[ a^2 = 3\\[6pt] a = \sqrt{3} \]

Odpowiedź: Długość krawędzi podstawy wynosi \(\sqrt{3}\).

Wysokość walca jest równa 10 cm . Kąt między przekątnymi przekroju osiowego, leżący naprzeciw wysokości walca ma miarę \(120^{\circ}\). Oblicz objętość tego walca.
Niech walec ma promień \(r\) oraz wysokość \(h = 10\) cm. Z trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\) oraz \(5\) mamy: \[\frac{5}{r}=\operatorname{tg} 60^\circ \\[6pt] \frac{5}{r}=\sqrt{3}\\[6pt] r=\frac{5}{\sqrt{3}} \] Zatem objętość walca wynosi: \[ V = \pi r^2 h = \pi \cdot \frac{25}{3} \cdot 10 = \frac{250\pi}{3}\, \text{cm}^3. \]

Odpowiedź: Objętość walca wynosi \(\frac{250\pi}{3}\) cm³.

Powierzchnia boczna stożka po rozwinięciu na płaszczyznę jest ćwiartką koła o promieniu \(6\) cm . Oblicz wysokość tego stożka.

Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka otrzymujemy wycinek koła o promieniu równym tworzącej stożka, czyli \(l=6\) cm, a kąt wycinka wynosi \(90^\circ \) (ćwiartka koła).

Wiemy, że pole powierzchni bocznej stożka wynosi: \[ P_{b} = \pi rl =6\pi r \] Z drugiej strony, powierzchnia ćwiartki koła o promieniu \(6\) cm wynosi: \[ P_{wycinek} = \frac{1}{4}\pi l^2 = \frac{1}{4}\pi 6^2 = 9\pi. \] Ponieważ powierzchnie te są równe, mamy: \[ 6\pi r = 9\pi\\[6pt] r= \frac{3}{2} \] Wysokość stożka \(h\) wyznaczamy ze wzoru Pitagorasa: \[ h^2 = l^2 - r^2\\[6pt] h^2 = 6^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\\[6pt] h^2 = 36 - \frac{9}{4}\\[6pt] h^2 = \frac{135}{4}\\[6pt] h = \frac{\sqrt{135}}{2}\\[6pt] h = \frac{3\sqrt{15}}{2}\\[6pt] \] Odpowiedź: Wysokość stożka wynosi \(\frac{3\sqrt{15}}{2}\) cm.
Wysokość ostrosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa długości krawędzi jego podstawy. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy.
W podstawie mamy trójkąt równoboczny o boku \(a\). Przekątne takiego trójkąta przecinają się w stosunku \(2:1\). Długość przekątnej jest równa wysokości trójkąta: \[h=\frac{a\sqrt{3}}{2}\] Zatem: \[2x = \frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}\] Zapisujemy równanie Pitagorasa dla krawędzi bocznej \(y\): \[ y^2 = a^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{3}\right)^2\\[6pt] y^2 = a^2 + \frac{3a^2}{9}\\[6pt] y^2 = a^2 + \frac{a^2}{3}\\[6pt] y^2 = \frac{3a^2}{3} + \frac{a^2}{3}\\[6pt] y = \sqrt{\frac{4a^2}{3}}\\[6pt] y = \frac{2a}{\sqrt{3}} \] Kąt nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy tworzy się między krawędzią boczną a jej rzutem na płaszczyznę (którym jest odcinek łączący środek podstawy z wierzchołkiem podstawy). Zatem: \[ \cos \alpha = \frac{a}{y} = \frac{a}{\frac{2a}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Odpowiedź: Cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy wynosi \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Krawędź podstawy \(ABCD\) graniastosłupa prawidłowego czworokątnego \(A B C D A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} D^{\prime}\) jest równa \(12\). Na krawędzi bocznej \(\mathrm{DD}^{\prime}\) obrano punkt \(P\) taki, że \(|PD^{\prime}|=13\). Graniastosłup ten przecięto płaszczyzna zawierająca przekątna \(AC\) podstawy i przechodząca przez punkt P. Pole tego przekroju jest równe \(54 \sqrt{2}\). Oblicz wysokość tego graniastosłupa.
Zróbmy rysunek: Przekątna \(AC\) ma długość \(12\sqrt{2}\). Zatem: \[P_{ACP}=\frac{1}{2}12\sqrt{2}\cdot h=6\sqrt{2}h\] Z treści zadania wiemy, że \(P_{ACP}=54\sqrt{2}\). Zatem: \[6\sqrt{2}h=54\sqrt{2}\\[6pt] h=9\] Połowa przekątnej podstawy jest równa \(6\sqrt{2}\). Zatem z twierdzenia Pitagorasa: \[x^2=9^2-(6\sqrt{2})^2\\[6pt] x^2 = 81-72\\[6pt] x^2 = 9\\[6pt] x=3\] Zatem szukana wysokość to: \[H=|DD'|=3+13=16\]