Sumowanie wyrażeń algebraicznych

Drukuj

Szkoła podstawowa

Suma algebraiczna – to suma w której występują liczby i zmienne. Poszczególne składniki takiej sumy nazywamy wyrazami.

Oto przykład sumy algebraicznej: \[3x^2+2x-5-3x+1\] Wyrazy tej sumy to: \(3x^2\), \(2x\), \(-5\), \(-3x\) oraz \(1\).

Zauważ, że wyrazy sumy bierzemy razem ze znakiem.

Wyrazy sumy algebraicznej: \[5xy-x^2-y^2+3xy\] to: \(5xy\), \(-x^2\), \(-y^2\) oraz \(3xy\).

Sumę algebraiczną można uprościć, jeżeli ma wyrazy podobne.

Wyrazy podobne – to wyrazy, które mają te same zmienne w tych samych potęgach.

Wyrazy podobne nazywamy też czasami jednomianami podobnymi (to pojęcie jest jednak obecnie rzadziej stosowane).

Wyrazy podobne mogą różnić się jedynie współczynnikiem liczbowym.

Współczynnik liczbowy – to liczba stojąca przed zmienną, np.:

Jeżeli przed zmienną nie ma liczby, to oznacza, że współczynnik jest równy \(1\).
Jeżeli przed zmienną stoi sam minus, to oznacza, że współczynnik jest równy \(-1\).

Wyrazy: \[x,\quad 3x,\quad \frac{3}{4}x,\quad -5x,\quad \sqrt{2}x\] są podobne, ponieważ wszystkie są postaci: \[\text{liczba} \cdot x\]

Wyrazy: \[3x^2y,\quad -x^2y,\quad 6x^2y,\quad \frac{1}{3}x^2y\] są podobne, ponieważ wszystkie są postaci: \[\text{liczba} \cdot x^2y\]

Wyrazy: \[a^5b^3c,\quad 7^5b^3c^4,\quad -90abc\] nie są podobne, ponieważ każdy ma inną część złożoną z literek.

Wśród wyrazów: \[5x,\quad 3x^2,\quad \frac{1}{2}x,\quad 3x,\quad -x^2,\quad 2x^3\] wskaż wyrazy podobne.

Wyrazy podobne pierwszego stopnia, to: \[5x,\quad \frac{1}{2}x,\quad 3x\] Wyrazy podobne drugiego stopnia, to: \[3x^2,\quad -x^2\]

Wyrazy podobne możemy dodawać, np: \[3x^2+4x^2=7x^2\] Wyrazów, które nie są podobne nie możemy dodawać.

Dodawanie wyrazów podobnych upraszcza wyrażenie algebraiczne i często jest nazywane redukcją wyrazów podobnych.

Zredukuj wyrazy podobne i uprość wyrażenie:

Wszystkie wyrazy są podobne, więc je dodajemy:
\[5x-x+3x+6x=(5-1+3+6)x=13x\]

\[\begin{split}&5x-x+3x+6x=\\[6pt]&=(5-1+3+6)x=13x\end{split}\]
Wyszukujemy wyrazy podobne i dodajemy je:
\[\color{red}{3x^2}+\color{blue}{2x}+\color{red}{5x^2}-\color{blue}{x}= \color{red}{3x^2}+\color{red}{5x^2}+\color{blue}{2x}-\color{blue}{x}= \color{red}{8x^2}+\color{blue}{x}\]

\[\begin{split}&\color{red}{3x^2}+\color{blue}{2x}+\color{red}{5x^2}-\color{blue}{x}=\\[6pt] &=\color{red}{3x^2}+\color{red}{5x^2}+\color{blue}{2x}-\color{blue}{x}=\\[6pt] &=\color{red}{8x^2}+\color{blue}{x}\end{split}\]
Wyszukujemy wyrazy podobne i dodajemy je:
\[\color{red}{3x^3y} -4xy \color{red}{-4x^3y}+1= \color{red}{3x^3y} \color{red}{-4x^3y} -4xy +1= \color{red}{-x^3y}-4xy +1\]

\[\begin{split}&\color{red}{3x^3y} -4xy \color{red}{-4x^3y}+1=\\[6pt] &=\color{red}{3x^3y} \color{red}{-4x^3y} -4xy +1=\\[6pt] &=\color{red}{-x^3y}-4xy +1\end{split}\]

Nazwy wyrażeń algebraicznych możemy zapisać słownie według znaków działań, które je łączą, np.:

Zapis matematyczny	Zapis słowny
\(x + y\)	suma liczb \(x\) i \(y\)
\(x - y\)	różnica liczb \(x\) i \(y\)
\(x\cdot y\)	iloczyn liczb \(x\) i \(y\)
\(x : y\)	iloraz liczb \(x\) i \(y\)
\(2x\)	podwojona liczba \(x\)
\(3x\)	liczba trzy razy większa od \(x\)
\(0{,}5x\)	połowa liczby \(x\)
\(x - 12\)	liczba o \(12\) mniejsza od \(x\)
\(x^2\)	kwadrat liczby \(x\)
\(x^2 + y^2\)	suma kwadratów liczb \(x\) i \(y\)
\((x + y)^2\)	kwadrat sumy liczb \(x\) i \(y\)
\(x^3 - y^3\)	różnica sześcianów liczb \(x\) i \(y\)
(\(2x)^2 - 0{,}5y^3\)	różnica kwadratu podwojonej liczby \(x\) i połowy sześcianu liczby \(y\)