Szkoła podstawowa
Aby obliczyć wartość liczbową wyrażenia algebraicznego, należy podstawić konkretne liczby pod zmienne (literki).
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(3x^2 - 2x + 1\) dla \(x = 5\).
Do wyrażenia algebraicznego \[3x^2 - 2x + 1\] podstawiamy w miejsce \(x\)-a liczbę \(5\): \[3\cdot 5^2 - 2\cdot 5 + 1=3\cdot 25-10+1=66\] Zatem dla \(x = 5\) wyrażenie \(3x^2 - 2x + 1\) przyjmuje wartość \(66\).
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(-x^3 - (x + 1)^2\) dla \(x = 4\).
Do wyrażenia algebraicznego \[-x^3 - (x + 1)^2\] podstawiamy w miejsce \(x\)-a liczbę \(4\): \[-4^3 - (4 + 1)^2=-64-25=-89\] Zatem dla \(x = 4\) wyrażenie \(-x^3 - (x + 1)^2\) przyjmuje wartość \(-89\).
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \((x+1)(y^2-2)\) dla \(x = -2\) oraz \(y=3\).
Do wyrażenia algebraicznego \[(x+1)(y^2-2)\] podstawiamy w miejsce \(x\)-a liczbę \((-2)\), a w miejsce \(y\)-a liczbę \(3\): \[(-2+1)(3^2-2)=-1\cdot 7=-7\] Zatem dla \(x = -2\) oraz \(y=3\) wyrażenie \((x+1)(y^2-2)\) przyjmuje wartość \(-7\).
Oblicz wartość liczbową wyrażenia \(\frac{xy}{x+y}\) dla \(x = 8\) oraz \(y=9\).
Do wyrażenia algebraicznego \[\frac{xy}{x+y}\] podstawiamy w miejsce \(x\)-a liczbę \(8\), a w miejsce \(y\)-a liczbę \(9\): \[\frac{8\cdot 9}{8+9}=\frac{72}{17}\] Zatem dla \(x = 8\) oraz \(y=9\) wyrażenie \(\frac{xy}{x+y}\) przyjmuje wartość \(\frac{72}{17}\).
Zauważmy, że przy podstawianiu liczb pod wyrażenie \(xy\) wstawiamy znak mnożenia między liczbami: \(8\cdot 9\).
Lekcja 1. Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia algebraicznego
W tym nagraniu wideo pokazuję jak obliczać wartości wyrażeń algebraicznych.
Zadanie 1.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia algebraicznego dla podanych zmiennych.
- \(5x-7\) dla \(x=3\)
- \(\frac{5-x}{3+2x}\) dla \(x=2\)
- \(\frac{6}{3n+1}\) dla \(n=3\)
- \(5n^2-2\) dla \(n=4\)
- \(k^2-k^3\) dla \(k=3\)
- \(\frac{1}{3}(k^2-k+1)\) dla \(k=-2\)
- \(p(2p-1)\) dla \(p=\frac{1}{2}\)
- \(\frac{p^2-p-1}{2p+3}\) dla \(p=0\)
- Do wyrażenia \(5x-7\) podstawiamy w miejsce \(x\) liczbę \(3\):
\(5x-7 = 5\cdot 3-7 = 15-7 = 8\)
- Do wyrażenia \(\frac{5-x}{3+2x}\) podstawiamy \(x=2\):
\(\frac{5-x}{3+2x} = \frac{5-2}{3+2\cdot2} = \frac{3}{3+4} = \frac{3}{7}\)
- Do wyrażenia \(\frac{6}{3n+1}\) podstawiamy \(n=3\):
\(\frac{6}{3n+1} = \frac{6}{3\cdot3+1} = \frac{6}{9+1} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}\)
- Do wyrażenia \(5n^2-2\) podstawiamy \(n=4\):
\(5n^2-2 = 5\cdot4^2-2\) \(= 5\cdot16-2\) \(= 80-2 = 78\)
- Do wyrażenia \(k^2-k^3\) podstawiamy \(k=3\):
\(k^2-k^3 = 3^2-3^3 = 9-27 = -18\)
- Do wyrażenia \(\frac{1}{3}(k^2-k+1)\) podstawiamy \(k=-2\):
\(\frac{1}{3}(k^2-k+1)\) \(= \frac{1}{3}\Bigl((-2)^2-(-2)+1\Bigr)\) \(= \frac{1}{3}(4+2+1)\) \(= \frac{7}{3}\)
- Do wyrażenia \(p(2p-1)\) podstawiamy \(p=\frac{1}{2}\):
\(p(2p-1) = \frac{1}{2}\Bigl(2\cdot\frac{1}{2}-1\Bigr)\) \(= \frac{1}{2}(1-1)\) \(= \frac{1}{2}\cdot 0 = 0\)
- Do wyrażenia \(\frac{p^2-p-1}{2p+3}\) podstawiamy \(p=0\):
\(\frac{p^2-p-1}{2p+3} = \frac{0^2-0-1}{2\cdot0+3} = \frac{-1}{3} = -\frac{1}{3}\)
Zadanie 2.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia algebraicznego dla podanych zmiennych.
- \(2x - 3y\) dla \(x=4,\; y=1\)
- \(\frac{x+y}{2x-y}\) dla \(x=3,\; y=2\)
- \(a^2 + 2ab + b^2\) dla \(a=3,\; b=4\)
- \(\frac{a-b}{a+b}\) dla \(a=7,\; b=2\)
- \(m^2 - n^2\) dla \(m=6,\; n=2\)
- \(2mn + n\) dla \(m=3,\; n=5\)
- \(p^2q + q^2\) dla \(p=2,\; q=3\)
- \(\frac{p+q}{p-q}\) dla \(p=5,\; q=2\)
- \(p^3 - q^3\) dla \(p=4,\; q=1\)
- Do wyrażenia \(2x - 3y\) podstawiamy \(x=4\) oraz \(y=1\):
\(2x - 3y = 2\cdot4 - 3\cdot1 = 8 - 3 = 5\)
- Do wyrażenia \(\frac{x+y}{2x-y}\) podstawiamy \(x=3\) oraz \(y=2\):
\(\frac{x+y}{2x-y} = \frac{3+2}{2\cdot3-2} = \frac{5}{6-2} = \frac{5}{4}\)
- Do wyrażenia \(a^2 + 2ab + b^2\) podstawiamy \(a=3\) oraz \(b=4\):
\(a^2 + 2ab + b^2\) \(= 3^2 + 2\cdot3\cdot4 + 4^2\) \(= 9 + 24 + 16 = 49\)
- Do wyrażenia \(\frac{a-b}{a+b}\) podstawiamy \(a=7\) oraz \(b=2\):
\(\frac{a-b}{a+b} = \frac{7-2}{7+2} = \frac{5}{9}\)
- Do wyrażenia \(m^2 - n^2\) podstawiamy \(m=6\) oraz \(n=2\):
\(m^2 - n^2 = 6^2 - 2^2 = 36 - 4 = 32\)
- Do wyrażenia \(2mn + n\) podstawiamy \(m=3\) oraz \(n=5\):
\(2mn + n = 2\cdot3\cdot5 + 5 = 30 + 5 = 35\)
- Do wyrażenia \(p^2q + q^2\) podstawiamy \(p=2\) oraz \(q=3\):
\(p^2q + q^2 = 2^2\cdot3 + 3^2\) \(= 4\cdot3 + 9\) \(= 12 + 9 = 21\)
- Do wyrażenia \(\frac{p+q}{p-q}\) podstawiamy \(p=5\) oraz \(q=2\):
\(\frac{p+q}{p-q} = \frac{5+2}{5-2} = \frac{7}{3}\)
- Do wyrażenia \(p^3 - q^3\) podstawiamy \(p=4\) oraz \(q=1\):
\(p^3 - q^3 = 4^3 - 1^3 = 64 - 1 = 63\)
Zadanie 3.
Oblicz wartość liczbową wyrażenia algebraicznego dla podanych zmiennych.
- \(\frac{2}{7}(a-2b)^2\) dla \(a=2,\; b=-6\)
- \(\frac{3x-2y+1}{x^2+y^2}\) dla \(x=-1,\; y=2\)
- \(4p^2 - 5q + \frac{1}{2}\) dla \(p=3,\; q=-4\)
- \(\sqrt{r^2+s^2}\) dla \(r=3,\; s=4\)
- \(\frac{2m-n}{m+n}\) dla \(m=7,\; n=5\)
- \(3u^3-2u^2+u-1\) dla \(u=2\)
- \(x+2y-3z\) dla \(x=1,\; y=-2,\; z=3\)
- \(\frac{xyz}{x+y+z}\) dla \(x=2,\; y=3,\; z=4\)
- \(2a^2b-3ab^2+c\) dla \(a=-1,\; b=2,\; c=5\)
- Do wyrażenia \(\frac{2}{7}(a-2b)^2\) podstawiamy \(a=2\) oraz \(b=-6\):
\( \frac{2}{7}(a-2b)^2 = \frac{2}{7}(2-2\cdot(-6))^2 \) \(= \frac{2}{7}(2+12)^2 = \frac{2}{7}\cdot 14^2 \) \(= \frac{2}{7}\cdot196 = \frac{392}{7} = 56 \)
- Do wyrażenia \(\frac{3x-2y+1}{x^2+y^2}\) podstawiamy \(x=-1\) oraz \(y=2\):
\( \frac{3x-2y+1}{x^2+y^2} = \frac{3\cdot(-1)-2\cdot2+1}{(-1)^2+2^2} \) \(= \frac{-3-4+1}{1+4} = \frac{-6}{5} = -\frac{6}{5} \)
- Do wyrażenia \(4p^2 - 5q + \frac{1}{2}\) podstawiamy \(p=3\) oraz \(q=-4\):
\( 4p^2 - 5q + \frac{1}{2} = 4\cdot3^2 - 5\cdot(-4) + \frac{1}{2} \) \(= 4\cdot9 + 20 + \frac{1}{2} = 36 + 20 + \frac{1}{2} \) \(= 56 + \frac{1}{2} = 56,5 \)
- Do wyrażenia \(\sqrt{r^2+s^2}\) podstawiamy \(r=3\) oraz \(s=4\):
\( \sqrt{r^2+s^2} = \sqrt{3^2+4^2} = \sqrt{9+16} \) \(= \sqrt{25} = 5 \)
- Do wyrażenia \(\frac{2m-n}{m+n}\) podstawiamy \(m=7\) oraz \(n=5\):
\( \frac{2m-n}{m+n} = \frac{2\cdot7-5}{7+5} \) \(= \frac{14-5}{12} \) \(= \frac{9}{12} = \frac{3}{4} \)
- Do wyrażenia \(3u^3-2u^2+u-1\) podstawiamy \(u=2\):
\( 3u^3-2u^2+u-1 = 3\cdot2^3 - 2\cdot2^2 + 2 - 1 \) \(= 3\cdot8 - 2\cdot4 + 2 - 1 \) \(= 24 - 8 + 2 - 1 = 17 \)
- Do wyrażenia \(x+2y-3z\) podstawiamy \(x=1,\; y=-2,\; z=3\):
\( x+2y-3z = 1+2\cdot(-2)-3\cdot3 \) \(= 1-4-9 = -12 \)
- Do wyrażenia \(\frac{xyz}{x+y+z}\) podstawiamy \(x=2,\; y=3,\; z=4\):
\( \frac{xyz}{x+y+z} = \frac{2\cdot3\cdot4}{2+3+4} \) \(= \frac{24}{9} = \frac{8}{3} \)
- Do wyrażenia \(2a^2b-3ab^2+c\) podstawiamy \(a=-1,\; b=2,\; c=5\):
\( 2a^2b-3ab^2+c \) \(= 2\cdot(-1)^2\cdot2 - 3\cdot(-1)\cdot2^2 + 5 \) \(= 2\cdot1\cdot2 - 3\cdot(-1)\cdot4 + 5 \) \(= 4 + 12 + 5 = 21 \)
